Passaggio esercizio distribuzione uniforme anello lineare
Ciao,
Sappiamo che la forza agente su una carica di prova positiva $q_p$ dovuta a una distribuzione lineare di carica uniforme è data da:
$vecF=k_clambdaq_(p)int_0^l(dl)/r^2*vecr/|vecr|$
Dove $lambda$ è la densità di carica lineare, $vecr$ il vettore posizione di $q_p$ rispetto a $dl$.
In un esercizio si ha che la carica di prova si trova lungo l'asse di un anello (filiforme) a una certa altezza $h$ (guardandolo di taglio).
Le forze lungo x si annullano a causa della simmetria del problema.
Mentre per le forze lungo y a lezione è stato scritto:
$F_y=k_clambdaq_(p)int_0^(2piR)(dl)/r^2costheta$
Dove $R$ è il raggio dell'anello e $theta$ l'angolo più piccolo che le forze formano con la verticale.
Ora, non capisco come si è calcolato $F_y$ sapendo la formula per $vecF$ dalla prima formula, e perchè c'è il coseno di $theta$, e perchè si trova dentro l'integrale.
Grazie.
Sappiamo che la forza agente su una carica di prova positiva $q_p$ dovuta a una distribuzione lineare di carica uniforme è data da:
$vecF=k_clambdaq_(p)int_0^l(dl)/r^2*vecr/|vecr|$
Dove $lambda$ è la densità di carica lineare, $vecr$ il vettore posizione di $q_p$ rispetto a $dl$.
In un esercizio si ha che la carica di prova si trova lungo l'asse di un anello (filiforme) a una certa altezza $h$ (guardandolo di taglio).
Le forze lungo x si annullano a causa della simmetria del problema.
Mentre per le forze lungo y a lezione è stato scritto:
$F_y=k_clambdaq_(p)int_0^(2piR)(dl)/r^2costheta$
Dove $R$ è il raggio dell'anello e $theta$ l'angolo più piccolo che le forze formano con la verticale.
Ora, non capisco come si è calcolato $F_y$ sapendo la formula per $vecF$ dalla prima formula, e perchè c'è il coseno di $theta$, e perchè si trova dentro l'integrale.
Grazie.
Risposte
In effetti, visto che $r = R$ è costante e $cos theta$ è pure costante, tanto valeva scrivere $F_y=k_clambdaq_(p)(cos theta)/R^2int_0^(2piR)(dl) = k_clambdaq_(p)(cos theta)/R^2*2piR = 2pik_clambdaq_(p)(cos theta)/R$
Il termine $cos theta$ indica che della forza esercitata dall'elemento $dl$ si deve considerare solo la componente lungo $y$, mentre quelle ortogonali a $y$ si annullano a vicenda
Il termine $cos theta$ indica che della forza esercitata dall'elemento $dl$ si deve considerare solo la componente lungo $y$, mentre quelle ortogonali a $y$ si annullano a vicenda
Ma a parte $costheta$ come si è passati dalla formula per $vecF$ a quella per $F_x$?
Vorrei capirlo passo passo.
(Comunque $r!=R$, forse non ho spiegato bene lo schema).
Grazie.
Vorrei capirlo passo passo.
(Comunque $r!=R$, forse non ho spiegato bene lo schema).
Grazie.
Hai ragione, mi ero confuso fra $r$ e $R$.
Comunque, dalla figura mi pare si capisca bene: la forza $vecF$ è diretta come $r$, conta solo la componente verticale che, in modulo, si riduce di un fattore $cos theta$, quindi, a parte le costanti, contiene il termine $(cos theta)/r^2$, e volendo, $cos theta = h/r$, quindi $h/r^3$.
L'integrale sull'anello poi si riduce a $2piR$ che, moltiplicato per la densità di carica dà la carica totale.
Si ho capito che i vettori forza lungo x si annullano e che tanto vale considerare solo la componente lungo y.
Però credo di non aver capito il passaggio dalla forma vettoriale dell'equazione che ho scritto nel primo post a quella nella forma scalare (sempre nel primo post). È una questione matematica penso.
Però credo di non aver capito il passaggio dalla forma vettoriale dell'equazione che ho scritto nel primo post a quella nella forma scalare (sempre nel primo post). È una questione matematica penso.
Ho risolto, era un semplice passaggio con gli infinitesimi che non avevo notato. Grazie.
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