Pallina che ruota dentro un guscio sferico
Scusate il disturbo ma sono alle prese con questo problema (o meglio con la richiesta b) da giorni ormai, potreste aiutarmi? 
Una pallina di massa $m=20g$ e diametro $d=2mm$ è in quiete dentro un guscio sferico di raggio $R=2cm$ con il centro di massa alla quota $h_A=R/2$. Determinare la velocità del centro di massa della pallina, quando passa per il fondo, nei due casi:
a) il guscio è liscio;
b) il guscio non è liscio e la pallina rotola senza strisciare.
Nel caso in cui non ci sia l'attrito, io ho seguito questi passaggi:
$mgh_A-mgh_b=1/2*I*omega^2+1/2*m*omega^2*r^2$
$mg*(h_A-h_b)=1/2*(1/2*m*r^2)*omega^2+1/2*m*omega^2*r^2$
$mg*(10r-r)=1/4*m*r^2*omega^2+1/2*m*omega^2*r^2$
$mg*(10r-r)=1/4*m*r^2*omega^2+1/2*m*omega^2*r^2$
$9g=1/4*r*omega^2+1/2*omega^2*r$
$36g=r*omega^2+2*r*omega^2$
Da cui:
$omega=sqrt((36g)/(3r))=343 (rad)/s$
Quindi: $v=omegar= 0.3m/s$
Nel caso in cui nel guscio cavo vi sia attrito non so proprio come procedere. Volevo usare la stessa formula aggiungendovi il lavoro svolto dalla forza d'attrito, in questo modo:
$mgh_A-mgh_b=1/2*I*omega^2+1/2*m*omega^2*r^2+mu*m*g*s$
Dove $s$ è lo spostamento angolare che ho ricavato tramite la proporzione $2pir:360=s:60$ (dove 60 è l'angolo sotteso dall'arco di circonferenza), da cui $s=0.020rad$
Invece, per quanto riguarda $mu$ non so proprio come trovarlo... Ho provato ad applicare le leggi di Newton traminte $SigmaF_x$ e $SigmaF_y$ supponendo che la pallina nella posizione A si trovi su un piano inclinato (tangente alla circonferenza nel punto A) avente un anogo con l'orizzontale di $60°$, ma ottengo come risultato $mu=1.7$. Risolvendo il sistema, la velocità mi risulta $v'=1.7m/s$ ma questo risultato è sbagliato poichè il valore di questa velocità deve essere minore della velocità trovata in precedenza...
Dove sbaglio? E' giusto calcolare $s$ e $mu$ in quel modo?
Una pallina di massa $m=20g$ e diametro $d=2mm$ è in quiete dentro un guscio sferico di raggio $R=2cm$ con il centro di massa alla quota $h_A=R/2$. Determinare la velocità del centro di massa della pallina, quando passa per il fondo, nei due casi:
a) il guscio è liscio;
b) il guscio non è liscio e la pallina rotola senza strisciare.
Nel caso in cui non ci sia l'attrito, io ho seguito questi passaggi:
$mgh_A-mgh_b=1/2*I*omega^2+1/2*m*omega^2*r^2$
$mg*(h_A-h_b)=1/2*(1/2*m*r^2)*omega^2+1/2*m*omega^2*r^2$
$mg*(10r-r)=1/4*m*r^2*omega^2+1/2*m*omega^2*r^2$
$mg*(10r-r)=1/4*m*r^2*omega^2+1/2*m*omega^2*r^2$
$9g=1/4*r*omega^2+1/2*omega^2*r$
$36g=r*omega^2+2*r*omega^2$
Da cui:
$omega=sqrt((36g)/(3r))=343 (rad)/s$
Quindi: $v=omegar= 0.3m/s$
Nel caso in cui nel guscio cavo vi sia attrito non so proprio come procedere. Volevo usare la stessa formula aggiungendovi il lavoro svolto dalla forza d'attrito, in questo modo:
$mgh_A-mgh_b=1/2*I*omega^2+1/2*m*omega^2*r^2+mu*m*g*s$
Dove $s$ è lo spostamento angolare che ho ricavato tramite la proporzione $2pir:360=s:60$ (dove 60 è l'angolo sotteso dall'arco di circonferenza), da cui $s=0.020rad$
Invece, per quanto riguarda $mu$ non so proprio come trovarlo... Ho provato ad applicare le leggi di Newton traminte $SigmaF_x$ e $SigmaF_y$ supponendo che la pallina nella posizione A si trovi su un piano inclinato (tangente alla circonferenza nel punto A) avente un anogo con l'orizzontale di $60°$, ma ottengo come risultato $mu=1.7$. Risolvendo il sistema, la velocità mi risulta $v'=1.7m/s$ ma questo risultato è sbagliato poichè il valore di questa velocità deve essere minore della velocità trovata in precedenza...
Dove sbaglio? E' giusto calcolare $s$ e $mu$ in quel modo?
Risposte
"Simone.S":
$mgh_A-mgh_b=1/2*I*omega^2+1/2*m*omega^2*r^2$
$mg*(h_A-h_b)=1/2*(1/2*m*r^2)*omega^2+1/2*m*omega^2*r^2$
$mg*(10r-r)=1/4*m*r^2*omega^2+1/2*m*omega^2*r^2$
$mg*(10r-r)=1/4*m*r^2*omega^2+1/2*m*omega^2*r^2$
$9g=1/4*r*omega^2+1/2*omega^2*r$
$36g=r*omega^2+2*r*omega^2$
Da cui:
$omega=sqrt((36g)/(3r))=343 (rad)/s$
Quindi: $v=omegar= 0.3m/s$
Ma questa è la soluzione CON attrito.
SENZA attrito c'è
$mgh_A-mgh_b=1/2*mv^2$
Potresti spiegarmi perchè è con attrito? E poi se elimino $1/2*I*omega^2$ non è come se non considerassi più la rotazione? 
"Simone.S":
E poi se elimino $1/2*I*omega^2$ non è come se non considerassi più la rotazione?
Corretto, se non hai attrito la pallina non sa rotare.
Ah... Questo spiega molte cose, grazie mille per l'aiuto comunque 
"Simone.S":
[Off Topic] Molto bella l'immagine: come l'hai realizzata? [/Off Topic]
[OffTopic] L'ho fatto con PowerPoint (ho la versione 2010, ma anche la 2007 fa lo stesso). Inserisci forme (circonferenze, linee, caselle di testo per le scritte, ecc), poi selezioni tutto e clicchi su "Salva come immagine" e la salvi sul desktop 
[/OffTopic]
[/OffTopic]
Grazie.
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