Parentesi di Poisson tra quantità vettoriali
Salve, ho un problema le parentesi di Poisson in quanto ho qualche difficoltà a usare la notazione per componenti quando mi sono date quantità vettoriali in notazione vettoriale.
Esempio:
sapendo che $[\vec{l},H]=0$
Fino al terzo passaggio riesco ad arrivarci autonomamente ma poi mi perdo.
La parentesi tra $p_a$ e $frac{1}{r}$ non dovrebbe essere $ \delta_{ak} \frac{1}{r^2}$? Perchè scompare il segno meno (non dovrebbe uscire un segno meno dalla derivata di $\frac{1}{r}$ e uno dal fatto che al primo membro ci sia un momento)? Da dove esce il versore $\hat{r}_a$ ? Perchè la derivata $\frac{\partial}{\partial r_k} \hat{r}_i$ è uguale a quel pastrocchio con la delta di Kronecker?
Domanda bonus:
Come dovrei procedere se dovessi calcolare la derivata $\frac{\partial}{\partial r_k} |\vec{r} |$ ?
Esempio:
sapendo che $[\vec{l},H]=0$
Fino al terzo passaggio riesco ad arrivarci autonomamente ma poi mi perdo.
La parentesi tra $p_a$ e $frac{1}{r}$ non dovrebbe essere $ \delta_{ak} \frac{1}{r^2}$? Perchè scompare il segno meno (non dovrebbe uscire un segno meno dalla derivata di $\frac{1}{r}$ e uno dal fatto che al primo membro ci sia un momento)? Da dove esce il versore $\hat{r}_a$ ? Perchè la derivata $\frac{\partial}{\partial r_k} \hat{r}_i$ è uguale a quel pastrocchio con la delta di Kronecker?
Domanda bonus:
Come dovrei procedere se dovessi calcolare la derivata $\frac{\partial}{\partial r_k} |\vec{r} |$ ?
Risposte
In genere quando mi metto a fare calcoli di questo, arrivo a qualche riga, poi mi accorgo di aver invertito un indice, appallotto tutto e getto via 
. Ad ogni modo in quel conto mi suona strana più di una cosa, così a vista. I segni mi suonano strani, sia quello che dici tu sia anche altri alla fine ma andrebbero fatti i conti per vedere se è vero, potrebbe addirittura aver raccolto un segno globale ed eliminato in previsione dell'imposizione a zero, è una cosa brutta ma si fa. Comunque per rispondere alle tue domande ti faccio notare una paio di cose. La prima è che la componente $i$ è l'unica che non va toccata, poiché si riferisce alla componente di ciò che stai calcolando, mentre gli altri indici che compaiono sono indici ripetuti, c'è una sommatoria nascosta, forse questo non l'hai tenuto in conto ecco perché non ti torna il "pastrocchio" che dici.
A parte questo ti do qualche altra chiarificazione.
$[p_a,1/r]=-1/r^2 (r_a/r)=-1/r^2 \hat{r}_a$ se non ti torna scrivi $r=(x^2+y^2+z^2)^(1/2)$ e deriva rispetto ad $x$ che può essere la generica $r_a$
$\frac{\partial}{\partial r_k} \hat{r}_i=\frac{\partial}{\partial r_k} (r_i/r)=r_i \frac{\partial}{\partial r_k}(1/r)=-(r_i r_k)/r^3$
dato che in quel punto stai sommando su $k$ hai che nella somma ci sarà un addendo in cui $k=i$ che ti fa uscire la delta e tutti gli altri in cui $k\nei$. Però qualcosa non mi torna in come è scritto infatti dovrebbe essere
$p_k \frac{\partial}{\partial r_k} \hat{r}_i= - p_k( (r_kr_k)/r^3 + (r_kr_i)/r^3) = - p_k( \delta_(ik)/r + (r_kr_i)/r^3)$ e non come lo scrive lui, quantomeno per far tornare le dimensioni in quella somma infatti lui somma due quantità con dimensioni diverse una ha $p/r $ e l'altra $p$ . Come anche non capisco perché il segno meno al primo addendo sulla delta lo butta. Resta però il fatto che per esperienza questi conti vanno fatti davvero bene, tranquilli, passo passo perché ci metti niente a sbagliare quindi per essere sicuro dovrei farlo. Dato che la voglia di impelagarmi in questo conto è molto bassa spero che con queste indicazioni tu possa comunque ripercorrere il calcolo ed eventualmente valutare meglio il risultato.
. Ad ogni modo in quel conto mi suona strana più di una cosa, così a vista. I segni mi suonano strani, sia quello che dici tu sia anche altri alla fine ma andrebbero fatti i conti per vedere se è vero, potrebbe addirittura aver raccolto un segno globale ed eliminato in previsione dell'imposizione a zero, è una cosa brutta ma si fa. Comunque per rispondere alle tue domande ti faccio notare una paio di cose. La prima è che la componente $i$ è l'unica che non va toccata, poiché si riferisce alla componente di ciò che stai calcolando, mentre gli altri indici che compaiono sono indici ripetuti, c'è una sommatoria nascosta, forse questo non l'hai tenuto in conto ecco perché non ti torna il "pastrocchio" che dici. A parte questo ti do qualche altra chiarificazione.
