Oscillatore armonico
Salve a tutti, avrei bisogno davvero di una mano a capire una cosa, per favore.
L'argomento è banale ma come sempre il cervello si ingrippa proprio dove sembra esserci l'ovvio.
Dunque consideriamo un oscillatore armonico libero 1 grado di libertà senza smorzamento(dunque il più semplice possibile).
Il mio problema sta nel ricavare l'eq. differenziale che ci permette di ricavare la legge del moto.
Consideriamo che tale oscillatore sia in posizione orizzontale. Sia $\x$ l'asse di oscillazione, con l'origine coincidente con la posizione di equilibrio(riposo). Sia $\m$ la massa dell'oscillatore e sia $\k$ la costante elastica della molla.
Scriviamo la seconda eq della dinamica per la massa m:
$\vecF=mveca$ ora se $\vecx$ è il vettore posizione della massa, allora $\vecF$ è una forza elastica ed allora $\vecF=-kvecx$ ora è chiaro che forza e accelerazione devono essere parallele e concordi, l'eq comunque diventa
$\-kvecx=mvecddotx$.
Dunque per ottenere l'eq. dell'oscillatore in forma scalare considero la proiezione di tali vettori lungo x.
$\-kvecx*hati=mvecddotx*hati$ ora se $\vecx$ supponiamo sia concorde con $\hati$ ossia la massa si trovi a destra dell'origine allora ho $\-kx=-mddotx$ dove il secondo membro è negativo perchè $\veca$ è discorde ad $\hati$ ora è chiaro che quella non è l'eq dell'oscillatore che si trova sui libri. Infatti otterrei $\-kx+mddotx=0$ da cui una soluzione completamente errata.
Qualcuno può dirmi perchè sbaglio?Sto impazzendo!
L'argomento è banale ma come sempre il cervello si ingrippa proprio dove sembra esserci l'ovvio.
Dunque consideriamo un oscillatore armonico libero 1 grado di libertà senza smorzamento(dunque il più semplice possibile).
Il mio problema sta nel ricavare l'eq. differenziale che ci permette di ricavare la legge del moto.
Consideriamo che tale oscillatore sia in posizione orizzontale. Sia $\x$ l'asse di oscillazione, con l'origine coincidente con la posizione di equilibrio(riposo). Sia $\m$ la massa dell'oscillatore e sia $\k$ la costante elastica della molla.
Scriviamo la seconda eq della dinamica per la massa m:
$\vecF=mveca$ ora se $\vecx$ è il vettore posizione della massa, allora $\vecF$ è una forza elastica ed allora $\vecF=-kvecx$ ora è chiaro che forza e accelerazione devono essere parallele e concordi, l'eq comunque diventa
$\-kvecx=mvecddotx$.
Dunque per ottenere l'eq. dell'oscillatore in forma scalare considero la proiezione di tali vettori lungo x.
$\-kvecx*hati=mvecddotx*hati$ ora se $\vecx$ supponiamo sia concorde con $\hati$ ossia la massa si trovi a destra dell'origine allora ho $\-kx=-mddotx$ dove il secondo membro è negativo perchè $\veca$ è discorde ad $\hati$ ora è chiaro che quella non è l'eq dell'oscillatore che si trova sui libri. Infatti otterrei $\-kx+mddotx=0$ da cui una soluzione completamente errata.
Qualcuno può dirmi perchè sbaglio?Sto impazzendo!
Risposte
"Agente47":
Salve a tutti, avrei bisogno davvero di una mano a capire una cosa, per favore.
L'argomento è banale ma come sempre il cervello si ingrippa proprio dove sembra esserci l'ovvio.
Dunque consideriamo un oscillatore armonico libero 1 grado di libertà senza smorzamento(dunque il più semplice possibile).
Il mio problema sta nel ricavare l'eq. differenziale che ci permette di ricavare la legge del moto.
Consideriamo che tale oscillatore sia in posizione orizzontale. Sia $\x$ l'asse di oscillazione, con l'origine coincidente con la posizione di equilibrio(riposo). Sia $\m$ la massa dell'oscillatore e sia $\k$ la costante elastica della molla.
Scriviamo la seconda eq della dinamica per la massa m:
$\vecF=mveca$ ora se $\vecx$ è il vettore posizione della massa, allora $\vecF$ è una forza elastica ed allora $\vecF=-kvecx$ ora è chiaro che forza e accelerazione devono essere parallele e concordi, l'eq comunque diventa
$\-kvecx=mvecddotx$.
