Oscillazioni libere di due gradi di libertà
Ciao ragazzi, ho un problema con questi esercizi:
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1. Due corpi di masse $m$ e $ alpha m $ sono attaccate tra loro e a due punti fissi da tre molle di costante elastica $k$. Calcolare il periodo di oscillazione corrispondente al modo di frequenza più piccola risolvendo il problema dinamicamente.
Per prima cosa ho individuato gli spostamenti delle due masse $ M_1= m $ e $ M_2= alpha m $ chiamandoli $psi_1$ e $psi_2$. Quindi ho considerato e segnato in rosso le forze agenti su ogni massa:
Ottengo:
$F_1=-kpsi_1$
$F_2=k(psi_2-psi_1)$
$F_3=-k(psi_2-psi_1)$
$F_4=-kpsi_2$
[ Domanda: non capisco se dovrei considerare la lunghezza a riposo della molla e quindi scrivere per ogni spostamento $psi$: $psi_n-a_0$, oppure non c'è bisogno di considerarla.]
A questo punto costruendo le due equazioni differenziali ho:
$ { ( M_1(d^2psi_1)/(dt^2)=F_1+F_2 ),( M_2(d^2psi_2)/(dt^2)= F_3+F_4):} $
Cioè sostituendo le forze e le masse:
$ { ( (d^2psi_1)/(dt^2)=-k/mpsi_1+k/m(psi_2-psi_1 )),( (d^2psi_2)/(dt^2)= -k/(alpham)(psi_2-psi_1)-k/(alpham)psi_2):} $
A questo punto so di dover trovare le coordinate normali per passare da due equazioni differenziali accoppiate a due disaccoppiate per poi avere le frequenze angolari, ma proprio non riesco a trovarle. Di solito basta sommare e sottrarre i due spostamenti, oppure moltiplicarli per una costante opportuna ma in questo caso non funziona.
Per il secondo esercizio trovo anche più difficoltà.
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2. Sia dato un sistema di due pendoli accoppiati aventi lunghezza $l$ e massa $m$ e $3m$ rispettivamente per il pendolo superiore ed inferiore. Calcolare il rapporto tra le ampiezze $B/A$ dei pendoli quando oscillano in opposizione di fase e rappresentare con un disegno tale situazione.
Con lo stesso procedimento di prima trovo che sulla prima massa agiscono la forza peso della stessa e la tensione della corda dovuta alla massa del secondo pendolo. A noi servono solo le componenti parallele di queste due forze:
$F_1 = P_"1//" =-mgpsi_1$ [considerando piccoli angoli per poter applicare l'approssimazione tra seno e argomento]
$F_2 = T_"//" = mgcos(psi_2)(psi_2-psi_1)$
Per la seconda massa invece le forse applicate sono:
$F_3 = -3mg(psi_1+psi_2)
Quindi le equazioni differenziali del sistema dovrebbero essere:
$ { ( l(d^2psi_1)/(dt^2)=-mgpsi_1+mg*cospsi_2(psi_2-psi_1 )),( 2l(d^2psi_2)/(dt^2)= -mg(psi_2+psi_1)):} $
Presupponendo che il ragionamento precedente sia giusto adesso non riesco di nuovo a trovare le coordinate normali. Qualcuno saprebbe aiutarmi? Grazie in anticipo!
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1. Due corpi di masse $m$ e $ alpha m $ sono attaccate tra loro e a due punti fissi da tre molle di costante elastica $k$. Calcolare il periodo di oscillazione corrispondente al modo di frequenza più piccola risolvendo il problema dinamicamente.
Per prima cosa ho individuato gli spostamenti delle due masse $ M_1= m $ e $ M_2= alpha m $ chiamandoli $psi_1$ e $psi_2$. Quindi ho considerato e segnato in rosso le forze agenti su ogni massa:
Ottengo:
$F_1=-kpsi_1$
$F_2=k(psi_2-psi_1)$
$F_3=-k(psi_2-psi_1)$
$F_4=-kpsi_2$
[ Domanda: non capisco se dovrei considerare la lunghezza a riposo della molla e quindi scrivere per ogni spostamento $psi$: $psi_n-a_0$, oppure non c'è bisogno di considerarla.]
