Passaggio dimostrazione teorema energia cinetica
Salve a tutti, mi è venuto un dubbio circa un passaggio nella dimostrazione del teorema dell'energia cinetica, io opero nel seguente modo:
sapendo che $F=ma$ ove $F$ e $a$ sono vettori e sapendo che il lavoro $W=int(F*ds)$ dove $F$ e $ds$ sono vettori possiamo riscrivere $F=m((dv)/dt)$ ($F$,$dv$ vettori) moltiplicare destra e sinistra per $ds$ vettore e ottenere che $F*ds=m(v*dv)$ dove $v$ e $dv$ sono vettori, dopo integrazione che effettivamente $W=1/2mv^2b - 1/2mv^2a$ ove a e b sono gli estremi di integrazione.
Il mio problema è che non capisco come possiamo con così scioltezza scrivere che $((dv)/dt)*ds=v*dv$ cioè, c'è un prodotto scalare in mezzo e non capisco veramente come lo si possa "snobbare" in questo modo....ho provato a fare vari ragionamenti ma non ne sono uscito, voi direte, semplice, porto $dt$ sotto $ds$ e ottengo per definizione la velocità istantanea vettore...ma io non capisco il PERCHè si possa fare questo passaggino
grazie a chi mi illumina.
sapendo che $F=ma$ ove $F$ e $a$ sono vettori e sapendo che il lavoro $W=int(F*ds)$ dove $F$ e $ds$ sono vettori possiamo riscrivere $F=m((dv)/dt)$ ($F$,$dv$ vettori) moltiplicare destra e sinistra per $ds$ vettore e ottenere che $F*ds=m(v*dv)$ dove $v$ e $dv$ sono vettori, dopo integrazione che effettivamente $W=1/2mv^2b - 1/2mv^2a$ ove a e b sono gli estremi di integrazione.
Il mio problema è che non capisco come possiamo con così scioltezza scrivere che $((dv)/dt)*ds=v*dv$ cioè, c'è un prodotto scalare in mezzo e non capisco veramente come lo si possa "snobbare" in questo modo....ho provato a fare vari ragionamenti ma non ne sono uscito, voi direte, semplice, porto $dt$ sotto $ds$ e ottengo per definizione la velocità istantanea vettore...ma io non capisco il PERCHè si possa fare questo passaggino
grazie a chi mi illumina.
Risposte
Il termine $\frac{1}{dt}$ possiamo considerarlo come una costante $k$ per tale motivo puoi spostarlo sotto $ds$ senza problemi, utilizzando semplicemente la regola:
\(\displaystyle k\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}=\mathbf{v} \cdot k\mathbf{w} \)
Infatti entrambi i membri sono uguali a:
\(\displaystyle k(\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}) \)
Partendo da questa arrivi a quella sopra che ti porta a risolvere il tuo quesito.
\(\displaystyle k\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}=\mathbf{v} \cdot k\mathbf{w} \)
Infatti entrambi i membri sono uguali a:
\(\displaystyle k(\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}) \)
Partendo da questa arrivi a quella sopra che ti porta a risolvere il tuo quesito.
dunque, noi lo possiamo considerare come costante perchè prima di diventare un $ ((dv)/dt)*ds$ era un $((Dv)/(Dt))*Ds$ e allora adesso posso considerarlo come costante...corretto? Perchè prima effettivamente non mi era chiaro a livello matematico\rigoroso come si fosse fatto quel passaggio...
Puoi effettuare quel passaggio perché $dt$ è uno scalare e non un vettore. Utilizzi quindi la formula che ti ho dato sopra in cui in relazione ad essa $\frac{1}{dt}$ rappresenta la costante (che è uno scalare) $k$.
il problema è che non è un semplice $a/b$ ma qualcosa del tipo $(dx)/dt$...questo non capisco è un problema più matematico forse..
La $dt$ rappresenta una variazione infinitesima del tempo che è uno scalare, equivale a una differenza il cui risultato è però infinitesimo, una differenza tra due scalari è un'altro scalare, pertanto $dt$ è uno scalare, prendendo l'inverso ovviamente ottieni sempre uno scalare, nella formula che ti ho dato anche $k$ è uno scalare e rappresenta la $\frac{1}{dt}$.
Quindi puoi fare semplicemente gli stessi passaggi.
Se $\mathbf{v}$ è un vettore allora $d\mathbf{v}$ rappresenta la differenza tra due vettori che è un'altro vettore.
Quindi puoi fare semplicemente gli stessi passaggi.
Se $\mathbf{v}$ è un vettore allora $d\mathbf{v}$ rappresenta la differenza tra due vettori che è un'altro vettore.
ok va bene, grazie dell'aiuto
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