$[p_a,1/r]=-1/r^2 (r_a/r)=-1/r^2 \hat{r}_a$ se non ti torna scrivi $r=(x^2+y^2+z^2)^(1/2)$ e deriva rispetto ad $x$ che può essere la generica $r_a$
$\frac{\partial}{\partial r_k} \hat{r}_i=\frac{\partial}{\partial r_k} (r_i/r)=r_i \frac{\partial}{\partial r_k}(1/r)=-(r_i r_k)/r^3$
dato che in quel punto stai sommando su $k$ hai che nella somma ci sarà un addendo in cui $k=i$ che ti fa uscire la delta e tutti gli altri in cui $k\nei$. Però qualcosa non mi torna in come è scritto infatti dovrebbe essere
$p_k \frac{\partial}{\partial r_k} \hat{r}_i= - p_k( (r_kr_k)/r^3 + (r_kr_i)/r^3) = - p_k( \delta_(ik)/r + (r_kr_i)/r^3)$ e non come lo scrive lui, quantomeno per far tornare le dimensioni in quella somma infatti lui somma due quantità con dimensioni diverse una ha $p/r $ e l'altra $p$ . Come anche non capisco perché il segno meno al primo addendo sulla delta lo butta. Resta però il fatto che per esperienza questi conti vanno fatti davvero bene, tranquilli, passo passo perché ci metti niente a sbagliare quindi per essere sicuro dovrei farlo. Dato che la voglia di impelagarmi in questo conto è molto bassa
spero che con queste indicazioni tu possa comunque ripercorrere il calcolo ed eventualmente valutare meglio il risultato.
Rifacendo i conti mi trovo d'accordo con te su alcune cose come il fatto che quel $\frac{r_i r_k}{r^2}$ in realtà è $\frac{r_i r_k}{r^3}$ inoltre credo che $\hat{r_i}(\vec{p} \cdot \hat{r})$ in realtà sia $r_i(\vec{p} \cdot \hat{r})$
Però mi rimangono dei dubbi sulle cose che mi hai detto tu. (svolgo tutti i calcoli per chiarezza)
1)
$$[p_a,\frac{1}{r}]=\frac{\partial p_a}{\partial r_k} \frac{\partial 1/r}{\partial p_k}-\frac{\partial p_a}{\partial p_k} \frac{\partial 1/r}{\partial r_k}=0-\frac{\partial p_a}{\partial p_k} \frac{\partial 1/r}{\partial r_k}=-\delta_{ak} \frac{\partial 1/r}{\partial r_k}=-\delta_{ak}(-\frac{1}{r^2} \frac{\partial r}{\partial r_k})=\delta_{ak}\frac{r_k}{r^3}=\frac{\hat{r_a}}{r^2}$$
Perchè nei tuoi calcoli alla fine c'è un segno meno? dove ho sbagliato?
2)
$$\frac{\partial}{\partial r_k} \hat{r}_i=\frac{\partial}{\partial r_k} (r_i/r)=\frac{r \partial_{r_k}(r_i)-r_i \partial_{r_k}(r)}{r^2}=\frac{r \delta_{ik}-r_i(r_k/r)}{r^2}=\frac{\delta_{ik}}{r}-\frac{r_i r_k}{r^3}$$
Anche qui, perchè dai tuoi calcoli esce un meno davanti alla delta?
Però mi rimangono dei dubbi sulle cose che mi hai detto tu. (svolgo tutti i calcoli per chiarezza)
1)
$$[p_a,\frac{1}{r}]=\frac{\partial p_a}{\partial r_k} \frac{\partial 1/r}{\partial p_k}-\frac{\partial p_a}{\partial p_k} \frac{\partial 1/r}{\partial r_k}=0-\frac{\partial p_a}{\partial p_k} \frac{\partial 1/r}{\partial r_k}=-\delta_{ak} \frac{\partial 1/r}{\partial r_k}=-\delta_{ak}(-\frac{1}{r^2} \frac{\partial r}{\partial r_k})=\delta_{ak}\frac{r_k}{r^3}=\frac{\hat{r_a}}{r^2}$$
Perchè nei tuoi calcoli alla fine c'è un segno meno? dove ho sbagliato?
2)
$$\frac{\partial}{\partial r_k} \hat{r}_i=\frac{\partial}{\partial r_k} (r_i/r)=\frac{r \partial_{r_k}(r_i)-r_i \partial_{r_k}(r)}{r^2}=\frac{r \delta_{ik}-r_i(r_k/r)}{r^2}=\frac{\delta_{ik}}{r}-\frac{r_i r_k}{r^3}$$
Anche qui, perchè dai tuoi calcoli esce un meno davanti alla delta?
Perché avevo fatto i conti a mente ed evidentemente mi era rimasto un meno in tasca. Come ho detto vanno fatti con calma questi calcoli sbagliare è facile, il tuo conto è giusto e si vede bene quel che si diceva su quel termine $1/r^3$ che non può essere altrimenti 
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