Oscillazioni Sfera su piano inclinato
Salve a tutti, questo è il testo:
Si abbia un piano inclinato di un angolo $\alpha$ rispetto all'orizzontale, su tale piano si trova un piolo P al quale è legata una sfera di raggio $R$ tramite una corda di lunghezza $L$.
La sfera può quindi compiere oscillazioni come se fosse un pendolo, con la differenza che la sfera può solo rotolare ma non strisciare sul piano.
Determinare il periodo delle piccole oscillazioni.
Io ho ragionato in questo modo:
Dato che si conserva l' Energia Meccanica, ho pensato di scrivere quest'ultima in un istante in cui la sfera si trova fuori dall'equilibrio, così da poter derivare l'energia e porla uguale a zero.
Qui sotto scriverò l'energia Potenziale $U$ e cinetica (che è quella su cui ho dei dubbi per la risoluzione) $K$:
$U = mgL(1-cos\theta)sen\alpha$ Dove con $\theta$ ho indicato l'angolo tra la sfera e la verticale.
Per il calcolo dell' energia Cinetica ho ragionato in questo modo:
1) Il centro di massa della sfera si muove su una circonferenza di raggio L (pari alla lunghezza del filo), per cui
$V= Ld(\theta)/dt$
Quindi il suo contributo all'energia cinetica sarà pari a $Kcm = 1/2 mV$
2) la sfera inoltre rotola su se stessa, ma attorno a un asse passante per il punto P, dunque il contributo all'energia cinetica sarà:
$K=1/2 I\omega^2$
In questo caso però $\omega=V/R = L/R d(\theta)/dt$
Inoltre per il calcolo del momento d'inerzia utilizzo il teorema di Steiner per cui :
$I= 2/5 mR^2 + mL^2$
Riordinando:
$K= 1/2 mV^2 + 1/2 (2/5 mR^2 + mL^2) (L/R d(\theta)/dt)^2$
Quindi
$E= U+K$
Derivo pongo uguale a 0 e risolvo ...
La cosa che più mi interessa, ripeto, è sapere se va bene come ho ragionato per calcolare l'energia cinetica!
Grazie Mille!!!
Si abbia un piano inclinato di un angolo $\alpha$ rispetto all'orizzontale, su tale piano si trova un piolo P al quale è legata una sfera di raggio $R$ tramite una corda di lunghezza $L$.
La sfera può quindi compiere oscillazioni come se fosse un pendolo, con la differenza che la sfera può solo rotolare ma non strisciare sul piano.
Determinare il periodo delle piccole oscillazioni.
Io ho ragionato in questo modo:
Dato che si conserva l' Energia Meccanica, ho pensato di scrivere quest'ultima in un istante in cui la sfera si trova fuori dall'equilibrio, così da poter derivare l'energia e porla uguale a zero.
Qui sotto scriverò l'energia Potenziale $U$ e cinetica (che è quella su cui ho dei dubbi per la risoluzione) $K$:
$U = mgL(1-cos\theta)sen\alpha$ Dove con $\theta$ ho indicato l'angolo tra la sfera e la verticale.
Per il calcolo dell' energia Cinetica ho ragionato in questo modo:
1) Il centro di massa della sfera si muove su una circonferenza di raggio L (pari alla lunghezza del filo), per cui
$V= Ld(\theta)/dt$
Quindi il suo contributo all'energia cinetica sarà pari a $Kcm = 1/2 mV$
2) la sfera inoltre rotola su se stessa, ma attorno a un asse passante per il punto P, dunque il contributo all'energia cinetica sarà:
$K=1/2 I\omega^2$
In questo caso però $\omega=V/R = L/R d(\theta)/dt$
Inoltre per il calcolo del momento d'inerzia utilizzo il teorema di Steiner per cui :
$I= 2/5 mR^2 + mL^2$
Riordinando:
$K= 1/2 mV^2 + 1/2 (2/5 mR^2 + mL^2) (L/R d(\theta)/dt)^2$
Quindi
$E= U+K$
Derivo pongo uguale a 0 e risolvo ...
La cosa che più mi interessa, ripeto, è sapere se va bene come ho ragionato per calcolare l'energia cinetica!
Grazie Mille!!!