A questo punto costruendo le due equazioni differenziali ho:
$ { ( M_1(d^2psi_1)/(dt^2)=F_1+F_2 ),( M_2(d^2psi_2)/(dt^2)= F_3+F_4):} $
Cioè sostituendo le forze e le masse:
$ { ( (d^2psi_1)/(dt^2)=-k/mpsi_1+k/m(psi_2-psi_1 )),( (d^2psi_2)/(dt^2)= -k/(alpham)(psi_2-psi_1)-k/(alpham)psi_2):} $
A questo punto so di dover trovare le coordinate normali per passare da due equazioni differenziali accoppiate a due disaccoppiate per poi avere le frequenze angolari, ma proprio non riesco a trovarle. Di solito basta sommare e sottrarre i due spostamenti, oppure moltiplicarli per una costante opportuna ma in questo caso non funziona.
Per il secondo esercizio trovo anche più difficoltà.
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2. Sia dato un sistema di due pendoli accoppiati aventi lunghezza $l$ e massa $m$ e $3m$ rispettivamente per il pendolo superiore ed inferiore. Calcolare il rapporto tra le ampiezze $B/A$ dei pendoli quando oscillano in opposizione di fase e rappresentare con un disegno tale situazione.
Con lo stesso procedimento di prima trovo che sulla prima massa agiscono la forza peso della stessa e la tensione della corda dovuta alla massa del secondo pendolo. A noi servono solo le componenti parallele di queste due forze:
$F_1 = P_"1//" =-mgpsi_1$ [considerando piccoli angoli per poter applicare l'approssimazione tra seno e argomento]
$F_2 = T_"//" = mgcos(psi_2)(psi_2-psi_1)$
Per la seconda massa invece le forse applicate sono:
$F_3 = -3mg(psi_1+psi_2)
Quindi le equazioni differenziali del sistema dovrebbero essere:
$ { ( l(d^2psi_1)/(dt^2)=-mgpsi_1+mg*cospsi_2(psi_2-psi_1 )),( 2l(d^2psi_2)/(dt^2)= -mg(psi_2+psi_1)):} $
Presupponendo che il ragionamento precedente sia giusto adesso non riesco di nuovo a trovare le coordinate normali. Qualcuno saprebbe aiutarmi? Grazie in anticipo!
Risposte
1- Uhm non ho molto tempo oggi per guardare bene. Comunque così ad occhio stavolta non credo te la cavi così facilmente qui le masse diverse si riflettono in entrambi i modi normali, penso tu debba necessariamente passare dalla teoria delle piccole oscillazioni, quindi scrivere la lagrangiana, poi la matrice, estrarre gli autovalori etc. A meno di non andare a tentativi (o con grande fortuna) e trovare la giusta sostituzione. L'indicazione di cercare solo il periodo della frequenza minore non credo aiuti molto perché comunque essendo diverse le masse entrambi i modi si mischiano, quindi anche quella che era l'oscillazione in fase per masse uguali non è più realizzabile.
2-Non sono sicuro che le equazioni siano giuste ma in ogni caso temo che anche qui tu debba passare dalla teoria standard. Il pendolo doppio è l'esempio più semplice di moto caotico, in generale irrisolvibile analiticamente quindi anche le avessi scritte bene non si saprebbero risolvere. Poi continuano ad essere cattivi e a mettere pure le masse diverse tanto per complicare le cose. Qui però la richiesta di calcolare il rapporto delle ampiezze in opposizione di fase può essere rilevante a priori per semplificare il problema ma bisogna ragionarci un po'.
Domani ho più tempo (credo) nel caso ancora non hai risolto ci do un'occhiata.
