Oscillatore verticale

[feddy]

Ciao, purtroppo non possiedo la slìoluzione del seguente problema trovato online, quindi chiedo un check

Un corpo puntiforme di massa m = 2 kg pende verticalmente, come in figura, dal soffitto di una stanza essendo attaccato all’estremità inferiore di una molla di costante elastica $k = 196 N/m$ e lunghezza a riposo $l_0 = 0.6 \quad m$, disposta verticalmente e avente l’estremità superiore vincolata ad un punto fisso O del soffitto.
Il corpo viene mantenuto in quiete a una distanza $h_0 = 0.5 m$ dal punto O mediante un filo inestensibile e privo di massa che pende esso stesso dal punto O. All’istante $t_0 = 0$ il filo si spezza e il corpo inizia a muoversi di moto oscillatorio.
Calcolare nel sistema di riferimento Oz, con l’asse z orientato verso il basso:

1. la tensione $T$ del filo per $t < t_0$ ;
2. l'equazione del moto per $t > t_0$
3. la legge oraria del corpo
4. La reazione $\vec{R}(t)$ esercitata dal perno durante il moto del corpo.

1.
Deve necessariamente essere

$\sum_{i} \vec{F_i} = \vec{0}$

La molla è compressa, pertanto, con l'asse z rivolto verso il basso, risulta che questa ha verso positivo (infatti $Delta x=-0.1$).

$mg - T - k Delta x=0$

Da cui

$T=mg - k Delta x$

2. Nel momento in cui la fune si spezza, accade che il corpo si mette in moto

$m a = -kDelta x + mg$

Da cui, definendo $Delta x= \chi$ e notando che $\ddot \chi= \ddot x(t)= \vec{a}$ si ha che il moto dell'oscillatore è governato dalla seguente equazione differenziale, dove $\omega ^2= \frac{k}{m}$

$ \ddot \chi + \omega ^2 \chi = g$

3. La soluzione è della forma $\chi(t)= A \sin (\omega t + \phi) + \frac{mg}{k}$, dove la fase $\phi$ e l'ampiezza $A$ vanno determinati dalle condizioni iniziali: $\chi(0)=h_0 - l_0$, $\dot \chi(0)=0$.

\( \begin{cases} A\sin(\phi)=h_0 - l_0 - \frac{mg}{k} \\ A \cos(\phi)=0 \end{cases} \)

da cui si ha che deve essere, affinchè $A>0$:

$\phi= \frac{3 \pi }{2}$

Perciò la legge oraria diventa

$\chi(t)=(l_0 - h_0 + \frac{mg}{k}) cos(\omega t) + \frac{mg}{k} $

4. Deve essere che $R_{O}(t)=F_{el}(t)$ in modulo, ma con verso opposto.
Perciò:

$\vec{R_{O}}(t)=- k \cdot \chi(t) $

.


Tutto ok ?

[Shackle]

Feddy,

ma non ti ricordi che questo esercizio, con numeri diversi, lo avevi già proposto circa due anni fa ?

[feddy]

Ciao Shackle, avevo un vago ricordo, ma non ero riuscito a trovarlo, visto che il testo era diverso ! Dal momento che quindi mi pare sia corretto, avrei solo una domanda: nell'ultimo punto la reazione del perno è corretta come $\vec{R_O}=-k \chi (t) \mathbf{k}$? Poichè al tempo non avevo messo il segno meno, ma mi pare corretto che lo abbia invece !