Particella unidimensione in una buca di potenziale
Ciao ragazzi =) vorrei chiedervi se potreste aiutarmi a chiarire alcuni dubbi sull'equazione di Schrodinger stazionaria nel caso unidimensionale. Considerando il caso in cui la particella si trovi in una buca id potenziale infinita, l'equazione agli autovalori risulta
$$\psi''_E(x)+\frac{2m}{\hbar^2}(E-V(x))\psi_E(x)=0 $$
ora perchè la continuità di V implica la continuità di $psi'$ e $psi$? Mentre se V ha un salto all'infinito anche $psi'$ ha un salto mentre $psi$ è continua?
Inoltre, perchè le condizioni di raccordo ai bordi impongono che $psi$ deve essere nulla agli estremi?
Grazie in anticipo
$$\psi''_E(x)+\frac{2m}{\hbar^2}(E-V(x))\psi_E(x)=0 $$
ora perchè la continuità di V implica la continuità di $psi'$ e $psi$? Mentre se V ha un salto all'infinito anche $psi'$ ha un salto mentre $psi$ è continua?
Inoltre, perchè le condizioni di raccordo ai bordi impongono che $psi$ deve essere nulla agli estremi?
Grazie in anticipo
Risposte
L'equazione mi pare scritta male ...
Pardon, ora dovrebbe essere scritta correttamente
Dentro la buca si ha $U=0$, per cui la soluzione è una sinusoide. Fuori dalla buca la particella non può andare (non vi è effetto tunnell). Qusto lo puoi vedere partendo da una buca finita e facendo il limite all'infinito della parete. Se la buca è finita, per energie minori della buca, si ha effetto tunnel con esponenziali decrescenti ai due lati. Alzando la buca, le esponenziali si abbassano fino ad azzerarsi.
Ok, però ancora la situazione non mi è chiarissima. Se non considerassi la situazione fisica, in generale per un'equazione differenziale a coefficienti non costanti come in questo caso, io posso fare delle previsioni sulle caratteristiche della soluzione sapendo esplicitamente il coefficiente non costante, che in questo caso può essere una funzione di classe $C^0$, $C^1$ o di classe $C^2$? E come posso interpretare in termini matematici il fatto che nella mia equazione differenziale la funzione V(x) è infinita?
I coefficienti sono costanti perché Il problema è definito solo dentro la buca. Le condizioni al contorno sono scelte esclusivamente da considerazioni fisiche:
la probabilità della particella fuori dalla buca è verosimilmente nulla, quindi la scegliamo nulla.
la probabilità della particella fuori dalla buca è verosimilmente nulla, quindi la scegliamo nulla.
"Nick_93":
in generale per un'equazione differenziale a coefficienti non costanti come in questo caso, io posso fare delle previsioni sulle caratteristiche della soluzione sapendo esplicitamente il coefficiente non costante, che in questo caso può essere una funzione di classe $C^0$, $C^1$ o di classe $C^2$?
In alcuni casi si'.
E come posso interpretare in termini matematici il fatto che nella mia equazione differenziale la funzione V(x) è infinita?
Tecnicamente (come e' stato gia' detto) la funzione d'onda e' nulla al di fuori della buca. Praticamente prendi solo le funzioni definite sul segmento dove e' supportato il potenziale in maniera finita, e che si annullino al bordo.
Ok il seguente punto non ho ben chiaro
perchè al bordo deve annullarsi lo stato se il potenziale è infinito solo per $x>|L/2|$
e che si annullino al bordo.
perchè al bordo deve annullarsi lo stato se il potenziale è infinito solo per $x>|L/2|$
"Nick_93":
Ok il seguente punto non ho ben chiaro
e che si annullino al bordo.
perchè al bordo deve annullarsi lo stato se il potenziale è infinito solo per $x>|L/2|$
Se e' nulla per $x>|L/2|$, per motivi di continuita', sara' nulla anche in $x=|L/2|$.
Perdonami per la scempiaggine che sto per scrivere ma avrebbe senso porre le condizioni in modo tale che, essendo la funzione $\psi(x) \ne 0$ per $x<|L/2|$ allora per motivi di continuità la funzione sarà non nulla anche per $x=L/2$?
ma avrebbe senso porre le condizioni in modo tale che, essendo la funzione $\psi(x) \ne 0$ per $x<|L/2|$ allora per motivi di continuità la funzione sarà non nulla anche per $x=L/2$?
"Nick_93":
ma avrebbe senso porre le condizioni in modo tale che, essendo la funzione $\psi(x) \ne 0$ per $x<|L/2|$ allora per motivi di continuità la funzione sarà non nulla anche per $x=L/2$?
No, decisamente no. Essendo $\psi$ continua l'immagine inversa dell'insieme costituito dal solo $0$ (che e' chiuso) e' un insieme chiuso, per cui hai l'argomento a cui mi rifacevo io. Non c'e' alcun motivo invece per escludere un valore dall'immagine di $\psi$, la quale invece tendera' continuamente a $0$ avvicinandosi al bordo.
Ok perfetto! Vi ringrazio per i chiarimenti
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