parametro del'integrale che non torna nella formula della potenza media di un segnale

[zio_mangrovia]

Salve,
vi riporto alcuni appunti che ha scritto un professore per il calcolo della potenza media di un segnale cosinusoidale dove non mi torna un passaggio.
Dato il segnale:

[math]x(t)=A cos(2 \pi f_0 t + \varphi)[/math]

[math]f_0[/math]

: frequenza del segnale

[math]\varphi[/math]

: fase del segnale

[math]T[/math]

: periodo del segnale

[math]A[/math]

: Ampiezza del segnale

[math]P_{x_t} \triangleq \frac{E_{xt}}{T}[/math]

[math]P_x = \lim_{T\rightarrow \infty} \frac{E_{xt}}{T} = \lim_{T\rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} |x(t)|^2dt[/math]

nello specifico:

[math]P_x=\lim_{T\rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}A^2cos^2(2 \pi f_0 t + \varphi)dt[/math]

[math]P_x=\lim_{T\rightarrow \infty} \frac{1}{T} \left[ \frac{A^2}{2}T + \frac{A^2}{2}\int_{-T/2}^{T/2}cos(4 \pi f_0 t + 2 \varphi)dt \right][/math]

[math]P_x=\lim_{T\rightarrow \infty} \frac{A^2}{2} + \lim_{T\rightarrow \infty} \frac{K}{T}= \frac{A^2}{2} [/math]

dove

[math]\frac{-A^2}{2} \frac{1}{4 \pi f_0} <= K <= \frac{A^2}{2} \frac{1}{4 \pi f_0} [/math]

DUBBI e mi considerazioni:


L'integrale

[math]\int_{-T/2}^{T/2}cos(4 \pi f_0 t + 2 \varphi)dt[/math]

non potrei già dedurre essere zero?
La funzione cos(x) è integrata nel periodo di lunghezza T tra -T/2 e T/2 ed è periodica. Sbaglio?

Se lasciassi perdere questo ragionamento della funzione periodica e
calcolassi l'integrale

[math]\int_{-T/2}^{T/2}cos(4 \pi f_0 t + 2 \varphi)dt[/math]

verrebbe:

[math]\left[\frac{1}{4 \pi f_0}sin(4 \pi f_0 t + 2 \varphi) \right]_{-T/2}^{T/2} =[/math]

[math]\frac{1}{4 \pi f_0} \left[ sin(2 \pi f_0 T + 2 \varphi) - sin(-2 \pi f_0 T + 2 \varphi) \right] =[/math]

dato che

[math]f_0=\frac{1}{T}[/math]

e che

[math]sin(2 \pi+\alpha)=sin(\alpha)[/math]

[math]sin(-2 \pi+\alpha)=sin(\alpha)[/math]

[math]\frac{1}{4 \pi f_0} \left[ sin(2 \pi + 2 \varphi) - sin(-2 \pi + 2 \varphi) \right] =[/math]

[math]\frac{1}{4 \pi f_0} sin(2 \varphi) - sin(2 \varphi)[/math]

= 0

Quindi non capisco il range di valori assegnati alla costante K

[ingres]

Credo che il problema sia dovuto all'ambiguità dei termini utilizzati.

T in generale non rappresenta il periodo del segnale periodico ma l'intervallo di integrazione che varia su tutto l'asse dei tempi mentre T0=1/f0 rappresenta effettivamente il periodo in questione che è una costante. Vedi ad esempio.

https://www.distortionbyte.com/it/elettronica/segnali-e-sistemi/potenza-di-un-segnale-periodico


L'ambiguità nasce dal fatto che alcune dimostrazioni talvolta vengono svolte limitando il tempo T a T0 per cui i due intervalli coincidono. Vedi ad es.

https://teoriadeisegnali.it/libro/html/libro-1.5.html

Chiaramente nella dimostrazione riportata si è proceduto secondo la formula generale per cui il termine integrale con il coseno in generale non è nullo ma varierà secondo il valore assegnato a T. Detto K il suddetto valore, questo comunque rimarrà limitato tra gli estremi riportati e pertanto il suo contributo sparirà facendo il limite.

[zio_mangrovia]

ingres ha scritto:

Credo che il problema sia dovuto all'ambiguità dei termini utilizzati.

T in generale non rappresenta il periodo del segnale periodico ma l'intervallo di integrazione che varia su tutto l'asse dei tempi mentre T0=1/f0 rappresenta effettivamente il periodo in questione che è una costante.

Alla luce della tua considerazione se T non rappresentasse il periodo ma solo l'intervallo di integrazione avremmo pur sempre questo sviluppo:

[math]\left[\frac{1}{4 \pi f_0}sin(4 \pi f_0 t + 2 \varphi) \right]_{-T/2}^{T/2} =[/math]

[math]\frac{1}{4 \pi f_0} \left[ sin(2 \pi f_0 T + 2 \varphi) - sin(-2 \pi f_0 T + 2 \varphi) \right] =[/math]

e NON potrei applicare le seguenti valutazioni poiché non ho un angolo multiplo

[math] di 2*\pi [/math]

, corretto ?

[math]sin(2 \pi+\alpha)=sin(\alpha)[/math]

[math]sin(-2 \pi+\alpha)=sin(\alpha)[/math]

Ma cosa mi porta ad affermare che :

[math]\frac{-A^2}{2} \frac{1}{4 \pi f_0} <= K <= \frac{A^2}{2} \frac{1}{4 \pi f_0} [/math]

in

[math]\frac{1}{4 \pi f_0} \left[ sin(2 \pi f_0 T + 2 \varphi) - sin(-2 \pi f_0 T + 2 \varphi) \right] =[/math]

Questo significa che il termine dentro la parentesi quadra cioè la differenza dei due sin() assume valori tra -1 e 1 ma come è possibile ? Non potrebbe essere p.e. che il primo sin() generi -1 ed il secondo 1 in modo da avere un totale di -2 ? in questo caso il valore min sarebbe diverso. Spero di essermi spiegato

[ingres]

Entrambe le affermazioni sono corrette.

1) non si ha un angolo multiplo di 2 π per cui non si possono applicare le considerazioni sulla periodicità

2) il valore min e il valore max del K sono da moltiplicare per 2 (va bene il ragionamento fatto ma forse si vede ancora meglio applicando le formule di prostaferesi)

Ovviamente la 2) non inficia la dimostrazione in sè perchè quello che conta è che K sia compreso tra 2 limiti finiti e non i valori numerici di tali limiti.