Oscillatore armonico
Salve a tutti, dopo aver dato analisi II, ho deciso di riprendere le vecchie equazioni del'oscillatore armonico che avevo studiato in fisica 1. Al tempo non ero mai riuscito a capire come sbucassero fuori e mi è sempre rimasto questo dubbietto.
Ora con le equazioni differenziali credo non dovrebbe risultare difficile, ma ho provato a fare i calcoli e la formula non mi viene come dovrebbe.
Innanzitutto considero una molla con costante elastica $k$ appesa con un'estremità ad un "soffitto", fisso l'asse $y$ verticale orientata verso l'alto e pongo lo zero all'altezza dell'estremità inferiore della molla.
Poi appendo un blocco di massa $m$ all'estremità inferiore alla molla (che si allungherà fino all'equilibrio).
La molla in seguito viene tesa fino ad un'altezza $y_0$ (con il blocco fermo), e rilasciata lasciando oscillare liberamente il sistema.
Si suppongono resistenza dell'aria e peso della molla trascurabili, ed oscillazioni solo lungo l'asse $y$.
Dalla risultante delle forze determino il problema di Cauchy:
$\{(m ddot y(t) + ky(t)=-mg),(y(0)=y_0),(dot y(0)=0):}$
Risolvo l'omogenea, determino la soluzione particolare con il metodo rapido (mi sembra lo chiamino metodo della variazione della costante, ma non ne sono sicuro), ed infine determino le due costanti dal problema. Tutta la parte dipendente dal seno va via perchè moltiplicata per una costante nulla, e resta:
$y(t)=(y_0+(mg)/k)"cos"(t*(k/m)^(1/2))-(mg)/k$
Ora non capisco se c'è qualche raccoglimento particolare da fare, oppure se sono io che ho sbagliato i calcoli, perchè questa non è l'equazione che di solito si studia per l'oscillatore armonico
Ora con le equazioni differenziali credo non dovrebbe risultare difficile, ma ho provato a fare i calcoli e la formula non mi viene come dovrebbe.
Innanzitutto considero una molla con costante elastica $k$ appesa con un'estremità ad un "soffitto", fisso l'asse $y$ verticale orientata verso l'alto e pongo lo zero all'altezza dell'estremità inferiore della molla.
Poi appendo un blocco di massa $m$ all'estremità inferiore alla molla (che si allungherà fino all'equilibrio).
La molla in seguito viene tesa fino ad un'altezza $y_0$ (con il blocco fermo), e rilasciata lasciando oscillare liberamente il sistema.
Si suppongono resistenza dell'aria e peso della molla trascurabili, ed oscillazioni solo lungo l'asse $y$.
Dalla risultante delle forze determino il problema di Cauchy:
$\{(m ddot y(t) + ky(t)=-mg),(y(0)=y_0),(dot y(0)=0):}$
Risolvo l'omogenea, determino la soluzione particolare con il metodo rapido (mi sembra lo chiamino metodo della variazione della costante, ma non ne sono sicuro), ed infine determino le due costanti dal problema. Tutta la parte dipendente dal seno va via perchè moltiplicata per una costante nulla, e resta:
$y(t)=(y_0+(mg)/k)"cos"(t*(k/m)^(1/2))-(mg)/k$
Ora non capisco se c'è qualche raccoglimento particolare da fare, oppure se sono io che ho sbagliato i calcoli, perchè questa non è l'equazione che di solito si studia per l'oscillatore armonico
Risposte
ciao....anche la tua equazione è giusta, va solo modellata nel modo giusto per ottenere quella che di solito vedi come
[tex]x(t)=A\sin(\omega t+\phi)[/tex]
l'equazione differenziale (dividendo per m) è del tipo:
[tex]\frac{d^2y}{dt^2}+\frac{k}{m}y=-g[/tex]
chiami [tex]\omega^2=\frac{k}{m}[/tex]
a questo punto devi risolvere l'eq caratteristica trovandoti un equazione del tipo:
[tex]y(t)=c_1\sin(\omega t)+c_2\sin(\omega t)[/tex]
Ora puoi fare alcune considerazioni per modellare quest'equazione e trovarti esattamente quella famosa:
infatti puoi vedere che se effettui il seguente raccoglimento:
[tex]\sqrt{c_1^2+c_2^2}[\frac{c_1}{\sqrt{c_1^2+c_2^2}}\sin(\omega t)+\frac{c_2}{\sqrt{c_1^2+c_2^2}}\cos(\omega t)][/tex]
noti che le quantità entro la parentesi quadra che moltipolicano i seni e coseni, sono comprese fra -1 ed 1
in più hanno somma dei quadrati unitaria.
