Oscillatore armonico quantistico
ciao a tutti,guardate questo esercizio:
un oscillatore armonico unidimensionale si trova nel seguente stato:
$|psi\rangle = {1}/{sqrt 3} |0\rangle + sqrt( {2}/{3}) |1\rangle $
determinare $ \Delta x$ in funzione del tempo.
allora ho pensato di scrivere l'operatore $x$ in funzione degli operatori di abbassamento e innalzamento.
Ottengo :
$x = {sqrt (2m)}/{2im \omega} ( a_+ - a_-)$
allora $ = {2m}/{4m^2 \omega ^2} langle\psi|( a_+ - a_-)|psi\rangle$.
Questo vuol dire che ad un certo punto dovrò calcolare $a_+|1\rangle$ ma ho un dubbio...quanto fa? voglio dire..so che ,dalla teoria, l'operatore di innalzamento ,applicato ad un livello ,mi da il livello successivo moltiplicato per una certa costante( per la precisione $a_+|1\rangle = sqrt(2h \omega)|2\rangle$ ,però dato che lo stato $|psi\rangle$ dal testo è composto solo da due livelli mi chiedevo se avesse senso far comparire il livello $|2\rangle$.
In ogni caso ,risolto questo punto come faccio poi per mostrare il risultato in funzione del tempo?
un oscillatore armonico unidimensionale si trova nel seguente stato:
$|psi\rangle = {1}/{sqrt 3} |0\rangle + sqrt( {2}/{3}) |1\rangle $
determinare $ \Delta x$ in funzione del tempo.
allora ho pensato di scrivere l'operatore $x$ in funzione degli operatori di abbassamento e innalzamento.
Ottengo :
$x = {sqrt (2m)}/{2im \omega} ( a_+ - a_-)$
allora $
Questo vuol dire che ad un certo punto dovrò calcolare $a_+|1\rangle$ ma ho un dubbio...quanto fa? voglio dire..so che ,dalla teoria, l'operatore di innalzamento ,applicato ad un livello ,mi da il livello successivo moltiplicato per una certa costante( per la precisione $a_+|1\rangle = sqrt(2h \omega)|2\rangle$ ,però dato che lo stato $|psi\rangle$ dal testo è composto solo da due livelli mi chiedevo se avesse senso far comparire il livello $|2\rangle$.
In ogni caso ,risolto questo punto come faccio poi per mostrare il risultato in funzione del tempo?
Risposte
Ciao,
Innanzitutto ti ricordo che
$Deltax^2 = - ^2$
Quindi devi calcolarti $$ e $^2$.
Il Problema però ti chiede di trovare $Deltax$ dipendete dal tempo, quindi cosa devi fare? Ti basta calcolare $Deltax$ usando lo stato $Psi$ dipendente dal tempo, nel tuo caso:
$|$ $Psi (t) > = (e^(-i(1/2h*omega)t))/sqrt(3) $ $|$ $0 > + (e^(-i(3/2h*omega)t))*sqrt(2/3) $ $| 1 > $
Avendo usato l'operatore di evoluzione temporale $U(t)$, infatti si ha che $E_0 = 1/2momega$ mentre $E_1 = 3/2 momega$
Quindi si ha che:
$Deltax^2 (t) =_t - _t^2$
Poi ultima cosa, la $x$ non dovrebbe essere:
$x = sqrt(h/(2m*omega)) (a_(-) + a_+)$ (non vorrei aver sbagliato non ne sono al 100% sicuro).
Riesci a continuare?
Innanzitutto ti ricordo che
$Deltax^2 =
Quindi devi calcolarti $
Il Problema però ti chiede di trovare $Deltax$ dipendete dal tempo, quindi cosa devi fare? Ti basta calcolare $Deltax$ usando lo stato $Psi$ dipendente dal tempo, nel tuo caso:
$|$ $Psi (t) > = (e^(-i(1/2h*omega)t))/sqrt(3) $ $|$ $0 > + (e^(-i(3/2h*omega)t))*sqrt(2/3) $ $| 1 > $
Avendo usato l'operatore di evoluzione temporale $U(t)$, infatti si ha che $E_0 = 1/2momega$ mentre $E_1 = 3/2 momega$
Quindi si ha che:
$Deltax^2 (t) =
Poi ultima cosa, la $x$ non dovrebbe essere:
$x = sqrt(h/(2m*omega)) (a_(-) + a_+)$ (non vorrei aver sbagliato non ne sono al 100% sicuro).
Riesci a continuare?
si ,non dovrebbero esserci problemi a proseguire .
Però ho un dubbio: utilizzando gli operatori di innalzamento e abbassamento inevitabilmente mi troverò situazioni di questo tipo: $a_+|1\rangle = c|2\rangle$ e quindi comparirebbe uno stato in più rispetto ai due di partenza ($|0\rangle ,|1\rangle $). Nulla di strano vero?
Però ho un dubbio: utilizzando gli operatori di innalzamento e abbassamento inevitabilmente mi troverò situazioni di questo tipo: $a_+|1\rangle = c|2\rangle$ e quindi comparirebbe uno stato in più rispetto ai due di partenza ($|0\rangle ,|1\rangle $). Nulla di strano vero?
Premetto che non sono un esperto, per me non credo sia un problema... prova a fare i conti, vediamo cosa esce.. Magari arriva qualcuno che se ne intendo più di me, non ho mai fatto questo genere di problemi..
L'espressione corretta per $x$ è quella postata da grimx, infatti definendo gli operatori costruzione e distruzione (adimensionali) come:
$$a = \frac{1}{\sqrt{2}}(x+ip)\\
a^{\dagger}= \frac{1}{\sqrt{2}}(x-ip)$$
si ricava:
$$
x = \frac{a+a^{\dagger}}{2}\\
p = \frac{a-a^{\dagger}}{2i}
$$
(nota che $x$ e $p$ qui sono adimensionali).
Quando andrai a calcolare il valore di aspettazione di $x$ e di $x^2$ compariranno, giustamente, stati diversi da quelli iniziali $|0\rangle$ e $|1\rangle$. Basta ricordare l'ortonormalità di quegli stati per svolgere i calcoli facilmente, infatti:
$$\langle n|m\rangle=\delta_{nm}$$
$$a = \frac{1}{\sqrt{2}}(x+ip)\\
a^{\dagger}= \frac{1}{\sqrt{2}}(x-ip)$$
si ricava:
$$
x = \frac{a+a^{\dagger}}{2}\\
p = \frac{a-a^{\dagger}}{2i}
$$
(nota che $x$ e $p$ qui sono adimensionali).
Quando andrai a calcolare il valore di aspettazione di $x$ e di $x^2$ compariranno, giustamente, stati diversi da quelli iniziali $|0\rangle$ e $|1\rangle$. Basta ricordare l'ortonormalità di quegli stati per svolgere i calcoli facilmente, infatti:
$$\langle n|m\rangle=\delta_{nm}$$
"DelCrossB":
Quando andrai a calcolare il valore di aspettazione di $x$ e di $x^2$ compariranno, giustamente, stati diversi da quelli iniziali $|0\rangle$ e $|1\rangle$. Basta ricordare l'ortonormalità di quegli stati per svolgere i calcoli facilmente, infatti:
$$\langle n|m\rangle=\delta_{nm}$$
Ok, allora è proprio come pensavo
, non avendo mai fatto un problema di questo tipo non ne ero certo (non volevo dire una cosa sbagliata)., grazie 
perfetto,grazie mille!
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