Risposte
Mmh, se il disegno del sistema che ho fatto è corretto, allora dovresti aver sbagliato qualcosa.
La circonferenza su cui si muove il centro della sfera ha raggio $r=L+R$, inoltre come si vede, per calcolare l'energia potenziale bisogna tenere anche conto dell'angolo $beta$ tra il filo e il piano inclinato.
La circonferenza su cui si muove il centro della sfera ha raggio $r=L+R$, inoltre come si vede, per calcolare l'energia potenziale bisogna tenere anche conto dell'angolo $beta$ tra il filo e il piano inclinato.
A meno che il testo non intenda che il filo è "parallelo" al piano inclinato, se intende che il filo è parallelo al piano inclinato allora l'angolo $beta$ non entra in gioco, se invece è come nel mio disegno allora bisogna tener conto anche di tale angolo. Comunque mi sa che il testo sottintende che il filo sia parallelo al piano inclinato perché se bisogna considerare anche l'angolo $beta$ i calcoli diventano abbastanza complicati.
In questo caso quindi diventa:
$U=-Mg(L+R)costhetasinalpha$
$K=1/2MV_G^2+1/2I_Gomega^2$
Essendo $V_G=(L+R)dot(theta)$ e $omega=(L+R)/Rdot(theta)$ e $I_G=2/5MR^2$
Non è vero, la sfera ruota attorno al proprio centro di massa
In questo caso quindi diventa:
$U=-Mg(L+R)costhetasinalpha$
$K=1/2MV_G^2+1/2I_Gomega^2$
Essendo $V_G=(L+R)dot(theta)$ e $omega=(L+R)/Rdot(theta)$ e $I_G=2/5MR^2$
la sfera inoltre rotola su se stessa, ma attorno a un asse passante per il punto P
Non è vero, la sfera ruota attorno al proprio centro di massa
Grazie mille, si effettivamente il filo è parallelo al piano inclinato.
Quindi in realtà l'utilizzo del teorema di steiner qui è totalmente sbagliato (?)
Quindi in realtà l'utilizzo del teorema di steiner qui è totalmente sbagliato (?)
Allora, la sfera rotola, pertanto possiede una certa velocità di traslazione $V_G$ del centro di massa e una certa velocità di rotazione $omega$ attorno al centro di massa, pertanto la sfera ruota attorno al centro di massa e trasla, in base al teorema di koenig la sua energia cinetica è uguale alla somma dell'energia cinetica di traslazione del centro di massa e dell'energia cinetica di rotazione attorno al centro di massa, come ho fatto io. Il fatto che la sua traiettoria sia una circonferenza di centro P non significa che la sfera ruoti attorno a P, quella è solo la traiettoria descritta.
Scusa, ma il mio professore utilizzando proprio Koenig ha scritto in questo modo l'energia cinetica:
$K = 1/2 m(L d\theta/dt)^2 + 1/2 I (L/R d\theta/dt)^2 + 1/2 I (d\theta/dt)^2$ ????
E tra l'altro, ulteriore cosa che non capisco, ha trascurato il raggio della sfera rispetto alla lunghezza del filo nella scrittura di energia potenziale e energia cinetica...
$K = 1/2 m(L d\theta/dt)^2 + 1/2 I (L/R d\theta/dt)^2 + 1/2 I (d\theta/dt)^2$ ????
E tra l'altro, ulteriore cosa che non capisco, ha trascurato il raggio della sfera rispetto alla lunghezza del filo nella scrittura di energia potenziale e energia cinetica...
La questione del raggio della sfera non è un problema, perché il testo è molto malposto e quindi non si capisce se il filo sia attaccato ad un estremo della sfera o al centro della sfera, nel primo caso la circonferenza descritta dalla sfera ha raggio $L+R$, nel secondo ha raggio $L$, quindi il professore avrà interpretato nel secondo modo.
Riguardo all'energia cinetica, è palesemente sbagliata, c'è un termine di troppo.
Riguardo all'energia cinetica, è palesemente sbagliata, c'è un termine di troppo.
Se vuoi convincertene vai a pagina 481 di questo link http://www.df.unipi.it/~cella/ueg/uegbook.pdf , c'è un esercizio molto simile in cui viene calcolata l'energia cinetica di una sfera che rotola su una traiettoria circolare.
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