Oscillatore armonico quantistico e calcolo probabilità
ciao a tutti,
ho un dubbio su lla risoluzione del seguente esercizio:
Un oscillatore armonico si trova nel seguente stato all'istante $ t = 0$ :
$|psi\rangle = {1}/{sqrt 5} ( 1|0\rangle + 2 |1\rangle ) $,
determinare la probabilità di trovare l'oscillatore armonico al generico istante $t$ nello stato :
$|phi\rangle = {1}/{sqrt 2} ( |0\rangle + |1\rangle ) $.
Allora onestamente l'unica cosa che mi viene da pensare é fare : |{1}/{sqrt2}|^2 + |{1}/{sqrt2}|^2 = {1}/{4} cioè la somma dei moduli quadri dei coefficienti del nuovo stato. Non ne sono convinto...che ne dite?
p.s.
sapete come fare bene i simboli ket e bra?
ho un dubbio su lla risoluzione del seguente esercizio:
Un oscillatore armonico si trova nel seguente stato all'istante $ t = 0$ :
$|psi\rangle = {1}/{sqrt 5} ( 1|0\rangle + 2 |1\rangle ) $,
determinare la probabilità di trovare l'oscillatore armonico al generico istante $t$ nello stato :
$|phi\rangle = {1}/{sqrt 2} ( |0\rangle + |1\rangle ) $.
Allora onestamente l'unica cosa che mi viene da pensare é fare : |{1}/{sqrt2}|^2 + |{1}/{sqrt2}|^2 = {1}/{4} cioè la somma dei moduli quadri dei coefficienti del nuovo stato. Non ne sono convinto...che ne dite?
p.s.
sapete come fare bene i simboli ket e bra?
Risposte
Farei l'evoluzione temporale dello stato iniziale con l'operatore di evoluzione, poi farei il prodotto interno dello stato ottenuto con lo stato finale richiesto...
cioè dici di fare:
$|psi (x,t) \rangle = {1}/{sqrt 5} ( |0 \rangle e^({-iE_0 t}/{h}) + 2|1\rangle e^({-iE_1 t}/{h} ))$
e poi
$\langle phi | psi (x,t)\rangle$ .
perchè?
$|psi (x,t) \rangle = {1}/{sqrt 5} ( |0 \rangle e^({-iE_0 t}/{h}) + 2|1\rangle e^({-iE_1 t}/{h} ))$
e poi
$\langle phi | psi (x,t)\rangle$ .
perchè?
Il modulo del prodotto interno fra due stati dà la probabilità di transizione da uno all'altro...
"qadesh":
cioè dici di fare:
$|psi (x,t) \rangle = {1}/{sqrt 5} ( |0 \rangle e^({-iE_0 t}/{h}) + 2|1\rangle e^({-iE_1 t}/{h} ))$
e poi
$\langle phi | psi (x,t)\rangle$ .
perchè?
Sono d'accordo con arrigo, naturalmente, e aggiungo che dovresti anche normalizzare i due ket prima di prendere il prodotto scalare. (Mi permetto di consigliare di studiare almeno un minimo della teoria, questo esercizio lo sapevo fare persino io.)
si ma quale argomento in particolare..perchè io ho studiato dal griffith e sono arrivato fino allo spin pero un esercizio del genere proprio non l'ho incontrato.
In MQ non relativistica lo stato di un sistema è descritto dalla sua funzione d'onda $\psi$ che è una funzione delle coordinate e del tempo. L'evoluzione temporale della funzione d'onda è descritta dal'eq. temporale di Schr. Tale eq. ha due rappresentazioni, una come eq. diff. e l'altra come eq. di evoluzione $\psi(t)=\hat U \psi(0)$ dove $ \hat U = e^{- \frac{i}{\hbar}\hat H t} $ è l'operatore di evoluzione temporale. La $\psi(t)$ che hai scritto sopra è corretta e l'hai ottenuta applicando alla $\psi(0)$ l'operatore di evoluzione temporale. Cosa c'è allora che non ti è chiaro? 
non mi è chiaro perché , per trovare la probabilità di transizione da uno stato all'altro, devo calcolare il prodotto scalare tra i due stati. E' ,immagino, sicuramente una lacuna di teoria . MI puoi consigliare delle dispense che affrontano quest'argomento? oppure il testo da cui hai studiato e il capitolo dove spiega questo passaggio.
