Oscillazioni Forzate

[Alesssandro2]

Avrei bisogno di aiuto su un passaggio di un conto che mi sta facendo impazzire..
In pratica il sistema è costituito da una massa attaccata ad una molla soggetta ad una forza di attrito viscoso ed a una forza esterna periodica, e sto cercando di ricavare la soluzione particolare..

$F_{\gamma}=-\gammav$ attrito, $F_{el}=-kx$ molla, $F=F_{0}cos(\omegat)$

quindi
$mx'' =-\gammax' -kx + F_{0}cos\omegat $


Siano $ 2\Gamma=\gamma/m$, $\omega_{0}=sqrt(k/m)$, $F=F_{0}/m$ e divido tutto per m quindi il tutto diventa:


$x'' + 2\Gammax' + \omega_{0}^2x=Fcos(\omegat)$

pongo $x_{p}(t)=Ae^(i\omegat)$ e riscrivo $cos(\omegat) = 1/2(e^(i\omegat)+e^(-i\omegat))$

Sostituisco quindi la funzione x(t) nell'equazione:

$x_{p}(t)[-\omega^2 + 2i\Gamma\omega+\omega_{0}^2]=F/2(e^(i\omegat)+e^(-i\omegat))$

$x_{p}(t)=F/2((e^(i\omegat)+e^(-i\omegat)))/(-\omega^2 + 2i\Gamma\omega+\omega_{0}^2)$

ovviamente ora il libro salta tutto il passaggio per togliere la $i$ a denominatore che a me non torna minimamente..

ho moltiplicato e diviso per $\omega_{0}^2-\omega^2 - 2i\Gamma\omega$ per spostare la $i$ a numeratore e resta quindi

$=F/2((e^(i\omegat)+e^(-i\omegat))(\omega_{0}^2-\omega^2 - 2i\Gamma\omega))/((\omega_{0}^2-\omega^2 + 2i\Gamma\omega)(\omega_{0}^2-\omega^2 - 2i\Gamma\omega))=$

$=F/2((e^(i\omegat)+e^(-i\omegat))(\omega_{0}^2-\omega^2 - 2i\Gamma\omega))/((\omega_{0}^2-\omega^2)^2 + 4\Gamma^2\omega^2)$

ora il mio dubbio è questo, ma tutto quello che sta a numeratore non è un numero complesso? sto moltiplicando $(e^(i\omegat)+e^(-i\omegat))/2$ che è $cos(\omegat)$ per $ \omega_{0}^2-\omega^2 - 2i\Gamma\omega $ che è complesso...


mentre il libro da come passaggio successivo:

$x_{p}(t)=((F(\omega_{0}^2-\omega^2))cos(\omegat)+(2F\Gamma\omega)sin(\omegat))/((\omega_{0}^2-\omega^2)^2 + 4\Gamma^2\omega^2)$

grazie in anticipo comunque, anche solo per aver letto tutto ciò, e spero di non aver fatto troppi casini con gli zero a pedice/gamma maiuscoli e minuscoli/omega vari

[anonymous_af8479]

Mi sembra che la soluzione particolare $x_p(t)=A e^{i \omega t}$ non vada bene. Mi sembra vada bene se $\Gamma=0$.

[Alesssandro2]

ah ci sta, quella la suggeriva il testo, senza analisi due non penso di poter ancora inventarmele hahaha :/

[anonymous_af8479]

Derivare e sostituire non è un problema di analisi2. Io l'ho fatto e, per me, non funziona. Qualcuno che mi contraddice, conti alla mano?

[Alesssandro2]

Beh sì certo derivare e sostituire riesco a farlo, trovare la funzione su cui fare quello un po' meno ..

[anonymous_af8479]

Ti consiglio di fare i calcoli anche tu (io spesso, data l'età e la poca vista, li sbaglio).

Se poni $x_p(t) = A sin(\omega t +\varphi)$, le cose funzionano, ma è un lavorone.

Visto che il problema in oggetto è un classico della meccanica, perchè non provi a consultare altre fonti?

[Alesssandro2]

Grazie mille, domani provo appena posso
Ho un altro libro ma salta direttamente tutti i conti, negli appunti ho caos e quindi vabbè mi affidavo qua hahahaha

[RenzoDF]

Quel trucco di passare al campo complesso nella soluzione delle equazioni differenziali si usa spesso in elettrotecnica e porta sostanzialmente alla semplificazione via calcolo simbolico, nella quale si passa dal dominio temporale a quello complesso e si ritorna al dominio del tempo considerando la sola parte reale del risultato complesso.

Sostanzialmente nel tuo caso dalla

$x'' + 2\Gamma x' + \omega_{0}^2x=Fcos(\omega t)$

si passa alla "equivalente"

$x'' + 2\Gamma x' + \omega_{0}^2x=Re[Fe^{i\omega t }]$

e si cerca un integrale particolare nella forma

$x_p(t)=Re[ A e^{i\omega t }]$

con A costante complessa.

Chiaramente nel risolvere passeremo al campo complesso e della parte reale ci ricorderemo solo in via conclusiva, a soluzione ottenuta.
Dall'equazione otterremo la costante complessa

$ A =\frac{F}{(-\omega^2 + 2i\Gamma\omega+\omega_{0}^2)}=\frac{F((\omega_{0}^2-\omega^2)-i 2\Gamma \omega)}{((\omega_{0}^2-\omega^2)^2 + 4\Gamma^2\omega^2)}$

ed infine l'integrale particolare dalla

$x_p(t)=Re[Ae^{i\omega t }]=Re[\frac{ (F (\omega_{0}^2-\omega^2)-i2F\Gamma \omega ) ( cos(\omega t) +isin(\omega t)) }{ (\omega_{0}^2-omega^2)^2 + 4\Gamma^2\omega^2 }]$

che porta a

$x_p(t)=\frac{ F (\omega_{0}^2-\omega^2)cos(\omega t)+2F\Gamma \omega sin(\omega t) }{ (\omega_{0}^2-omega^2)^2 + 4\Gamma^2\omega^2 }$

NB Questi ultimi passaggi li ho comunque fatti per arrivare al risultato da te indicato, io, arrivato a determinare $A$, avrei continuato calcolando il modulo $M$ e l'argomento $\varphi$ del denominatore per poi ottenere il valore massimo della $x(t)$ dal rapporto $F/M$ e il suo sfasamento dalla cosinusoide forzante da $-\varphi$.

[Alesssandro2]

Ah ok!!! Penso di aver capito, ed anche dove facevo confusione, grazie mille per l'aiuto!!