Oscillatore smorzato forzato
Salve ragazzi, sto avendo un problema con la risoluzione dell'oscillatore smorzato forzato (la dimostrazione nello specifico)
in particolare, dopo aver considerato la forzante focos(wt), e aver fatto tutte le considerazioni sostituiendo la derivata prima e seconda di essa all'interno dell'equazione ecc..
il libro mi dice che da
$ fcos(w0t)=a(w^2 - w0^2)(cosw0tcosphi -senw0tsinphi)-2abetaw0(cosw0tsenphi + sen(w0t)cosphi) $
ottengo
$ a(w^2 -w0^2)cosphi +2abetaw0senphi = f0 $
a sistema con
$ -a(w^2 -w0^2)senphi +2abetaw0cosphi = 0 $
anzitutto, come c'è arrivato da quella eq di partenza ad avere queste 2 equazioni messe a sistema, ed inoltre mi dice che
elevando al quadrato entrambe e addizionandole ottengo:
$ a^2[(w^2 - w0^2)^2 +4beta^2w0^2]=f0^2 $
da cui poi vabbè mi ricavo a..
ok, ma anche in questo caso come ci è arrivato? :\
sono conti matematici che non mi escono eppure dovrebbero essere banali.. potreste darmi una mano con la risoluzione almeno di quest'ultimo? grazie in anticipo
nb: ci tengo a dire che la risoluzione con la eq differenziale non l'abbiamo fatta.
in particolare, dopo aver considerato la forzante focos(wt), e aver fatto tutte le considerazioni sostituiendo la derivata prima e seconda di essa all'interno dell'equazione ecc..
il libro mi dice che da
$ fcos(w0t)=a(w^2 - w0^2)(cosw0tcosphi -senw0tsinphi)-2abetaw0(cosw0tsenphi + sen(w0t)cosphi) $
ottengo
$ a(w^2 -w0^2)cosphi +2abetaw0senphi = f0 $
a sistema con
$ -a(w^2 -w0^2)senphi +2abetaw0cosphi = 0 $
anzitutto, come c'è arrivato da quella eq di partenza ad avere queste 2 equazioni messe a sistema, ed inoltre mi dice che
elevando al quadrato entrambe e addizionandole ottengo:
$ a^2[(w^2 - w0^2)^2 +4beta^2w0^2]=f0^2 $
da cui poi vabbè mi ricavo a..
ok, ma anche in questo caso come ci è arrivato? :\
sono conti matematici che non mi escono eppure dovrebbero essere banali.. potreste darmi una mano con la risoluzione almeno di quest'ultimo? grazie in anticipo
nb: ci tengo a dire che la risoluzione con la eq differenziale non l'abbiamo fatta.
Risposte
"andmath":
......
il libro mi dice che da
$ fcos(w0t)=a(w^2 - w0^2)(cosw0tcosphi -senw0tsinphi)-2abetaw0(cosw0tsenphi + sen(w0t)cosphi) $
ottengo
$ a(w^2 -w0^2)cosphi +2abetaw0senphi = f0 $
a sistema con
$ -a(w^2 -w0^2)senphi +2abetaw0cosphi = 0 $
anzitutto, come c'è arrivato da quella eq di partenza ad avere queste 2 equazioni messe a sistema...
Innanzitutto : se vuoi scrivere $\omega_0$ , con il pedice $0$ , metti il "trattino basso " tra \omega e 0 , cioè scrivi \omega_0 .
Nel secondo membro :
$a(w^2 - w_0^2)(cosw_0tcosphi -senw_0tsinphi)-2abetaw_0(cosw_0tsenphi + sen(w_0t)cosphi)$
raccogli a fattor comune $cosw_0t$ , ottenendo : $[a(w^2 - w_0^2)cosphi -2abetaw_0senphi]*cosw_0t $
questo termine deve essere uguale a $ fcos(w_0t) $, quindi la quantità in parentesi quadra deve essere uguale a $f$ .
[ nota però che c'è un segno "$-$" tra i due termini in parentesi quadra , non "$+$" ] . E questa è la prima equazione.
Negli altri termini a secondo membro, raccogli a fattor comune $ senw_0t $ , e ottieni :
$ [-a(w^2 - w_0^2)*sinphi-2abetaw_0*cosphi]*sen(\omega_0t) $
che deve essere nullo per ogni $t$ , quindi deve essere :
$ a(w^2 - w_0^2)*sinphi+2abetaw_0*cosphi = 0 $
Anche qui c'è differenza di un segno , rispetto a quello che hai scritto tu. Controlla bene i segni, io non conosco le equazioni di partenza, quindi non posso farlo.
ciao, anzitutto grazie per la risposta, ti confermo che le equazioni che avevo scritto in partenza sono corrette 
ps: per quanto riguarda quella seconda parte di calcoli?
grazie ancora
ps: per quanto riguarda quella seconda parte di calcoli?
grazie ancora
LA seconda parte si ottiene quadrando e sommando, come hai detto tu. I doppi prodotti vanno via , sono di segno contrario. Nel quadrati , basta tener presente che $sen^2 \phi + cos^2\phi = 1 $ .
