Passaggio da lagrangiana ad hamiltoniana

[ludwigZero]

Salve a tutti.
Avrei qualche dubbio riguardo al passaggio da lagrangiana ad hamiltoniana.
non avendo mai accennato a lezione su tali esercizi, tento io una mia risoluzione.

ho queta lagrangiana:
$L = ((\dot q)^2)/(4 q^2) - ln q$

devo determinare l'hamiltoniana associata nelle variabili $(q,p)$

$H = p_h \dot q_h - L$

con

$p_h = (dL)/(d \dotq_h)$

trovato questo lo piazzo nella H e l'esercizio è finito?

[Cuspide83]

Prima di tutto ricavi l'impulso generalizzato associato alla velocità generalizzata dalla lagrangiana, ed esprimi la velocità generalizzata in funzione della coordinata e dell'impulso generalizzato

\[p=\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}=\frac{\dot{q}}{2q^{2}}\hspace{2 cm}\Rightarrow\hspace{2 cm}\dot{q}=2pq^{2}\]
Poi ricavi l'hamiltoniana sostituendo alla velocità generalizzata la relazione ricavata in precedenza, facendo diventare cosi la stessa una funzione delle \(q\) e \(p\)

\[H=p\dot{q}-L=p\dot{q}-\frac{\dot{q}^{2}}{4q^{2}}+\ln{q}=(pq)^{2}+\ln{q}\]