2-Non sono sicuro che le equazioni siano giuste ma in ogni caso temo che anche qui tu debba passare dalla teoria standard. Il pendolo doppio è l'esempio più semplice di moto caotico, in generale irrisolvibile analiticamente quindi anche le avessi scritte bene non si saprebbero risolvere. Poi continuano ad essere cattivi e a mettere pure le masse diverse tanto per complicare le cose. Qui però la richiesta di calcolare il rapporto delle ampiezze in opposizione di fase può essere rilevante a priori per semplificare il problema ma bisogna ragionarci un po'.
Domani ho più tempo (credo) nel caso ancora non hai risolto ci do un'occhiata.
Grazie dei consigli come al solito! Comunque avevo pensato anch'io di scrivere la lagrangiana per poi trovare le soluzioni, anche per verificare il risultato, ma il fatto è che nel corso che ho seguito (Fisica 4) non abbiamo mai parlato di Lagrange e di questo tipo di risoluzione quindi non credo accetti una risoluzione di questo tipo all'esame. E' vero anche che in questo modo è molto difficile risolvere il problema. Proverò a risolverlo nei due modi. Grazie ancora per il tuo tempo.
Allora ho provato a rigirare un po' il problema delle molle ma niente. Ho anche provato le coordinate del centro di massa sperando che disaccoppiassero almeno una equazione ma è stato un buco nell'acqua. Esasperato ho risolto il problema con lo strumento vero che si usa in questo caso, cioè lagrange (mi pare assurdo che non vi consenta di usarlo, non mi capacito del motivo) giusto per vedere a posteriori se la sostituzione è una cosa visibile a occhio o no. Direi che il risultato è corretto poiché nel limite di $\alpha=1$ ritrovo i risultati di frequenze e modi per masse uguali...e no, non mi sembra proprio che la sostituzione sia banale. Ho ricavato che
$\omega^2=k/(\alpham^2)(m(\alpha+1)\pm\sqrt((m-\alpham)^2+\alpham^2))$
e i modi normali sono dati da
$x_1=a+b$
$x_2=1/(\alpham)(m(\alpha-1)+\sqrt((m-\alpham)^2+\alpham^2))a+1/(\alpham)(m(\alpha-1)-\sqrt((m-\alpham)^2+\alpham^2))b$
Non ho veramente idea di come tirare fuori dal nulla un modo del genere senza passare dalla teoria standard. Al massimo ciò che si può fare è aggredire il sistema matematicamente utilizzando la trasformata di Laplace e risolverlo direttamente. Ma anche se tu la conoscessi immagino non te la farebbe usare. Cose folli comunque, il punto in fisica è rispondere ad una domanda, non ha davvero senso complicarsi la vita così, perciò non so che dirti più nello specifico.
Il problema sul doppio pendolo ancora non ho avuto tempo di riguardarlo ma forse, come dicevo, sfruttando la condizione dell'opposizione di fase (quindi $\theta_1=-theta_2) $ potresti riuscire a scrivere equazioni più semplici in modo da estrarre le ampiezze e farne il rapporto.
$\omega^2=k/(\alpham^2)(m(\alpha+1)\pm\sqrt((m-\alpham)^2+\alpham^2))$
e i modi normali sono dati da
$x_1=a+b$
$x_2=1/(\alpham)(m(\alpha-1)+\sqrt((m-\alpham)^2+\alpham^2))a+1/(\alpham)(m(\alpha-1)-\sqrt((m-\alpham)^2+\alpham^2))b$
Non ho veramente idea di come tirare fuori dal nulla un modo del genere senza passare dalla teoria standard. Al massimo ciò che si può fare è aggredire il sistema matematicamente utilizzando la trasformata di Laplace e risolverlo direttamente. Ma anche se tu la conoscessi immagino non te la farebbe usare. Cose folli comunque, il punto in fisica è rispondere ad una domanda, non ha davvero senso complicarsi la vita così, perciò non so che dirti più nello specifico.
Il problema sul doppio pendolo ancora non ho avuto tempo di riguardarlo ma forse, come dicevo, sfruttando la condizione dell'opposizione di fase (quindi $\theta_1=-theta_2) $ potresti riuscire a scrivere equazioni più semplici in modo da estrarre le ampiezze e farne il rapporto.
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