Oscillatore Armonico: Equazione differenziale
Per determinare il moto dell'oscillatore armonico, in assenza di attrito, è necessario studiare l'equazione differenziale:
$x''+(k_e)/mx=0$
$k_e="costante elastica della molla ideale"$
$m="massa del punto materiale collegato alla molla ideale"$
Riscriviamo il rapporto così: $(k_e)/m=\omega_0^2$
$x''+\omega_0^2x=0$
scriviamo l'equazione di secondo grado associata:
$\lambda^2+\omega_0^2=0$
$\lambda_1=-i\omega_0$
$\lambda_1=i\omega_0$
La soluzione è quindi:
$x(t)=Ae^(-i\omega_0)+Be^(i\omega_0)$ con A e B costanti
$x(t)=B[cos(\omega_0t)+isin(\omega_0t)]+A[cos(-\omega_0t)+isin(-\omega_0t)]$
$x(t)=B[cos(\omega_0t)+isin(\omega_0t)]+A[cos(\omega_0t)-isin(\omega_0t)]$
I miei dubbi sono questi:
1) Come si arriva da questa soluzione $x(t)=A[cos(\omega_0t)+isin(\omega_0t)]+B[cos(\omega_0t)-isin(\omega_0t)]$
a questa $x(t)=Bsin(\omega_0t)+Acos(\omega_0t)$
2) perchè $b=x_0$ e $A=v_0/\omega_0$
$x''+(k_e)/mx=0$
$k_e="costante elastica della molla ideale"$
$m="massa del punto materiale collegato alla molla ideale"$
Riscriviamo il rapporto così: $(k_e)/m=\omega_0^2$
$x''+\omega_0^2x=0$
scriviamo l'equazione di secondo grado associata:
$\lambda^2+\omega_0^2=0$
$\lambda_1=-i\omega_0$
$\lambda_1=i\omega_0$
La soluzione è quindi:
$x(t)=Ae^(-i\omega_0)+Be^(i\omega_0)$ con A e B costanti
$x(t)=B[cos(\omega_0t)+isin(\omega_0t)]+A[cos(-\omega_0t)+isin(-\omega_0t)]$
$x(t)=B[cos(\omega_0t)+isin(\omega_0t)]+A[cos(\omega_0t)-isin(\omega_0t)]$
I miei dubbi sono questi:
1) Come si arriva da questa soluzione $x(t)=A[cos(\omega_0t)+isin(\omega_0t)]+B[cos(\omega_0t)-isin(\omega_0t)]$
a questa $x(t)=Bsin(\omega_0t)+Acos(\omega_0t)$
2) perchè $b=x_0$ e $A=v_0/\omega_0$
Risposte
Signori della corte ritiro la 2^ domanda che è banale!
Per nota proprieta' di seno e coseno ?
Se mi fosse nota non avrei aperto una discussione sull'argomento, a quale relazione ti riferisci.
Sai almeno ricavarla in campo reale?
I passaggi che so fare mi ahnno portato fino a quella soluzione, non so andare oltre
Non me lo ricordo molto bene, forse Cuspide se lo ricorda meglio.
Ma credo sia come trovare il modulo di un numero complesso : raccogliere la parte reale e il coefficiente dell'immaginario, quadrare e sommare.
Ma ti ripeto che l'ho buttata lí, non ci giuro. Ci sono ragazzi più giovani che queste cose le ricordano meglio.
Comunque tu prova.
Ma credo sia come trovare il modulo di un numero complesso : raccogliere la parte reale e il coefficiente dell'immaginario, quadrare e sommare.
Ma ti ripeto che l'ho buttata lí, non ci giuro. Ci sono ragazzi più giovani che queste cose le ricordano meglio.
Comunque tu prova.
Devi porre
\[B=\frac{b-ia}{2}\hspace{2 cm}A=\frac{b+ia}{2}\]
\[B=\frac{b-ia}{2}\hspace{2 cm}A=\frac{b+ia}{2}\]
In pratica devi prendere la coniugata \(\overline{x(t)}\) e osservare che se la soluzione è reale devono valere alcune condizioni (che non scrivo) da cui derivano le definizioni che ti ho dato.