"Shackle":
LA seconda parte si ottiene quadrando e sommando, come hai detto tu. I doppi prodotti vanno via , sono di segno contrario. Nel quadrati , basta tener presente che $sen^2 \phi + cos^2\phi = 1 $ .
ciao,
mica mi potresti mostrare i passaggi, non so in cosa mi sto impapocchiando solo io
grazie tantissimo per il supporto
$[a(w^2 - w_0^2)cosphi -2abetaw_0senphi]^2 = f^2 $
$ [a(w^2 - w_0^2)*sinphi+2abetaw_0*cosphi]^2 = 0 $
fai i quadrati , e somma membro a membro . Come vedi, per avere che i doppi prodotti si cancellino, in una equazione ci vuole il segno $-$ , in un'altra il segno $+$ al secondo termine . Perciò ti ripeto di rivedere i segni .
Questi passaggi servono per eliminare $\phi$ , che dovrebbe essere solo un angolo di fase iniziale.
$ [a(w^2 - w_0^2)*sinphi+2abetaw_0*cosphi]^2 = 0 $
fai i quadrati , e somma membro a membro . Come vedi, per avere che i doppi prodotti si cancellino, in una equazione ci vuole il segno $-$ , in un'altra il segno $+$ al secondo termine . Perciò ti ripeto di rivedere i segni .
Questi passaggi servono per eliminare $\phi$ , che dovrebbe essere solo un angolo di fase iniziale.
ehi, allora l'equazione di partenza e':
$ f_0cos(w_ot)=alpha(w^2 - w_0^2)cos(w_0t+phi)-2alphabetaw_0sen(w_0t+phi) $
la quale nasce a partire dall'eq:
$ (d^2x)/dt^2 +2 beta (dx)/dt + omega^2 x = f_0cosomegat $
dove la derivata prima e seconda sono state ottenute derivando una e due volte
$ x_0(t) = alphacos(w_ot +phi) $
l'equazione che quindi ti avevo scritto inizialmente quella con coseno seno ecc nasce dalla prima che ti ho scritto mediante le regole di addizione del coseno e del seno..
non riesco quindi a capire quale possa essere il problma del segno.. l'unica spiegazione che mi sentirei di dare MOLTO azzardata e' che probabilmente andava consideranto
$ x_0(t) = alphasen(w_ot +phi) $
ma e' stato stesso il libro a considerare il seno :\
$ f_0cos(w_ot)=alpha(w^2 - w_0^2)cos(w_0t+phi)-2alphabetaw_0sen(w_0t+phi) $
la quale nasce a partire dall'eq:
$ (d^2x)/dt^2 +2 beta (dx)/dt + omega^2 x = f_0cosomegat $
dove la derivata prima e seconda sono state ottenute derivando una e due volte
$ x_0(t) = alphacos(w_ot +phi) $
l'equazione che quindi ti avevo scritto inizialmente quella con coseno seno ecc nasce dalla prima che ti ho scritto mediante le regole di addizione del coseno e del seno..
non riesco quindi a capire quale possa essere il problma del segno.. l'unica spiegazione che mi sentirei di dare MOLTO azzardata e' che probabilmente andava consideranto
$ x_0(t) = alphasen(w_ot +phi) $
ma e' stato stesso il libro a considerare il seno :\
"andmath":
ehi, allora l'equazione di partenza e':
$ f_0cos(w_ot)=alpha(w^2 - w_0^2)cos(w_0t+phi)-2alphabetaw_0sen(w_0t+phi) $
la quale nasce a partire dall'eq:
$ (d^2x)/dt^2 +2 beta (dx)/dt + omega^2 x = f_0cosomegat $
dove la derivata prima e seconda sono state ottenute derivando una e due volte
$ x_0(t) = alphacos(w_ot +phi) $
l'equazione che quindi ti avevo scritto inizialmente quella con coseno seno ecc nasce dalla prima che ti ho scritto mediante le regole di addizione del coseno e del seno..
e questo va benissimo! Sugli sviluppi con le regole di addizione ci siamo !
non riesco quindi a capire quale possa essere il problma del segno.. l'unica spiegazione che mi sentirei di dare MOLTO azzardata e' che probabilmente andava consideranto
$ x_0(t) = alphasen(w_ot +phi) $
ma e' stato stesso il libro a considerare il seno :\
il problema del segno è che, quando passi dalla prima equazione che hai scritto, cioè questa :
"andmath":
.......
il libro mi dice che da
$ fcos(w0t)=a(w^2 - w0^2)(cosw0tcosphi -senw0tsinphi)-2abetaw0(cosw0tsenphi + sen(w0t)cosphi) $
a queste due ( e ti ho spiegato perchè si arriva ad esse,come ti ho fatto vedere, mettendo una volta a fattor comune il $ cos(\omega_0t) $ , e l'altra volta il $sen(\omega_0t) $ ) :
......
$ a(w^2 -w0^2)cosphi +2abetaw0senphi = f0 $
$ -a(w^2 -w0^2)senphi +2abetaw0cosphi = 0 $
sbagli il segno del secondo termine al 1º membro.
In poche parole, le due equazioni suddette andavano scritte :
$ a(w^2 -w_0^2)cosphi - 2abetaw_0senphi = f0 $
$ -a(w^2 -w_0^2)senphi - 2abetaw_0cosphi = 0 $
È chiaro ora ? Controlla, con calma !
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