Oscillatori accoppiati
Le tre molle hanno la stessa costante elastica e lunghezza trascurabile e le due masse sono uguali.
Questo sistema ha due modi normali di oscillazione:
$ w^2=k/m $ e $ w'^" 2"=3k/m $ dove nel primo caso banale ciascuna massa oscilla come se la molla centrale non ci fosse.
Ora... il mio libro non dà informazioni sull'ampiezza del moto.
Essa certamente è legata all'energia dell'oscillazione.
Nel primo caso a me sembra di poter dire che l'energia meccanica di ciascuna massa è $ 1/2mA_o^2w^2 $ .
La stessa formula vale chiaramente anche per il secondo modo (con la differenza che la pulsazione è maggiore).
Quello che vorrei sapere è se 1) i due modi normali dello stesso sistema hanno necessariamente la stessa energia meccanica (a quel punto ricaverei facilmente il rapporto fra le ampiezze massime Ao).
2) Se io perturbo il sistema nella posizione di quiete iniziale, esso inizia ad oscillare: in base a cosa il sistema decide quale dei due modi seguire?
Grazie in anticipo
Risposte
Su 1) non so cosa dirti (anche se ho l'impressione che la domanda non abbia molto senso, alla luce del punto 2)
Su 2), dipende da COME perturbi il sistema. Per fare un esempio, se hai una corda tesa, e la pizzichi nel centro, si producono solo i modi dispari (quelli che hanno un massimo nel centro) e non i modi pari (con uno zero nel centro)
Su 2), dipende da COME perturbi il sistema. Per fare un esempio, se hai una corda tesa, e la pizzichi nel centro, si producono solo i modi dispari (quelli che hanno un massimo nel centro) e non i modi pari (con uno zero nel centro)
Ok, ho compreso le tue osservazioni.
Ora vado più nel dettaglio.
L'energia meccanica del sistema oscillante è eternamente pari (trascurando le dissipazioni) al lavoro L che io ho speso per perturbare il sistema inizialmente in quiete.
Una volta perturbo il sistema in modo tale da provocare l'oscillazione del tipo 1.
Scrivo dunque $ L=2*("energia meccanica singolo oscillatore")=2(1/2*m*A_1^2*w_1^2)=mA_1^2k/m=kA_1^2 $ .
Successivamente blocco il sistema facendolo tornare in quiete. Stavolta lo perturbo spendendo lo stesso lavoro L di prima ma in maniera tale da provocare l'oscillazione del tipo 2.
Ora $ L=3kA_2^2 $ .
Quindi posso affermare con certezza che le ampiezze massime A1 (modo 1) e A2 (modo 2) di ciascun oscillatore sono legate dal rapporto $ A_1/A_2=sqrt(3) $ ?
Ora vado più nel dettaglio.
L'energia meccanica del sistema oscillante è eternamente pari (trascurando le dissipazioni) al lavoro L che io ho speso per perturbare il sistema inizialmente in quiete.
Una volta perturbo il sistema in modo tale da provocare l'oscillazione del tipo 1.
Scrivo dunque $ L=2*("energia meccanica singolo oscillatore")=2(1/2*m*A_1^2*w_1^2)=mA_1^2k/m=kA_1^2 $ .
Successivamente blocco il sistema facendolo tornare in quiete. Stavolta lo perturbo spendendo lo stesso lavoro L di prima ma in maniera tale da provocare l'oscillazione del tipo 2.
Ora $ L=3kA_2^2 $ .
Quindi posso affermare con certezza che le ampiezze massime A1 (modo 1) e A2 (modo 2) di ciascun oscillatore sono legate dal rapporto $ A_1/A_2=sqrt(3) $ ?
Direi proprio di sì
Ok, ora per concludere passo alla questione più formale: le equazioni del moto.
Chiamo alpha e beta le due (identiche) masse.