Dunque per ottenere l'eq. dell'oscillatore in forma scalare considero la proiezione di tali vettori lungo x.
$\-kvecx*hati=mvecddotx*hati$ ora se $\vecx$ supponiamo sia concorde con $\hati$ ossia la massa si trovi a destra dell'origine allora ho $\-kx=-mddotx$ dove il secondo membro è negativo perchè $\veca$ è discorde ad $\hati$ ora è chiaro che quella non è l'eq dell'oscillatore che si trova sui libri. Infatti otterrei $\-kx+mddotx=0$ da cui una soluzione completamente errata.
Qualcuno può dirmi perchè sbaglio?Sto impazzendo!
Consideriamo $\vecx$ parallelo e concorde a $\hati$. L'unica forza agente sull'oscillatore è quella di richiamo della molla \(F=-kx\); per cui $\m ddotx=-kx$ dove il segno meno è dovuto al fatto che spostamento dalla posizione di equilibrio ed accelerazione hanno segno opposto (se l'oscillatore si trova "a destra" della posizione di equilibrio, la forza di richiamo tende a farlo muovere "verso sinistra"), da cui $\m ddotx+kx=0$.
Il fatto che accelerazione e spostamento abbiano segni opposti è una caratteristica propria del moto armonico.
Grazie per la risposta.
Sì, detto così ci sono.
Ma mi chiedo perchè seguendo il mio ragionamento, facendo cioè ricorso al rigore matematico non ottengo lo stesso risultato?
Cioè l'equazione della dinamica è un'equazione vettoriale. Passare alla forma scalare avviene mediante un prodotto scalare.
Mi sembra ovvio che l'errore stia nel considerare $\mvecddotx*hati=-mddotx$ ma dovrei scrivere $\mvecddotx*hati=mddotx$ , cioè considerare la lunghezza orientata di $\vecddotx$ su x comunque positiva. Perchè?
Grazie
Sì, detto così ci sono.
Ma mi chiedo perchè seguendo il mio ragionamento, facendo cioè ricorso al rigore matematico non ottengo lo stesso risultato?
Cioè l'equazione della dinamica è un'equazione vettoriale. Passare alla forma scalare avviene mediante un prodotto scalare.
Mi sembra ovvio che l'errore stia nel considerare $\mvecddotx*hati=-mddotx$ ma dovrei scrivere $\mvecddotx*hati=mddotx$ , cioè considerare la lunghezza orientata di $\vecddotx$ su x comunque positiva. Perchè?
Grazie
"Agente47":
Grazie per la risposta.
Sì, detto così ci sono.
Ma mi chiedo perchè seguendo il mio ragionamento, facendo cioè ricorso al rigore matematico non ottengo lo stesso risultato?
Cioè l'equazione della dinamica è un'equazione vettoriale. Passare alla forma scalare avviene mediante un prodotto scalare.
Mi sembra ovvio che l'errore stia nel considerare $\mvecddotx*hati=-mddotx$ ma dovrei scrivere $\mvecddotx*hati=mddotx$ , cioè considerare la lunghezza orientata di $\vecddotx$ su x comunque positiva. Perchè?
Grazie
------0----m-----> asse \(x\), \(0\) posizione di equilibrio. La forza è diretta come $-hati$, lo spostamento come $hati$
$\vecF=kx(-hati)=-kxhati$ Lo spostamento è concorde ad $hati$, dunque scalarmente
\(F=-kx\) e, sapendo che \[a=\frac{F}{m}\]
ottieni
\[a=\frac{F}{m}=\frac{-k}{m}x=-\omega^2x\]
dunque accelerazione e spostamento hanno segno opposto. Considerando $a=\ddotx$ e facendo due conti ottieni $\ddotx+\omega^2x=0$.
Grazie.
Resta ancora qualche dubbio, ma ora rifletterò bene su quanto hai scritto.
Grazie ancora.
Resta ancora qualche dubbio, ma ora rifletterò bene su quanto hai scritto.
Grazie ancora.
"Agente47":
Grazie.
Resta ancora qualche dubbio, ma ora rifletterò bene su quanto hai scritto.
Grazie ancora.
Puoi trovarle spiegate bene sul Mazzoldi queste cose. Forse l'unica spiegata bene.
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