Oscillazioni armoniche
Ho un dubbio.. Se so che la forza che compie un elettrone vale $F=(e \rho)/(3 \epsilon_0) r$ si può concludere che l'elettrone compie oscillazioni armoniche.
Se si perché? Da cosa lo si capisce?
Se si perché? Da cosa lo si capisce?
Risposte
Sei sicura che la forza non sia $F = - (e rho)/(3 epsilon_0) r$ ?
Ogni forza direttamente proporzionale allo spostamento cambiato di segno produce oscillazioni armoniche sul sistema.
Infatti, applicando la seconda legge di Newton si trova
$m a = -(e rho)/(3 epsilon_0) r$ da cui $(d^2 r)/(dt^2) + (e rho)/(3 epsilon_0 m) r = 0$
Ponendo $omega^2 = (e rho)/(3 epsilon_0 m)$ si ha $(d^2 r)/(dt^2) + omega^2 r = 0$
Questa è l'equazione differenziale dell'oscillatore armonico, la cui soluzione assume la forma $r(t) = A sin (omega t + phi)$
Tutto questo, però, è dovuto a quel segno "meno", altrimenti, come potresti verificare tu stessa, si troverebbe un'equazione la cui soluzione non è armonica.
Si possono fare anche considerazioni energetiche; una forza conservativa è il gradiente cambiato di segno dell'energia potenziale, cioè $vec(F) = -(dU)/(dr)$
Se $F = - (e rho)/(3 epsilon_0) r$ allora $U = (e rho)/(3 epsilon_0 2) r^2$, cioè il grafico di $U(r)$ è una parabola con la concavità rivolta verso l'alto; ciò
vuol dire che il minimo è una cosiddetta "buca di potenziale", ovvero una posizione di equilibrio stabile attorno alla quale il sistema oscilla.
Se la forza è positiva, però, si ottiene $U = - (e rho)/(3 epsilon_0 2) r^2$, cioè una parabola con la concavità rivolta verso il basso; quindi, in questo caso, in
corrispondenza del massimo si ha una posizione di equilibrio instabile dalla quale il sistema può allontanarsi all'infinito, senza compiere oscillazioni armoniche.
In definitiva....controlla il segno!
Ogni forza direttamente proporzionale allo spostamento cambiato di segno produce oscillazioni armoniche sul sistema.
Infatti, applicando la seconda legge di Newton si trova
$m a = -(e rho)/(3 epsilon_0) r$ da cui $(d^2 r)/(dt^2) + (e rho)/(3 epsilon_0 m) r = 0$
Ponendo $omega^2 = (e rho)/(3 epsilon_0 m)$ si ha $(d^2 r)/(dt^2) + omega^2 r = 0$
Questa è l'equazione differenziale dell'oscillatore armonico, la cui soluzione assume la forma $r(t) = A sin (omega t + phi)$
Tutto questo, però, è dovuto a quel segno "meno", altrimenti, come potresti verificare tu stessa, si troverebbe un'equazione la cui soluzione non è armonica.
Si possono fare anche considerazioni energetiche; una forza conservativa è il gradiente cambiato di segno dell'energia potenziale, cioè $vec(F) = -(dU)/(dr)$
Se $F = - (e rho)/(3 epsilon_0) r$ allora $U = (e rho)/(3 epsilon_0 2) r^2$, cioè il grafico di $U(r)$ è una parabola con la concavità rivolta verso l'alto; ciò
vuol dire che il minimo è una cosiddetta "buca di potenziale", ovvero una posizione di equilibrio stabile attorno alla quale il sistema oscilla.
Se la forza è positiva, però, si ottiene $U = - (e rho)/(3 epsilon_0 2) r^2$, cioè una parabola con la concavità rivolta verso il basso; quindi, in questo caso, in
corrispondenza del massimo si ha una posizione di equilibrio instabile dalla quale il sistema può allontanarsi all'infinito, senza compiere oscillazioni armoniche.
In definitiva....controlla il segno!
I passaggi sono molto semplici, non penso di aver sbagliato:
considero un elettrone in un atomo (a forma di sfera), utilizzando Gauss si ha:
$4 \pi r^2 E=q/(\epsilon_0)$ siccome $q=4/3\pir^3\rho$ si ottiene $E= (\rho)/(3\epsilon_0)r$
Adesso so che $F=eE$ e da qui ottengo l'espressione scritta prima cioè: $F= (e\rho)/(3\epsilon_0)r$
Secondo te qui ho fatto qualche errore?
considero un elettrone in un atomo (a forma di sfera), utilizzando Gauss si ha:
$4 \pi r^2 E=q/(\epsilon_0)$ siccome $q=4/3\pir^3\rho$ si ottiene $E= (\rho)/(3\epsilon_0)r$
Adesso so che $F=eE$ e da qui ottengo l'espressione scritta prima cioè: $F= (e\rho)/(3\epsilon_0)r$
Secondo te qui ho fatto qualche errore?
La butto lì: magari il segno meno è implicito nella carica $e$ dell'elettrone (negativa)
Oppure il segno meno va messo arbitrariamente; scegliendo un versore radiale centrato nel nucleo e di verso uscente, la forza, essendo attrattiva, deve essere preceduta dal segno meno.
Non saprei cosa altro dire, ma sono sicuro al 100% che senza quel meno il moto non è assolutamente oscillatorio.
Non saprei cosa altro dire, ma sono sicuro al 100% che senza quel meno il moto non è assolutamente oscillatorio.
Ok grazie mille 
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