MODO 1:
$ y_alpha(t)=A_1cos(w_1t) $
$ y_beta(t)=A_1cos(w_1t) $
MODO 2:
$ y_alpha(t)=A_2cos(w_2t) $
$ y_beta(t)=A_2cos(w_2t) $
La mia descrizione del moto del sistema è corretto? Cioè entrambe le masse hanno la stessa funzione oscillatoria (abbiamo già detto che hanno stessa ampiezza massima e stessa pulsazione, ma possiamo dire che sono entrambe cosinusoidali con stessa fase)?
Di nuovo grazie.
Chiamo alpha e beta le due (identiche) masse.
MODO 1:
$ y_alpha(t)=A_1cos(w_1t) $
$ y_beta(t)=A_1cos(w_1t) $
MODO 2:
$ y_alpha(t)=A_2cos(w_2t) $
$ y_beta(t)=A_2cos(w_2t) $
La mia descrizione del moto del sistema è corretto? Cioè entrambe le masse hanno la stessa funzione oscillatoria (abbiamo già detto che hanno stessa ampiezza massima e stessa pulsazione, ma possiamo dire che sono entrambe cosinusoidali con stessa fase)?
Di nuovo grazie.
I modi normali si ottengono disaccoppiando, mediante la diagonalizzazione di una matrice simmetrica, le equazioni del moto:
Ora si possono determinare analiticamente le condizioni iniziali che eccitano uno solo dei due modi:
Dovresti riuscire a risponderti da solo.
Equazioni del moto coordinate lagrangiane
$[[ddotx_1],[ddotx_2]]=-k/m[[2,-1],[-1,2]][[x_1],[x_2]]$
Modi normali
$[[X_1],[X_2]]=[[sqrt2/2,sqrt2/2],[-sqrt2/2,sqrt2/2]][[x_1],[x_2]] ^^ [[x_1],[x_2]]=[[sqrt2/2,-sqrt2/2],[sqrt2/2,sqrt2/2]][[X_1],[X_2]]$
Equazioni del moto modi normali
$[[sqrt2/2,-sqrt2/2],[sqrt2/2,sqrt2/2]][[ddotX_1],[ddotX_2]]=-k/m[[2,-1],[-1,2]][[sqrt2/2,-sqrt2/2],[sqrt2/2,sqrt2/2]][[X_1],[X_2]] rarr$
$rarr [[ddotX_1],[ddotX_2]]=-k/m[[sqrt2/2,sqrt2/2],[-sqrt2/2,sqrt2/2]][[2,-1],[-1,2]][[sqrt2/2,-sqrt2/2],[sqrt2/2,sqrt2/2]][[X_1],[X_2]] rarr$
$rarr [[ddotX_1],[ddotX_2]]=-k/m[[1,0],[0,3]][[X_1],[X_2]]$
Soluzioni modi normali
$X_1(t)=A_1cos(sqrt(k/m)t+varphi_1)$
$X_2(t)=A_2cos(sqrt((3k)/m)t+varphi_2)$
Soluzioni coordinate lagrangiane
$x_1(t)=sqrt2/2A_1cos(sqrt(k/m)t+varphi_1)-sqrt2/2A_2cos(sqrt((3k)/m)t+varphi_2)$
$x_2(t)=sqrt2/2A_1cos(sqrt(k/m)t+varphi_1)+sqrt2/2A_2cos(sqrt((3k)/m)t+varphi_2)$
Ora si possono determinare analiticamente le condizioni iniziali che eccitano uno solo dei due modi:
$x_(10)=sqrt2/2A_1cosvarphi_1-sqrt2/2A_2cosvarphi_2$
$x_(20)=sqrt2/2A_1cosvarphi_1+sqrt2/2A_2cosvarphi_2$
$dotx_(10)=-sqrt2/2sqrt(k/m)A_1sinvarphi_1+sqrt2/2sqrt((3k)/m)A_2sinvarphi_2$
$dotx_(20)=-sqrt2/2sqrt(k/m)A_1sinvarphi_1-sqrt2/2sqrt((3k)/m)A_2sinvarphi_2$
Modo normale 1
$x_(10)=sqrt2/2A_1cosvarphi_1$
$x_(20)=sqrt2/2A_1cosvarphi_1$
$dotx_(10)=-sqrt2/2sqrt(k/m)A_1sinvarphi_1$
$dotx_(20)=-sqrt2/2sqrt(k/m)A_1sinvarphi_1$
$[x_(10)=x_(20)] ^^ [dotx_(10)=dotx_(20)]$
Modo normale 2
$x_(10)=-sqrt2/2A_2cosvarphi_2$
$x_(20)=sqrt2/2A_2cosvarphi_2$
$dotx_(10)=sqrt2/2sqrt((3k)/m)A_2sinvarphi_2$
$dotx_(20)=-sqrt2/2sqrt((3k)/m)A_2sinvarphi_2$
$[x_(10)=-x_(20)] ^^ [dotx_(10)=-dotx_(20)]$
"SalvatCpo":
... possiamo dire che sono entrambe cosinusoidali con stessa fase ...
