Pallina in rotazione su un piano
Su un tavolo c'è un foro su cui passa un filo inestensibile che collega una massa $M$ sotto il tavolo ad una pallina di massa $m$ poggiante sul tavolo e distante $d$ dal foro. All'istante $t=0$ la pallina ha velocità $vec(v_0)$ parallela al tavolo e perpendicolare al filo.
i) Dire se istantaneamente dopo $t=0$ la pallina si avvicinerà o allontanerà dal foro
ii) Determinare la distanza massima e minima $r_(max)$ e $r_(min)$ della pallina dal foro
Nel primo vedo che se $T=Mg=mv_o^2/l$, allora il moto è circolare uniforme, cioè per $v_o^2=Mgl/m$, quindi per $v_o^2>Mgl/m$ la pallina si allontana dal foro, mentre per $v_0^2
Nel secondo non saprei da dove partire
i) Dire se istantaneamente dopo $t=0$ la pallina si avvicinerà o allontanerà dal foro
ii) Determinare la distanza massima e minima $r_(max)$ e $r_(min)$ della pallina dal foro
Nel primo vedo che se $T=Mg=mv_o^2/l$, allora il moto è circolare uniforme, cioè per $v_o^2=Mgl/m$, quindi per $v_o^2>Mgl/m$ la pallina si allontana dal foro, mentre per $v_0^2
Nel secondo non saprei da dove partire
Risposte
Mi sembra un esercizio interessante.
Se
$$\frac{{Mgd}}
{{m{v_0}^2}} = 1$$
allora siamo all'equilibrio, dunque il moto è circolare uniforme, e questo non è certo il caso più interessante.
Supponiamo invece che sia
$$\frac{{Mgd}}
{{m{v_0}^2}} > 1$$
In questo caso la pallina si avvicina la foro, però il suo moto deve soggiacere a due condizioni:
-si deve conservare il momento angolare
-si deve conservare l'energia totale
Da tenere presente che l'energia totale è formata dalla componente cinetica e dalla componente potenziale, che in questo caso è data dal fatto che il filo agisce sulla pallina con una forza e compie lavoro pari alla differenza di altezza da terra della massa M moltiplicata per g, cioè l'accorciamento del filo moltiplicato per Mg.
Mettendo assieme le due equazioni si ha che il minimo di distanza dal foro si raggiunge quando la pallina si muove ortogonalmente al filo e la sua energia cinetica è incrementata rispetto all'energia cinetica iniziale di una quantità pari al lavoro eseguito dal filo che l'ha tirata. Facendo i calcoli, a questa distanza minima corrisponde una forza centripeta maggiore di Mg, dunque dopo questo minimo la distanza tende ad aumentare e aumenterà finché l'energia cinetica non diminuirà di tanto quanto sarà stato il lavoro effettuato per sollevare la massa M di pari altezza. Si avrà dunque un'orbita grosso modo ellittica, con una distanza minima e una massima dal foro.
Credo che il problema chieda queste due distanze.
Ho descritto il processo a parole, sia perché non ho tempo di fare i calcoli, sia perché ritengo più giusto che i calcoli li faccia tu, oppure qualche altro giovane volonteroso.
Se
$$\frac{{Mgd}}
{{m{v_0}^2}} = 1$$
allora siamo all'equilibrio, dunque il moto è circolare uniforme, e questo non è certo il caso più interessante.
Supponiamo invece che sia
$$\frac{{Mgd}}
{{m{v_0}^2}} > 1$$
In questo caso la pallina si avvicina la foro, però il suo moto deve soggiacere a due condizioni:
-si deve conservare il momento angolare
-si deve conservare l'energia totale
Da tenere presente che l'energia totale è formata dalla componente cinetica e dalla componente potenziale, che in questo caso è data dal fatto che il filo agisce sulla pallina con una forza e compie lavoro pari alla differenza di altezza da terra della massa M moltiplicata per g, cioè l'accorciamento del filo moltiplicato per Mg.
Mettendo assieme le due equazioni si ha che il minimo di distanza dal foro si raggiunge quando la pallina si muove ortogonalmente al filo e la sua energia cinetica è incrementata rispetto all'energia cinetica iniziale di una quantità pari al lavoro eseguito dal filo che l'ha tirata. Facendo i calcoli, a questa distanza minima corrisponde una forza centripeta maggiore di Mg, dunque dopo questo minimo la distanza tende ad aumentare e aumenterà finché l'energia cinetica non diminuirà di tanto quanto sarà stato il lavoro effettuato per sollevare la massa M di pari altezza. Si avrà dunque un'orbita grosso modo ellittica, con una distanza minima e una massima dal foro.
Credo che il problema chieda queste due distanze.
Ho descritto il processo a parole, sia perché non ho tempo di fare i calcoli, sia perché ritengo più giusto che i calcoli li faccia tu, oppure qualche altro giovane volonteroso.
Stamattina ho avuto un po' di tempo per calcolare. Do solo i risultati, a voi trovare il procedimento:
Posto:
$${r_0} = \frac{{m{v_0}^2}}
{{Mg}}$$
$$\eqalign{
& {\text{se }}{r_0} > d \cr
& {r_{Max}} = \frac{{{r_0}}}
{4}\left( {1 + \sqrt {1 + 8\frac{d}
{{{r_0}}}} } \right) \cr
& {r_{\min }} = d \cr
& \cr
& {\text{se }}{r_0} < d \cr
& {r_{\min }} = \frac{{{r_0}}}
{4}\left( {1 + \sqrt {1 + 8\frac{d}
{{{r_0}}}} } \right) \cr
& {r_{Max}} = d \cr} $$
Posto:
$${r_0} = \frac{{m{v_0}^2}}
{{Mg}}$$
$$\eqalign{
& {\text{se }}{r_0} > d \cr
& {r_{Max}} = \frac{{{r_0}}}
{4}\left( {1 + \sqrt {1 + 8\frac{d}
{{{r_0}}}} } \right) \cr
& {r_{\min }} = d \cr
& \cr
& {\text{se }}{r_0} < d \cr
& {r_{\min }} = \frac{{{r_0}}}
{4}\left( {1 + \sqrt {1 + 8\frac{d}
{{{r_0}}}} } \right) \cr
& {r_{Max}} = d \cr} $$
Questo interessante caso è equivalente al campo centrale di energia potenziale $U=Mg\sqrt{x^2+y^2}$.
In coordinate polari presenta una coordinata ciclica, per cui le equazioni del moto possono essere facilmente ridotte.
Studiando l'energia nella coordinata $\rho$ (distanza dal centro), compare una energia potenziale efficace che, studiata, fornisce $\rho_{min}$ e $\rho_{max}$.
In coordinate polari presenta una coordinata ciclica, per cui le equazioni del moto possono essere facilmente ridotte.
Studiando l'energia nella coordinata $\rho$ (distanza dal centro), compare una energia potenziale efficace che, studiata, fornisce $\rho_{min}$ e $\rho_{max}$.
Ok grazie, ho risolto, sul libro c'era anche un paragrafo sul moto in presenza di forze centrali che avevo saltato e pertanto adesso mi è tutto più chiaro.
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