Particella in un campo magnetico
Salve, avrei bisogno di un aiuto per la risoluzione di questo esercizio.
Un protone entra in una regione di spazio di lunghezza $L$ in cui è presente un campo magnetico uniforme di modulo $B$ perpendicolare alla velocità $vecv$ del protone.
Determinare l'angolo di deflessione tra la traiettoria del protone all'ingresso e all'uscita dalla regione in cui è presente $B$ trascurando l'effetto della forza di gravità.
Un protone entra in una regione di spazio di lunghezza $L$ in cui è presente un campo magnetico uniforme di modulo $B$ perpendicolare alla velocità $vecv$ del protone.
Determinare l'angolo di deflessione tra la traiettoria del protone all'ingresso e all'uscita dalla regione in cui è presente $B$ trascurando l'effetto della forza di gravità.
Risposte
Una volta focalizzato il cuore fisico del problema, il resto è puramente geometrico.
Sicuramente saprai che, una particella carica, posta in un campo magnetico, tale che la sua direzione di entrata sia ortogonale al campo magnetico stesso, descrive un moto circolare, sottoposta alla forza di Lorentz:
$\vec{F}=q\vec{v}\times\vec{B}$
La forza di Lorentz non compie lavoro, dunque la particella mantiene, entrata nel campo magnetico, costante la propria velocità in modulo, ma non in verso.
Il moto, come abbiam detto, è circolare: calcoliamo dunque il raggio della circonferenza descritta dal protone. Poiché l'unica forza responsabile del moto è la forza di Lorentz, e l'accelerazione è puramente centripeta, varrà:
$qvB=m(v^2)/R $
Poiché l'accelerazione centripeta e la forza di Lorentz sono entrambe dirette verso il centro di curvatura della particella, ne ho considerato le proiezioni lungo il raggio. Otteniamo subito il raggio di questa traiettoria curvilinea:
$R=(mv)/(qB)$
E la velocità angolare $\omega$ è dunque:
$\omega=v/R=qB/m$
Come ho già detto, una volta entrata nel campo, il moto della particella è circolare, con velocità tangenziale uniforme, perciò, in forma parametrica, le equazioni del moto sono:
$1) {(x=Rcos(\omegat)), (y=Rsin(\omegat)):} $
Ora ci serve solo sapere l'angolo di inclinazione del vettore velocità, rispetto all'asse x, quando x=L. Per praticità, esprimiamo la $1)$ come...
$y=\sqrt(R^2-x^2)$
Calcolandone la derivata,
$\dot(y)=-x/(sqrt(R^2-x^2))$
Che in L dà...
$\dot(y)=-L/(sqrt(R^2-L^2))$
Saprai che la derivata di una funzione calcolata in un punto descrive la tangente dell'angolo tra la retta tangente in quel punto alla funzione e l'asse delle x: perciò,
$tg\theta=-L/(sqrt(R^2-L^2)) \Rightarrow \theta=-arctgL/(sqrt(R^2-L^2))=-arctgL/(sqrt(((mv)/(qB))^2-L^2))$
Che è l'angolo di uscita cercato. Il disegno può essere magari più esplicativo. La regione in rosso descrive la zona dov'è presente il campo magnetico (in questo caso, uscente dal piano dello schermo).
Mi sono inoltre preso la libertà di non dare troppo peso ai segni (la traiettoria poteva essere crescente nel piano xy e non decrescente), visto che, alla fine, ti serviva solo l'angolo di deviazione.
Vediamo alcuni casi particolari: prima di tutto, deve necessariamente valere $R>L$ per rispettare il dominio della funzione derivata, altrimenti ti troveresti un numero negativo sotto radice. La qual cosa è, dal punto di vista fisico, ben comprensibile: se $L$ fosse maggiore di $R$, la particella non uscirebbe mai dalla regione del campo magnetico, in quanto tornerebbe a ruotare prima di fuoriuscire: dunque non hai angolo di deviazione. Per $L=R$, invece, il denominatore tende a 0, e l'angolo tende a $\pi/2$: significa che la particella è uscita proprio nel punto in cui la sua velocità era parallela all'asse y.