Dovresti riuscire a risponderti da solo.
Grazie per la completezza Sergeant Elias. Ho solo due dubbi.
Con le x piccole $ x_1(t) $ e $ x_2(t) $ hai indicato le posizioni, in funzione del tempo, delle masse 1 e 2 (che io chiamavo alpha e beta)? E con posizioni intendi le distanze (positive) dai due muri a cui sono rispettivamente collegate (e quindi $x_1(t) + x_2(t)$=costante=distanza fra i muri) oppure intendi qualcos'altro?
Sulle fasi iniziali $ varphi $ cosa possiamo dire? Come le ampiezze, dipendono dal modo in cui sollecitiamo il sistema? Sicuramente si possono calcolare in funzione delle posizioni iniziali e delle ampiezze, a giudicare dalle formule da te scritte.
Perdonami se le mie domande ti sembrano banali, ma il testo che il prof usa é in inglese (il Berkeley) e non lo capisco bene, inoltre non ho frequentato le lezioni.
Con le x piccole $ x_1(t) $ e $ x_2(t) $ hai indicato le posizioni, in funzione del tempo, delle masse 1 e 2 (che io chiamavo alpha e beta)? E con posizioni intendi le distanze (positive) dai due muri a cui sono rispettivamente collegate (e quindi $x_1(t) + x_2(t)$=costante=distanza fra i muri) oppure intendi qualcos'altro?
Sulle fasi iniziali $ varphi $ cosa possiamo dire? Come le ampiezze, dipendono dal modo in cui sollecitiamo il sistema? Sicuramente si possono calcolare in funzione delle posizioni iniziali e delle ampiezze, a giudicare dalle formule da te scritte.
Perdonami se le mie domande ti sembrano banali, ma il testo che il prof usa é in inglese (il Berkeley) e non lo capisco bene, inoltre non ho frequentato le lezioni.
"SalvatCpo":
Con $x_1(t)$ e $x_2(t)$ hai indicato ...
Ho indicato la posizione prendendo come origine la rispettiva posizione di equilibrio.
"SalvatCpo":
Sulle fasi iniziali ...
Non ho ancora capito se ti stai riferendo all'evoluzione temporale in presenza di entrambi i modi o all'evoluzione temporale in presenza di uno solo dei due. Ad ogni modo, mentre nel primo caso può capitare di tutto, nel caso in cui sia presente solo il modo 1, le fasi di $x_1$ e di $x_2$ sono uguali, nel caso in cui sia presente solo il modo 2, le fasi differiscono di $\pi$.
"SalvatCpo":
Perdonami se le mie domande ti sembrano banali ...
Veramente, nonostante il modello sia piuttosto semplice, il suo studio è tutt'altro che banale.
Con fasi intendevo quelle in presenza di uno solo dei due modi; ho capito le tue risposte.
Quindi, a giudicare da quello che hai detto ora, $x_1(t)$ e $x_2(t) $ sono positive rispettivamente quando le masse 1 e 2 sono a destra della propria posizione di equilibrio, e negative quando sono a sinistra. La distanza fra le due posizioni di equilibrio é sicuramente la lunghezza, all'equilibrio, della molla centrale.
