Oscillatore armonico quantistico tridimensionale

[qadesh1]

$ u(x,y,z) = X(x) dot Y(y) dot Z(z) $ciao a tutti,

consideriamo l'oscillatore armonico in tre dimensioni cui l'hamiltoniana è :

$ -{h}/{2m} ( P_x^2 + P_y ^2 + P_z ^2 ) + {1}/{2}m omega^2 (x^2 + y^2 + z^2 ) $.

Mi Si chiede di determinare le autofunzioni dello stato fondamentale e le relative energie.

Per quanto riguarda le autofunzioni direi che ,poichè è un problema a variabili separabili, le autofunzioni dello stato fondamentale saranno :

$ u(x,y,z) = X(x) *Y(y) * Z(z) $ con $ X(x) = Ae^(-{m omega}/{2h}x^2)$,$Y(y) = Be^(-{m omega}/{2h}y^2)$,$Z(z) = Ce^(-{m omega}/{2h}z^2)$

L'energia,nel caso dell'oscillatore in tre dimensioni, è data dalla formula : $E = E_1 + E_2 + E_3 = h omega (n_1 + n_2 + n_3 + {3}/{2}) = {3}/{2} h omega$ perchè ci troviamo allo stato fondamentale e quindi $ n_1 = n_2 = n_3 = 0$.Non c'è degenerazione nello stato fondamentale giusto? dato che i singoli contributi sono tutti nulli. Diverso sarebbe il caso del primo



Volendo poi calcolare in tal caso il valore di aspettazione $< r = r(x,y,z) >$ dovrei scrivere :$ \langle u(x,y,z) | r(x,y,z) |u(x,y,z)\rangle = int u(x,y,z)^* r u(x,y,z) dx dy dz = int r |u(r)|^2 dr $ passando quindi alle coordinate sferiche.


giusto?

[ludwigZero]

"qadesh":$ u(x,y,z) = X(x) dot Y(y) dot Z(z) $ciao a tutti,

consideriamo l'oscillatore armonico in tre dimensioni cui l'hamiltoniana è :

$ -{h}/{2m} ( P_x^2 + P_y ^2 + P_z ^2 ) + {1}/{2}m omega^2 (x^2 + y^2 + z^2 ) $.

Mi Si chiede di determinare le autofunzioni dello stato fondamentale e le relative energie.

Per quanto riguarda le autofunzioni direi che ,poichè è un problema a variabili separabili, le autofunzioni dello stato fondamentale saranno :

$ u(x,y,z) = X(x) *Y(y) * Z(z) $ con $ X(x) = Ae^(-{m omega}/{2h}x^2)$,$Y(y) = Be^(-{m omega}/{2h}y^2)$,$Z(z) = Ce^(-{m omega}/{2h}z^2)$

L'energia,nel caso dell'oscillatore in tre dimensioni, è data dalla formula : $E = E_1 + E_2 + E_3 = h omega (n_1 + n_2 + n_3 + {3}/{2}) = {3}/{2} h omega$ perchè ci troviamo allo stato fondamentale e quindi $ n_1 = n_2 = n_3 = 0$.Non c'è degenerazione nello stato fondamentale giusto? dato che i singoli contributi sono tutti nulli. Diverso sarebbe il caso del primo



Volendo poi calcolare in tal caso il valore di aspettazione $< r = r(x,y,z) >$ dovrei scrivere :$ \langle u(x,y,z) | r(x,y,z) |u(x,y,z)\rangle = int u(x,y,z)^* r u(x,y,z) dx dy dz = int r |u(r)|^2 dr $ passando quindi alle coordinate sferiche.


giusto?

Per le autofunzioni:
bisogna scriverle nello stato fondamentale, mentre tu l'hai scritto in quello generico.
$\psi = psi_0 (x) psi_0 (y) psi_0 (z) = (m w/(h \pi))^(3/4) e^-((m w/(2 h)) (x^2 + y^2 + z^2) )$

gli autovalori mi trovo con te.
i livelli di degenerazione di $E$ invece si calcola così:
$d_n = 1/2 (n+1)(n+2)$
dato che è
$n = 0$
allora la $d = 1$
e infatti abbiamo un solo modo per dare $n=0$

per il valor medio, ci vorrebbe un esercizio pratico :/