Oppure puoi anche prendere direttamente la parte reale...
Oppure puoi anche prendere direttamente la parte reale...
Credo tra l'altro che il ragionamento possa essere portato avanti anche diversamente.
Si considerare l'equzione nella forma in cui sia esplicitata la derivata seconda (accelerazione):
\(\displaystyle x'' = -\frac{k_{e}}{m} x \)
Volendo trovare soluzioni tali per cui la derivata seconda sia proporzionale alla funzione stessa (cambiata di segno) consideriamo le funzioni seno e coseno.
Quindi \(\displaystyle x_{1}(t) = cos(\omega t) \) e risolvi per sostituzione
Analogamente \(\displaystyle x_{2}(t) = sin(\omega t) \) e risolvi per sostituzione
Le due soluzione sono tra loro indipendenti.
Per cui sappiamo che ogni altra soluzione potra' essere espressa come combinazione lineare di queste due soluzioni indipendenti.
Da qui la soluzione generale dell'equazione:
\(\displaystyle
x(t) = \alpha_{1} * x_{1}(t) + \alpha_{2} * x_{2}(t) \\
x(t) = \alpha_{1} * cos(\omega t) + \alpha_{2} * sin(\omega t) \)
Si considerare l'equzione nella forma in cui sia esplicitata la derivata seconda (accelerazione):
\(\displaystyle x'' = -\frac{k_{e}}{m} x \)
Volendo trovare soluzioni tali per cui la derivata seconda sia proporzionale alla funzione stessa (cambiata di segno) consideriamo le funzioni seno e coseno.
Quindi \(\displaystyle x_{1}(t) = cos(\omega t) \) e risolvi per sostituzione
Analogamente \(\displaystyle x_{2}(t) = sin(\omega t) \) e risolvi per sostituzione
Le due soluzione sono tra loro indipendenti.
Per cui sappiamo che ogni altra soluzione potra' essere espressa come combinazione lineare di queste due soluzioni indipendenti.
Da qui la soluzione generale dell'equazione:
\(\displaystyle
x(t) = \alpha_{1} * x_{1}(t) + \alpha_{2} * x_{2}(t) \\
x(t) = \alpha_{1} * cos(\omega t) + \alpha_{2} * sin(\omega t) \)
"MenoInfinito":
Credo tra l'altro che il ragionamento possa essere portato avanti anche diversamente.
Si considerare l'equzione nella forma in cui sia esplicitata la derivata seconda (accelerazione):
\(\displaystyle x'' = -\frac{k_{e}}{m} x \)
Volendo trovare soluzioni tali per cui la derivata seconda sia proporzionale alla funzione stessa (cambiata di segno) consideriamo le funzioni seno e coseno.
Quindi \(\displaystyle x_{1}(t) = cos(\omega t) \) e risolvi per sostituzione
Analogamente \(\displaystyle x_{2}(t) = sin(\omega t) \) e risolvi per sostituzione
Le due soluzione sono tra loro indipendenti.
Per cui sappiamo che ogni altra soluzione potra' essere espressa come combinazione lineare di queste due soluzioni indipendenti.
Da qui la soluzione generale dell'equazione:
\(\displaystyle
x(t) = \alpha_{1} * x_{1}(t) + \alpha_{2} * x_{2}(t) \\
x(t) = \alpha_{1} * cos(\omega t) + \alpha_{2} * sin(\omega t) \)
Non era questo il problema di flamber. Lui è partito dall'oscillatore complesso e non capiva come si arrivava alla soluzione generale reale.
Tra l'altro cosi facendo non giustifichi nulla perchè semplicemente "prendi" le due funzioni e non fai vedere perchè sono quelle le soluzioni e perchè la soluzione generale è una loro combinazione lineare, rimarcando ancora il fatto che non era questo il problema.
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