Inoltre, osservando le tue equazioni, noto che le due masse, in presenza di uno solo dei modi, oscillano con la stessa ampiezza massima (A1 per il modo 1 e A2 per il modo due).
Quindi, a giudicare da quello che hai detto ora, $x_1(t)$ e $x_2(t) $ sono positive rispettivamente quando le masse 1 e 2 sono a destra della propria posizione di equilibrio, e negative quando sono a sinistra. La distanza fra le due posizioni di equilibrio é sicuramente la lunghezza, all'equilibrio, della molla centrale.
Inoltre, osservando le tue equazioni, noto che le due masse, in presenza di uno solo dei modi, oscillano con la stessa ampiezza massima (A1 per il modo 1 e A2 per il modo due).
Confermo tutto quello che hai scritto. Inoltre, mentre il primo modo normale si ottiene, per esempio, abbandonando in quiete le due masse dopo averle spostate della stessa quantità, entrambe a destra oppure entrambe a sinistra, il secondo modo normale si ottiene, per esempio, abbandonando in quiete le due masse dopo averle spostate della stessa quantità, la prima a destra e la seconda a sinistra oppure la prima a sinistra e la seconda a destra. Nel primo caso la molla centrale non si deforma e la frequenza di oscillazione è quella relativa a una sola molla. Nel secondo caso la molla centrale si deforma, motivo per il quale la frequenza è maggiore. Se fai mente locale puoi facilmente immaginarlo. Insomma, non sarebbe difficile fare una simulazione.
@anonymous_0b37e9 sei stato molto chiaro. Ho un altro aiuto da chiederti ancora.
Il problema che abbiamo prima affrontato puó essere generalizzato per due masse diverse.
(Ponendo m1=m2 ci ritroviamo perfettamente con quanto detto prima.)
Ecco come lavora il mio libro.
Prendendo spunto da ciò, riusciresti a trovare la formula generale del quadrato della pulsazione e quella del rapporto fra le due ampiezze nel caso in cui le molle hanno costanti elastiche K1, K2 e K3 e le masse sono m1 e m2? Non avendo ancora strumenti di meccanica analitica (geometria dei sistemi fisici e calcolo matriciale) o analisi 3 (eq differenziali non banali) non sono in grado di capire bene i passaggi dimostrativi, quindi puoi ometterli.
Grazie mille
Il problema che abbiamo prima affrontato puó essere generalizzato per due masse diverse.
(Ponendo m1=m2 ci ritroviamo perfettamente con quanto detto prima.)
Ecco come lavora il mio libro.
Prendendo spunto da ciò, riusciresti a trovare la formula generale del quadrato della pulsazione e quella del rapporto fra le due ampiezze nel caso in cui le molle hanno costanti elastiche K1, K2 e K3 e le masse sono m1 e m2? Non avendo ancora strumenti di meccanica analitica (geometria dei sistemi fisici e calcolo matriciale) o analisi 3 (eq differenziali non banali) non sono in grado di capire bene i passaggi dimostrativi, quindi puoi ometterli.
Grazie mille
La mia idea è quella di modificare le equazioni del libro (cambio semplicemente le k).
$ m_1x_1''=-k_1x_1+k_2(x_2-x_1) $ e
$ m_2x_2''=-k_2(x_2-x_1)-k_3x_2 $
Poi sostituisco, in quelle due:
$ x_1=Acos(wt) $ e $ x_2=Bcos(wt) $
da cui viene fuori il sistema delle due equazioni
$ w^2=((k_1+k_2)A-k_2B)/(m_1A) $ E
$ w^2=((k_2+k_3)B-k_2A)/(m_2B) $ .
Uguagliando i due secondi membri trovo un'equazione che, risolta per l'incognita B, mi permette di trovare due valori B=f(A) che, sostituiti in una delle equazioni per il calcolo di w, mi danno le due pulsazioni dei due modi normali.
