Paradosso reversibilità temporale
Il teorema H di Boltzmann, afferma che, data una funzione di distribuzione $f$ che obbedisce all'equazione del trasporto di Boltzmann, la quantità $H=int(d^3 r d^3 p f*logf)$ è una funzione decrescente del tempo, cioè $(dH)/(dt)<=0$.
La dimostrazione di questo teorema non è rigorosa, poichè è valida solo nell'ipotesi di caos molecolare, che non può essere verificata in ogni istante, tuttavia in media $H$ decresce col tempo.
Tra le ipotesi alla base di questo teorema vi è l'invarianza per inversione temporale degli operatori di collisione tra molecole. Eppure il risultato è che l'evoluzione del sistema non è simmetrica per inversione temporale.
Come pensereste di risolvere questo paradosso?
La dimostrazione di questo teorema non è rigorosa, poichè è valida solo nell'ipotesi di caos molecolare, che non può essere verificata in ogni istante, tuttavia in media $H$ decresce col tempo.
Tra le ipotesi alla base di questo teorema vi è l'invarianza per inversione temporale degli operatori di collisione tra molecole. Eppure il risultato è che l'evoluzione del sistema non è simmetrica per inversione temporale.
Come pensereste di risolvere questo paradosso?
Risposte
Perchè dovrebbe essere un paradosso?
La tua domanda è equivalente se non sbaglio (dimmi se ho capito bene):
Come mai microscopicamente c'è simmetria per inversione temporale e macroscopicamente no (anche solo per il 2o principio della termodinamica)?
Come mai microscopicamente c'è simmetria per inversione temporale e macroscopicamente no (anche solo per il 2o principio della termodinamica)?
Il "paradosso" si risolve aggiungendo un'ipotesi ad hoc nel teorema: si suppone che la tesi sia valida, cioè $(dH)/(dt) <= 0$, in un intorno destro $t^+$ di un istante in cui sia valida l'ipotesi di caos molecolare. Se l'ipotesi di caos molecolare non vale in un dato istante, semplicemente la tesi può non verificarsi.
Supponiamo di avere un istante di tempo $t$ in cui si abbia caos molecolare: per il teorema H, il funzionale decresce in un intervallo di tempo $t^+$ successivo. Supponiamo ora, nell'istante $t$, di invertire tutte le velocità di tutte le molecole: il futuro di questo nuovo gas coincide con il passato del gas con le velocità non invertite (questo grazie alla invarianza per inversione temporale delle equazioni del moto di Hamilton, che descrivono il moto di ogni singola molecola). Anche per il gas "invertito" è valida l'ipotesi di caos molecolare, quindi il funzionale H decrescerà nel tempo: questo però vuol dire che per il gas originale H è crescente in un intorno sinistro $t^-$ dell'istante $t$: quindi, in generale, il funzionale H non è e non può essere una funzione monotona decrescente. All'equilibrio, l'andamento di H in funzione del tempo è piuttosto a "zig-zag" attorno ad un valore medio.
Supponiamo di avere un istante di tempo $t$ in cui si abbia caos molecolare: per il teorema H, il funzionale decresce in un intervallo di tempo $t^+$ successivo. Supponiamo ora, nell'istante $t$, di invertire tutte le velocità di tutte le molecole: il futuro di questo nuovo gas coincide con il passato del gas con le velocità non invertite (questo grazie alla invarianza per inversione temporale delle equazioni del moto di Hamilton, che descrivono il moto di ogni singola molecola). Anche per il gas "invertito" è valida l'ipotesi di caos molecolare, quindi il funzionale H decrescerà nel tempo: questo però vuol dire che per il gas originale H è crescente in un intorno sinistro $t^-$ dell'istante $t$: quindi, in generale, il funzionale H non è e non può essere una funzione monotona decrescente. All'equilibrio, l'andamento di H in funzione del tempo è piuttosto a "zig-zag" attorno ad un valore medio.
Grazie per le risposte, comunque lo scopo della domanda era quello di trovare un ragionamento logico che riesca a rendere conto di questo dato di fatto. Ad esempio, la risposta di VINX89, che già comunque conoscevo, mette in evidenza i limiti della dimostrazione del teorema H.
Tuttavia al di là di questo teorema, è un fatto che l'evoluzione di sistemi a molte particelle sembra obbedire a leggi non simmetriche per inversione temporale, anche se le leggi che governano le interazioni tra le singole coppie di particelle sono simmetriche per inversione temporale. Non è necessario pensare a sistemi termodinamici. Ad esempio se dispongo a triangolo 15 palle da biliardo e poi le colpisco con un'altra pallina, accade che le palline si distribuiscono in modo scombinato sul tavolo; se eliminassi l'attrito si mantererrebbero sempre in moto, conservando l'energia cinetica. Se filmassi il moto e poi facessi scorrere il filmato all'indietro, vedrei le palline che si ordinano formando un triangolo, cosa che in realtà non accade mai, sebbene gli urti siano tutti elastici e simmetrici per inversione temporale.
