Particella carica in un campo magnetico
una particella con carica $q$ e massa $m$ entra in una regione di spazio in cui è presente un campo magnetico uniforme e costante percorrendo una traiettoria di lunghezza $l$ in un tempo $t$. nella sua orbita la particella compie complessivamente $R$ rivoluzioni. l'angolo tra velocità della particella e campo magnetico vale $\theta$. determinare l'intensità $B$ del campo magnetico.
volevo sottoporvi la mia risoluzione che credo sia esatta ma che non è congruente con la soluzione del prof:
ho trovato per prima cosa la velocità $v=l/t$; poi il raggio delle circonferenze disegnate dalla particella nel suo moto come $2\pir=l/R -> r=l/(2\piR)$. l'accelerazione centripeta della particella è inoltre $a=v_y^2/r=(2\piRlsin^2\theta)/t^2$ dove con $v_y$ ho inteso la componente della velocità perpendicolare al campo magnetico.
da qui ho imposto [tex]q \overrightarrow{v} \wedge \overrightarrow{B} =ma[/tex], quindi $qvBsin\theta=ma$ e sostituendo ho trovato $B=2\pimRsin\theta/(qt)$.
dalla soluzione del prof ho dedotto che non avrei dovuto mettere nel risultato il seno di theta, però così non mi torna..
qualcuno mi aiuta?
grazie
volevo sottoporvi la mia risoluzione che credo sia esatta ma che non è congruente con la soluzione del prof:
ho trovato per prima cosa la velocità $v=l/t$; poi il raggio delle circonferenze disegnate dalla particella nel suo moto come $2\pir=l/R -> r=l/(2\piR)$. l'accelerazione centripeta della particella è inoltre $a=v_y^2/r=(2\piRlsin^2\theta)/t^2$ dove con $v_y$ ho inteso la componente della velocità perpendicolare al campo magnetico.
da qui ho imposto [tex]q \overrightarrow{v} \wedge \overrightarrow{B} =ma[/tex], quindi $qvBsin\theta=ma$ e sostituendo ho trovato $B=2\pimRsin\theta/(qt)$.
dalla soluzione del prof ho dedotto che non avrei dovuto mettere nel risultato il seno di theta, però così non mi torna..
qualcuno mi aiuta?
grazie
Risposte
Il tuo errore sta nella valutazione di r.
Infatti poniamoci in un sistema relativo che trasla in direzione x (parallela al campo B): il raggio va valutato in questo sistema, dove le circonferenze vengono percorse con velocità $v_y$. Allora si ha:
[tex]\begin{array}{l}
\vec v = {{\vec v}_y} + {{\vec v}_x} \\
\\
v = \frac{l}{t} \\
\\
{v_y} = v\sin \theta = \frac{l}{t}\sin \theta = \frac{{2\pi rR}}{t} \\
\\
r = \frac{l}{{2\pi R}}\sin \theta \\
\\
\frac{{{v_y}^2}}{r} = \frac{{2\pi R{v^2}\sin \theta }}{l} = \frac{q}{m}vB\sin \theta \\
\\
B = \frac{{2\pi mR}}{{qt}} \\
\end{array}[/tex]
Infatti poniamoci in un sistema relativo che trasla in direzione x (parallela al campo B): il raggio va valutato in questo sistema, dove le circonferenze vengono percorse con velocità $v_y$. Allora si ha:
[tex]\begin{array}{l}
\vec v = {{\vec v}_y} + {{\vec v}_x} \\
\\
v = \frac{l}{t} \\
\\
{v_y} = v\sin \theta = \frac{l}{t}\sin \theta = \frac{{2\pi rR}}{t} \\
\\
r = \frac{l}{{2\pi R}}\sin \theta \\
\\
\frac{{{v_y}^2}}{r} = \frac{{2\pi R{v^2}\sin \theta }}{l} = \frac{q}{m}vB\sin \theta \\
\\
B = \frac{{2\pi mR}}{{qt}} \\
\end{array}[/tex]
okay. e infatti per $\theta=\pi/2$, cioè per velocità perpendicolare al campo magnetico, il raggio è massimo e per $\theta=0$, cioè velocità parallela al campo magnetico, la particella compie un moto rettilineo e non più elicoidale..
grazie mille mi sei stato di grande aiuto!
grazie mille mi sei stato di grande aiuto!
mi è venuta in mente un'altra domanda più che altro di curiosità: il raggio che avevo trovato io ($r=l/(2\piR)$) cos'è? forse il raggio del cilindro che contiene l'elica?
No, il raggio del cilindro sul quale è avvolta l'elica è proprio r così come l'ho calcolato io.
Questo che dici tu è il raggio che si avrebbe se la velocità v fosse entrata perpendicolarmente al campo B.
Questo che dici tu è il raggio che si avrebbe se la velocità v fosse entrata perpendicolarmente al campo B.
ok adesso mi è chiaro..
grazie ancora!
grazie ancora!
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