A quel punto conosco, per ciascuno dei due modi, la pulsazione e il rapporto fra le ampiezze, dunque posso scrivere le equazioni generali.
Dico bene?
$ m_1x_1''=-k_1x_1+k_2(x_2-x_1) $ e
$ m_2x_2''=-k_2(x_2-x_1)-k_3x_2 $
Poi sostituisco, in quelle due:
$ x_1=Acos(wt) $ e $ x_2=Bcos(wt) $
da cui viene fuori il sistema delle due equazioni
$ w^2=((k_1+k_2)A-k_2B)/(m_1A) $ E
$ w^2=((k_2+k_3)B-k_2A)/(m_2B) $ .
Uguagliando i due secondi membri trovo un'equazione che, risolta per l'incognita B, mi permette di trovare due valori B=f(A) che, sostituiti in una delle equazioni per il calcolo di w, mi danno le due pulsazioni dei due modi normali.
A quel punto conosco, per ciascuno dei due modi, la pulsazione e il rapporto fra le ampiezze, dunque posso scrivere le equazioni generali.
Dico bene?
"SalvatCpo":
... riusciresti a trovare la formula generale del quadrato della pulsazione ...
Nel caso generale:
$[[ddotx_1],[ddotx_2]]=[[-(k_1+k_2)/m_1,k_2/m_1],[k_2/m_2,-(k_2+k_3)/m_2]][[x_1],[x_2]]$
si tratta di determinare gli autovalori della matrice sottostante:
$[[\lambda+(k_1+k_2)/m_1,-k_2/m_1],[-k_2/m_2,\lambda+(k_2+k_3)/m_2]]$
Quindi:
$|(\lambda+(k_1+k_2)/m_1,-k_2/m_1),(-k_2/m_2,\lambda+(k_2+k_3)/m_2)|=0 rarr$
$rarr (\lambda+(k_1+k_2)/m_1)(\lambda+(k_2+k_3)/m_2)-k_2^2/(m_1m_2)=0 rarr$
$rarr \lambda^2+((k_1+k_2)/m_1+(k_2+k_3)/m_2)\lambda+((k_1+k_2)(k_2+k_3))/(m_1m_2)-k_2^2/(m_1m_2)=0 rarr$
$rarr \lambda^2+((k_1+k_2)/m_1+(k_2+k_3)/m_2)\lambda+(k_1k_2+k_1k_3+k_2k_3)/(m_1m_2)=0$
Poiché il discriminante è sempre positivo:
$\Delta=((k_1+k_2)/m_1+(k_2+k_3)/m_2)^2-(4(k_1k_2+k_1k_3+k_2k_3))/(m_1m_2)=$
$=((k_1+k_2)/m_1)^2+((k_2+k_3)/m_2)^2+(2(k_1+k_2)(k_2+k_3))/(m_1m_2)-(4(k_1k_2+k_1k_3+k_2k_3))/(m_1m_2)=$
$=((k_1+k_2)/m_1-(k_2+k_3)/m_2)^2+(4k_2^2)/(m_1m_2)$
l'equazione secolare ammette sempre due soluzioni distinte. Tuttavia, vista la complessità nel determinare anche solo le pulsazioni, non credo valga la pena continuare.
@anonymous_0b37e9 all'esame mi è capitato un esercizio con 3 masse e due molle identiche in mezzo (oscillazioni longitudinali). La massa centrale è maggiore delle laterali, uguali fra loro. Su internet (sito università Manchester) ho trovato lo stesso esercizio e mi trova solo due modi normali, infatti io ho trovato nulla una delle tre pulsazioni, ma il prof ha detto che ce ne erano tre secondo lui. Chi ha ragione?
"SalvatCpo":
... mi trova solo due modi normali, infatti io ho trovato nulla una delle tre pulsazioni ...
Una delle tre pulsazioni è sicuramente nulla. Poiché, lungo la direzione orizzontale, il sistema è isolato, essa corrisponde al moto rettilineo uniforme del centro di massa.
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