Sicuramente saprai che, una particella carica, posta in un campo magnetico, tale che la sua direzione di entrata sia ortogonale al campo magnetico stesso, descrive un moto circolare, sottoposta alla forza di Lorentz:
$\vec{F}=q\vec{v}\times\vec{B}$
La forza di Lorentz non compie lavoro, dunque la particella mantiene, entrata nel campo magnetico, costante la propria velocità in modulo, ma non in verso.
Il moto, come abbiam detto, è circolare: calcoliamo dunque il raggio della circonferenza descritta dal protone. Poiché l'unica forza responsabile del moto è la forza di Lorentz, e l'accelerazione è puramente centripeta, varrà:
$qvB=m(v^2)/R $
Poiché l'accelerazione centripeta e la forza di Lorentz sono entrambe dirette verso il centro di curvatura della particella, ne ho considerato le proiezioni lungo il raggio. Otteniamo subito il raggio di questa traiettoria curvilinea:
$R=(mv)/(qB)$
E la velocità angolare $\omega$ è dunque:
$\omega=v/R=qB/m$
Come ho già detto, una volta entrata nel campo, il moto della particella è circolare, con velocità tangenziale uniforme, perciò, in forma parametrica, le equazioni del moto sono:
$1) {(x=Rcos(\omegat)), (y=Rsin(\omegat)):} $
Ora ci serve solo sapere l'angolo di inclinazione del vettore velocità, rispetto all'asse x, quando x=L. Per praticità, esprimiamo la $1)$ come...
$y=\sqrt(R^2-x^2)$
Calcolandone la derivata,
$\dot(y)=-x/(sqrt(R^2-x^2))$
Che in L dà...
$\dot(y)=-L/(sqrt(R^2-L^2))$
Saprai che la derivata di una funzione calcolata in un punto descrive la tangente dell'angolo tra la retta tangente in quel punto alla funzione e l'asse delle x: perciò,
$tg\theta=-L/(sqrt(R^2-L^2)) \Rightarrow \theta=-arctgL/(sqrt(R^2-L^2))=-arctgL/(sqrt(((mv)/(qB))^2-L^2))$
Che è l'angolo di uscita cercato. Il disegno può essere magari più esplicativo. La regione in rosso descrive la zona dov'è presente il campo magnetico (in questo caso, uscente dal piano dello schermo).
Mi sono inoltre preso la libertà di non dare troppo peso ai segni (la traiettoria poteva essere crescente nel piano xy e non decrescente), visto che, alla fine, ti serviva solo l'angolo di deviazione.
Vediamo alcuni casi particolari: prima di tutto, deve necessariamente valere $R>L$ per rispettare il dominio della funzione derivata, altrimenti ti troveresti un numero negativo sotto radice. La qual cosa è, dal punto di vista fisico, ben comprensibile: se $L$ fosse maggiore di $R$, la particella non uscirebbe mai dalla regione del campo magnetico, in quanto tornerebbe a ruotare prima di fuoriuscire: dunque non hai angolo di deviazione. Per $L=R$, invece, il denominatore tende a 0, e l'angolo tende a $\pi/2$: significa che la particella è uscita proprio nel punto in cui la sua velocità era parallela all'asse y.
Grazie mille, chiarissimo
Ciao, ti riporto il testo completo del problema.
A me risulta $R= 1,111m$ e quindi $R
Mi sembra un po' strano
A me risulta $R= 1,111m$ e quindi $R
Mi sembra un po' strano
Suppongo di sì, sia la risposta e, "nessuna delle altre". In alternativa mi verrebbe da pensare che il protone, una volta invertita la rotta, fuoriesca dal campo magnetico con un angolo di uscita di π, che però non vedo tra le soluzioni. Attendo conferma (o smentita!) da qualcuno più preparato di me 
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