Oscillatore armonico quantistico
Sto muovendo i primi passi nella meccanica quantistica e vi sarei grato se poteste darmi un input su questo esercizio: far vedere che la $\psi(x)=Axe^{-bx^2}$ verifica l'equazione di un oscillatore armonico; si trovi $b$ in rapporto a $m$ e $\omega$, e l'energia totale. A che livello corrisponde questo stato?
Qualche suggerimento?
Qualche suggerimento?
Risposte
L'hamiltoniana classica di un oscillatore armonico è $H = p^2/{2m} + 1/2m\omega^2\x^2$. Per trattare il problema in ambito quantistico devi usare la corrispondenza $p = -ihd/dx$ e considerare il problema agli autovalori $H\psi = E\psi$.
Fatto questo si tratta semplicemente di sostituire e fare due derivate per verificare se la funzione data è soluzione del problema, mentre per trovare l'energia ti basta uguagliare i due membri dell'equazione.
Infine il livello si determina utilizzando il fatto che gli autovalori dell'oscillatore armonico sono dati da $E = h\omega(n+1/2)$, dove $n$ è un naturale.
N.B: Con $h$ intendo $h/{2\pi}$, solo che sul forum MathML non visualizza il simbolo.
Fatto questo si tratta semplicemente di sostituire e fare due derivate per verificare se la funzione data è soluzione del problema, mentre per trovare l'energia ti basta uguagliare i due membri dell'equazione.
Infine il livello si determina utilizzando il fatto che gli autovalori dell'oscillatore armonico sono dati da $E = h\omega(n+1/2)$, dove $n$ è un naturale.
N.B: Con $h$ intendo $h/{2\pi}$, solo che sul forum MathML non visualizza il simbolo.
Allora, su libro ho trovato che le soluzioni dell'equazione da te proposta sono:
$\psi_n(\xi)=((sqrt(beta))/(sqrt(pi)*2^n*n!))^0.5*e^{-(\xi^2)/2)*H_n(\xi)$
dove $\xi=sqrt(\beta)*x$ e $H_n$ è l'n-imo polinomio di Hermite. Da qui, però, non so come andare avanti.
$\psi_n(\xi)=((sqrt(beta))/(sqrt(pi)*2^n*n!))^0.5*e^{-(\xi^2)/2)*H_n(\xi)$
dove $\xi=sqrt(\beta)*x$ e $H_n$ è l'n-imo polinomio di Hermite. Da qui, però, non so come andare avanti.
ciao!
il tuo problema è più semplice che risolvere l'equazione di Schrodinger per l'oscillatore armonico.
Il problema ti da una funzione d'onda e devi verificare semplicemente che questa sia un' autofunzione dell'operatore hemiltoniano associato al caso di un oscillatore armonico.
Visto che $H=p^2/(2m)+12k^2x^2$ diventa $H=-h^2/(2m)*d/(dx^2)+1/2kx^2$ applicata alla funzione d'onda.
( tieni conto poi che vale relazione $ω=(k/m)^(1/2)$)
ti basta semplicemente calcolare la derivata seconda della funzione (visto che l'hemiltoniano richiede la derivata seconda) e svolgere i calcoli e devi ottenere che il tutto sia uguale alla funzione originale moltiplicato per una costante ( che è il valroe di E); se questo è vero, all'ora la tua funzione è un'autofunzione dell'operatre e quindi è soluzione accettabile del problema dell'oscillatore.
il tuo problema è più semplice che risolvere l'equazione di Schrodinger per l'oscillatore armonico.
Il problema ti da una funzione d'onda e devi verificare semplicemente che questa sia un' autofunzione dell'operatore hemiltoniano associato al caso di un oscillatore armonico.
Visto che $H=p^2/(2m)+12k^2x^2$ diventa $H=-h^2/(2m)*d/(dx^2)+1/2kx^2$ applicata alla funzione d'onda.
( tieni conto poi che vale relazione $ω=(k/m)^(1/2)$)
ti basta semplicemente calcolare la derivata seconda della funzione (visto che l'hemiltoniano richiede la derivata seconda) e svolgere i calcoli e devi ottenere che il tutto sia uguale alla funzione originale moltiplicato per una costante ( che è il valroe di E); se questo è vero, all'ora la tua funzione è un'autofunzione dell'operatre e quindi è soluzione accettabile del problema dell'oscillatore.
Non ti serve conoscere la soluzione generale per risolvere il problema, devi semplicemente utilizzare la funzione che ti viene fornita. Come detto prima l'equazione da considerare è $-{h^2}/{2m}d^2/{dx^2}\psi + 1/2m\omega^2x^2\psi = E\psi$.
La derivata seconda fornisce $d^2/{dx^2}\psi = (-6b+4b^2x^2)\psi$ quindi sostituendo ottieni $({6bh^2}/{2m} - {4b^2h^2x^2}/{2m} + 1/2m\omega^2x^2)\psi = E\psi$. Da questa uguaglianza hai $E = {3bh^2}/m - {2b^2h^2x^2}/m + 1/2m\omega^2x^2$, che ti permette di ricavare $b$.
Infatti $E$ non può dipendere da $x$, poichè l'energia dipende dallo stato e non dalla posizione, che è legata all'interpretazione probabilistica della funzione d'onda. In termini più matematici $E$ deve essere un autovalore per qualsiasi valore di $x$ e quindi non può esserci una dipendenza dalla posizione.
Imponendo che si annullino i termini in $x^2$ ottieni $1/2m\omega^2 = {2b^2h^2}/m$ da cui $b = {m\omega}/(2h)$. Nota che ho escluso la soluzione negativa poichè in tal caso la funzione d'onda non sarebbe normalizzabile, dal momento che $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{|b|x^2}dx$ non è finito.
Sostituendo hai infine $E = 3/2h\omega = h\omega(1+1/2)$ perciò si tratta del livello $n=1$.
La derivata seconda fornisce $d^2/{dx^2}\psi = (-6b+4b^2x^2)\psi$ quindi sostituendo ottieni $({6bh^2}/{2m} - {4b^2h^2x^2}/{2m} + 1/2m\omega^2x^2)\psi = E\psi$. Da questa uguaglianza hai $E = {3bh^2}/m - {2b^2h^2x^2}/m + 1/2m\omega^2x^2$, che ti permette di ricavare $b$.
Infatti $E$ non può dipendere da $x$, poichè l'energia dipende dallo stato e non dalla posizione, che è legata all'interpretazione probabilistica della funzione d'onda. In termini più matematici $E$ deve essere un autovalore per qualsiasi valore di $x$ e quindi non può esserci una dipendenza dalla posizione.
Imponendo che si annullino i termini in $x^2$ ottieni $1/2m\omega^2 = {2b^2h^2}/m$ da cui $b = {m\omega}/(2h)$. Nota che ho escluso la soluzione negativa poichè in tal caso la funzione d'onda non sarebbe normalizzabile, dal momento che $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{|b|x^2}dx$ non è finito.
Sostituendo hai infine $E = 3/2h\omega = h\omega(1+1/2)$ perciò si tratta del livello $n=1$.
Direi che le vostre soluzioni non lasciano adito a dubbi 
Ero io che mi complicavo la vita inutilmente, e per questo mi perdevo nei conti. Grazie per l'aiuto.
Ero io che mi complicavo la vita inutilmente, e per questo mi perdevo nei conti. Grazie per l'aiuto.
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