Il modulo del prodotto scalare fra due stati è un numero sicuramente compreso fra zero e uno (compresi) per cui è adattissimo a rappresentare la probabilità di transizione fra i due stati. Inoltre il prodotto scalare di uno stato per se stesso è uno, quindi la probabilità di passare da uno stato a se stesso è uno, come è giusto che sia. Se poi i due stati sono autostati (quindi ortogonali), allora la probabilità di transizione è zero, come anche qui è giusto che sia. Può bastare?:)
ok capito! grazie mille per l'aiuto e la pazienza
"qadesh":
non mi è chiaro perché , per trovare la probabilità di transizione da uno stato all'altro, devo calcolare il prodotto scalare tra i due stati. E' ,immagino, sicuramente una lacuna di teoria . MI puoi consigliare delle dispense che affrontano quest'argomento? oppure il testo da cui hai studiato e il capitolo dove spiega questo passaggio.
Allora, il prodotto scalare tra quei due stati e' la cosiddetta ampiezza (di transizione). Per trovare la probabilita' di transizione devi prendere il modulo quadro dell'ampiezza. In MQ la quantita' fondamentale e' l'ampiezza, per una transizione. Infatti questa raccoglie anche l'informazione sulle fasi, essendo un numero complesso, informazione che invece la probabilita' perde completamente. Per esempio nell'esperimento della doppia fenditura viene messo in evidenza il fatto che la meccanica quantistica non e' una teoria di probabilita', infatti le due fenditure danno interferenza. Per avere l'interferenza e' cruciale il ruolo della fase relativa (dei due percorsi). Interessante spiegazione sull'argomento la trovi nel libro (serie di libri) La Fisica di Feynman, nel volume di MQ, laddove parla dell'esperimento delle due fenditure (double slit experiment).
Una spiegazione molto chiara del significato dell'ampiezza la puoi trovare nel primo capitolo del Dirac, laddove spiega sostanzialmente i fondamenti della meccanica quantistica. Nella mia opinione quello e' l'unico testo nel quale questa cosa viene spiegata nella maniera piu' chiara e piu' fisicamente rigorosa possibile. Ti consiglio di andare a studiare quel testo, perche' la meccanica quantistica richiede un "salto" nella comprensione, un cambio di paradigma, che va al di la' del sapere "risolvere gli esercizi". Quest'ultima cosa e' ovviamente necessaria, dal punto di vista operativo: ma e' completamente vuota di significato e utilita' se non viene preceduta dalla comprensione del significato fisico piu' profondo della teoria.
"yoshiharu":
La Fisica di Feynman, nel volume di MQ, laddove parla dell'esperimento delle due fenditure (double slit experiment).
Di recente mi sono accorto che quel libro è stato completamente ripubblicato online e si può consultare liberamente:
http://www.feynmanlectures.caltech.edu/
Il volume di meccanica quantistica è il terzo. HTH
"dissonance":
[quote="yoshiharu"]La Fisica di Feynman, nel volume di MQ, laddove parla dell'esperimento delle due fenditure (double slit experiment).
Di recente mi sono accorto che quel libro è stato completamente ripubblicato online e si può consultare liberamente:
http://www.feynmanlectures.caltech.edu/
Il volume di meccanica quantistica è il terzo. HTH[/quote]
Accidenti, che bello! Infatti cio' e' molto di aiuto: la parte a cui mi riferivo sarebbe questa.
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