Questo fatto mi pare che sia legato ad una questione probabilistica, ma che dopo un tempo sufficientemente lungo (tempo di ricorrenza di Poincarè), potrei osservare un evento improbabile, come il riordinamento spontaneo delle palle da biliardo. Dunque in realtà l'evoluzione dei sistemi a molte particelle dovrebbe essere periodica, ma con un periodo enormemente lungo rispetto all'età dell'universo, così che noi osservando solo un pezzo molto ristretto di questa funzione, non ci accorgiamo della periodicità bensì solo del comportamento locale.
E' un'interpretazione totalmente corretta, parziale o totalmente errata?
Tuttavia al di là di questo teorema, è un fatto che l'evoluzione di sistemi a molte particelle sembra obbedire a leggi non simmetriche per inversione temporale, anche se le leggi che governano le interazioni tra le singole coppie di particelle sono simmetriche per inversione temporale. Non è necessario pensare a sistemi termodinamici. Ad esempio se dispongo a triangolo 15 palle da biliardo e poi le colpisco con un'altra pallina, accade che le palline si distribuiscono in modo scombinato sul tavolo; se eliminassi l'attrito si mantererrebbero sempre in moto, conservando l'energia cinetica. Se filmassi il moto e poi facessi scorrere il filmato all'indietro, vedrei le palline che si ordinano formando un triangolo, cosa che in realtà non accade mai, sebbene gli urti siano tutti elastici e simmetrici per inversione temporale.
Questo fatto mi pare che sia legato ad una questione probabilistica, ma che dopo un tempo sufficientemente lungo (tempo di ricorrenza di Poincarè), potrei osservare un evento improbabile, come il riordinamento spontaneo delle palle da biliardo. Dunque in realtà l'evoluzione dei sistemi a molte particelle dovrebbe essere periodica, ma con un periodo enormemente lungo rispetto all'età dell'universo, così che noi osservando solo un pezzo molto ristretto di questa funzione, non ci accorgiamo della periodicità bensì solo del comportamento locale.
E' un'interpretazione totalmente corretta, parziale o totalmente errata?
Facendo un esempio un po' più semplice, che poi non so quanto sia vicino alla vera e propria fisica (credo che nessuno lo sappia), ma sempre relativo ad un tavolo da biliardo, possiamo considerare una singola palla posta sul tavolo, attrito inesistente, urti perfettamente elastici e che avvengono secondo la regola precisa che l'angolo tra la perpendicolare alla parete e la direzione prima dell'urto è uguale all'angolo tra la stessa perpendicolare e la direzione di uscita. La periodicità non è valida in generale, ma in particolari condizioni di direzione iniziale della palla e dimensioni del tavolo da biliardo.
Se si stabilisce un margine di errore però si possono ritenere uguali anche condizioni che non lo sono proprio esattamente ed ammettere una "periodicità".
Se si stabilisce un margine di errore però si possono ritenere uguali anche condizioni che non lo sono proprio esattamente ed ammettere una "periodicità".
Sì, sono d'accordo con questo, ma se osservo una sola palla, o osservo il film al contrario, non dovrei avere problemi. Anche con 2 o 3 palle non credo succeda granchè. Ma se vedo 15 palle che si incontrano a formare un triangolo..., beh allora sì che capisco che il film è girato al contrario.
Bhe ma anche se rivedessi la singola palla in una stessa posizione precedente sapendo che questa, per come è stata lanciata, per come è fatto il tavolo e per le regole secondo cui si muove e cambia direzione, non potrà mai ritrovarsi in questa posizione, allora potrei capire che il film è stato riportato indietro, al momento in cui la palla si trovava in quella esatta posizione e che la velocità è opposta a quella che aveva nella condizione precedente. Si tratta comunque solo di un esempio ideale, valido in astratto, non so quanto abbia a che vedere con la realtà, anche perchè nella realtà non si parla di misura di posizione esatta, non si sa di preciso come è fatto il tavolo da biliardo (ho parlato di tavolo da biliardo rettangolare, con delle precise dimensioni), non si conoscono di preciso le regole secondo cui la palla urta le pareti, o le palle urtano tra di loro.
Questo penso che sia uno di quei casi in cui conviene affidarsi alle verifiche sperimentali sulle grandezze macroscopiche e formulare dei principi, validi ovviamente solo nel verso temporale in cui sono stati verificati.
Questo penso che sia uno di quei casi in cui conviene affidarsi alle verifiche sperimentali sulle grandezze macroscopiche e formulare dei principi, validi ovviamente solo nel verso temporale in cui sono stati verificati.
Se tu definisci una condizione iniziale e hai un moto non periodico ok, ma il problema a cui alludo è che osservando un fenomeno, senza ke nessuno ti dica condizioni al contorno. Nel caso di una sola pallina, trascurando l'attrito che la fa rallentare, non si ha modo di capire se si sta osservando il film al contrario o meno. Se ne osservi 15 invece, nel caso particolare che ho detto sopra, pare che invece ci si possa accorgere se il film è girato al contrario.
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