Palloncino molto cattivo
Un pallone di tela è riempito con elio a pressione atmosferica
p0 = 1 atm. La tela indeformabile di cui è costituito può sopportare una
differenza di pressione fra interno ed esterno pari a ∆p = 0.25 atm. Sapendo
che la densità dell’aria al livello del mare è pari a ρ0 = 1.29 kg/m3
e supponendo
costante la temperatura dell’aria a diverse quote, si calcoli a quale
altezza da terra esploderà il pallone.
Allora io non ho ben capito che formule dovrei usare nel senso che so che c'è una variazione in altezza e questo ne determina una rarefazione dell'aria perciò
1)varia la densità?
2)la pressione esterna è pari a 0,75 (p interna - deltap : 1-0,25)?
3)La temperatura costante mi suggerisce di usare pV=RT?
La condizione dello scoppio è che la pressione interna sia maggiore di quella esterna (anzi la variazione deve superare 0.25)
però non riesco ad impostare il problema qualche dritta ragazzi?
p0 = 1 atm. La tela indeformabile di cui è costituito può sopportare una
differenza di pressione fra interno ed esterno pari a ∆p = 0.25 atm. Sapendo
che la densità dell’aria al livello del mare è pari a ρ0 = 1.29 kg/m3
e supponendo
costante la temperatura dell’aria a diverse quote, si calcoli a quale
altezza da terra esploderà il pallone.
Allora io non ho ben capito che formule dovrei usare nel senso che so che c'è una variazione in altezza e questo ne determina una rarefazione dell'aria perciò
1)varia la densità?
2)la pressione esterna è pari a 0,75 (p interna - deltap : 1-0,25)?
3)La temperatura costante mi suggerisce di usare pV=RT?
La condizione dello scoppio è che la pressione interna sia maggiore di quella esterna (anzi la variazione deve superare 0.25)
però non riesco ad impostare il problema qualche dritta ragazzi?
Risposte
Ci provo.
Mi pare che, scremando gli arzigogoli dell'enunciato, il problema si possa ridurre alla seguente domanda: a quale quota la pressione atmosferica è pari a 0,75 volte la pressione a livello del mare?.
Ecco, allora se le cose stanno così occorre valutare il peso di una colonna d'aria a livello del mare e il peso della colonna che insiste sulla stessa area ad un'altezza generica y, e trovare a quale altezza h il peso della colonna sovrastante si riduce a 0,75 volte il peso della colonna intera. Traducendo in termini di pressione, ricordiamo solo che la pressione è la forza peso divisa per l'area. Ciò detto passo alle formule.
Presa dunque una colonna avente area di base A, vediamo la differenza di peso tra la colonna sovrastante ad altezza y+dy e la colonna sovrastante ad altezza y. Essa è pari al peso del dischetto di altezza dy. Si ha dunque:
$$dF = - g\rho Ady$$
ovvero in termini di pressione:
$$dp = \frac{{dF}}
{A} = - g\rho dy$$
Poi dalla legge dei gas, se supponiamo costante la temperatura, vediamo che si può scrivere:
$$\eqalign{
& pV = mRT \cr
& \rho = \frac{1}
{V} \cr
& \frac{p}
{\rho } = \frac{{{p_0}}}
{{{\rho _0}}} \cr} $$
Sostituendo si ha:
$$\eqalign{
& dp = - g\frac{{p{\rho _0}}}
{{{p_0}}}dy \cr
& \frac{{dp}}
{p} = - g\frac{{{\rho _0}}}
{{{p_0}}}dy \cr
& - \int_{{p_0}}^{0,75{p_0}} {\frac{{dp}}
{p}} = g\frac{{{\rho _0}}}
{{{p_0}}}\int_0^h {dy} \cr
& \ln \frac{1}
{{0,75}} = g\frac{{{\rho _0}}}
{{{p_0}}}h \cr
& h = \frac{{{p_0}}}
{{{\rho _0}g}}\ln \frac{1}
{{0,75}} = \frac{{101325}}
{{1,29 \cdot 9,8}}0,2877 = 2306m \cr} $$
Mi pare che, scremando gli arzigogoli dell'enunciato, il problema si possa ridurre alla seguente domanda: a quale quota la pressione atmosferica è pari a 0,75 volte la pressione a livello del mare?.
Ecco, allora se le cose stanno così occorre valutare il peso di una colonna d'aria a livello del mare e il peso della colonna che insiste sulla stessa area ad un'altezza generica y, e trovare a quale altezza h il peso della colonna sovrastante si riduce a 0,75 volte il peso della colonna intera. Traducendo in termini di pressione, ricordiamo solo che la pressione è la forza peso divisa per l'area. Ciò detto passo alle formule.
Presa dunque una colonna avente area di base A, vediamo la differenza di peso tra la colonna sovrastante ad altezza y+dy e la colonna sovrastante ad altezza y. Essa è pari al peso del dischetto di altezza dy. Si ha dunque:
$$dF = - g\rho Ady$$
ovvero in termini di pressione:
$$dp = \frac{{dF}}
{A} = - g\rho dy$$
Poi dalla legge dei gas, se supponiamo costante la temperatura, vediamo che si può scrivere:
$$\eqalign{
& pV = mRT \cr
& \rho = \frac{1}
{V} \cr
& \frac{p}
{\rho } = \frac{{{p_0}}}
{{{\rho _0}}} \cr} $$
Sostituendo si ha:
$$\eqalign{
& dp = - g\frac{{p{\rho _0}}}
{{{p_0}}}dy \cr
& \frac{{dp}}
{p} = - g\frac{{{\rho _0}}}
{{{p_0}}}dy \cr
& - \int_{{p_0}}^{0,75{p_0}} {\frac{{dp}}
{p}} = g\frac{{{\rho _0}}}
{{{p_0}}}\int_0^h {dy} \cr
& \ln \frac{1}
{{0,75}} = g\frac{{{\rho _0}}}
{{{p_0}}}h \cr
& h = \frac{{{p_0}}}
{{{\rho _0}g}}\ln \frac{1}
{{0,75}} = \frac{{101325}}
{{1,29 \cdot 9,8}}0,2877 = 2306m \cr} $$
Mannaggia alla pressione in pascal! Grazie mille, comunque potresti spiegarmi perchè $rho=1/V$?
Con V si intende il volume specifico, quindi posso considerarlo misurato in $m^3/(Kg)$. Infatti a secondo membro posso intendere $m$ in Kg e $R$ la costante del gas per ogni Kg di gas (che non è la R molare ma è ad essa proporzionale). Allora se V è espresso in $m^3/(Kg)$ la densità $\rho$ è il suo inverso, e si misura in $(Kg)/m^3$.
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