Infatti:
[tex]\left[\frac{c_1}{\sqrt{c_1^2+c_2^2}}\right]^2+\left[\frac{c_2}{\sqrt{c_1^2+c_2^2}}\right]^2=1[/tex]
Allora puoi considerare queste quantità come il seno e coseno di uno stesso angolo [tex]\phi[/tex] in questo modo:
[tex]\sin\phi=\frac{c_1}{\sqrt{c_1^2+c_2^2}}[/tex] e [tex]\cos\phi=-\frac{c_2}{\sqrt{c_1^2+c_2^2}}[/tex]
chiamando [tex]A=\frac{c_1}{\sqrt{c_1^2+c_2^2}}\right[/tex] ottieni:
[tex]y(t)=A[\cos(\omega t)\sin\phi-\sin(\omega t)\cos\phi][/tex]
che per le proprietà goniometriche delle funzioni seno e coseno puoi ridurre il tutto a:
[tex]y(t)=A\cos(\omega t +\phi)[/tex]
e nel tuo caso, avendo la condizione:
[tex]y(t)=A\cos(\omega t +\phi)-\frac{mg}{k}[/tex]
ciao
[tex]x(t)=A\sin(\omega t+\phi)[/tex]
l'equazione differenziale (dividendo per m) è del tipo:
[tex]\frac{d^2y}{dt^2}+\frac{k}{m}y=-g[/tex]
chiami [tex]\omega^2=\frac{k}{m}[/tex]
a questo punto devi risolvere l'eq caratteristica trovandoti un equazione del tipo:
[tex]y(t)=c_1\sin(\omega t)+c_2\sin(\omega t)[/tex]
Ora puoi fare alcune considerazioni per modellare quest'equazione e trovarti esattamente quella famosa:
infatti puoi vedere che se effettui il seguente raccoglimento:
[tex]\sqrt{c_1^2+c_2^2}[\frac{c_1}{\sqrt{c_1^2+c_2^2}}\sin(\omega t)+\frac{c_2}{\sqrt{c_1^2+c_2^2}}\cos(\omega t)][/tex]
noti che le quantità entro la parentesi quadra che moltipolicano i seni e coseni, sono comprese fra -1 ed 1
in più hanno somma dei quadrati unitaria.
Infatti:
[tex]\left[\frac{c_1}{\sqrt{c_1^2+c_2^2}}\right]^2+\left[\frac{c_2}{\sqrt{c_1^2+c_2^2}}\right]^2=1[/tex]
Allora puoi considerare queste quantità come il seno e coseno di uno stesso angolo [tex]\phi[/tex] in questo modo:
[tex]\sin\phi=\frac{c_1}{\sqrt{c_1^2+c_2^2}}[/tex] e [tex]\cos\phi=-\frac{c_2}{\sqrt{c_1^2+c_2^2}}[/tex]
chiamando [tex]A=\frac{c_1}{\sqrt{c_1^2+c_2^2}}\right[/tex] ottieni:
[tex]y(t)=A[\cos(\omega t)\sin\phi-\sin(\omega t)\cos\phi][/tex]
che per le proprietà goniometriche delle funzioni seno e coseno puoi ridurre il tutto a:
[tex]y(t)=A\cos(\omega t +\phi)[/tex]
e nel tuo caso, avendo la condizione:
[tex]y(t)=A\cos(\omega t +\phi)-\frac{mg}{k}[/tex]
ciao
chiamando [tex]A=\frac{c_1}{\sqrt{c_1^2+c_2^2}}\right[/tex]
intendi forse [tex]A=\sqrt{c_1^2+c_2^2}[/tex] ?
Avevo pensato anch'io alle somme di seni e coseni, ma il tuo procedimento è semplicemente geniale, in particolare però non capisco come fai a dire che [tex]-\frac{c_2}{\sqrt{c_1^2+c_2^2}}\right[/tex] è proprio il coseno dell'angolo fi, e non magari il seno?
Comunque in compenso ho capito come mai in fisica 1 non si fa la risoluzione analitica del problema
Puoi considerare c1 e c2 come i cateti di un triangolo rettangolo, che sottendono al centro un angolo fi (potresti ad es. trovarti il triangolo nel 2° quadrante, in modo che il seno dell'angolo è positivo mentre il coseno è negativo).
Comunque è lo stesso quale consideri seno o coseno, l'importante è proprio arrivare alla forma
[tex]\cos(\omega t)\sin\phi-\sin(\omega t)\cos\phi[/tex]
in modo che poi con le proprietà degli angoli arrivi a quella forma nota.
ciao
Comunque è lo stesso quale consideri seno o coseno, l'importante è proprio arrivare alla forma
[tex]\cos(\omega t)\sin\phi-\sin(\omega t)\cos\phi[/tex]
in modo che poi con le proprietà degli angoli arrivi a quella forma nota.
ciao
"anonymous_ed8f11":
intendi forse [tex]A=\sqrt{c_1^2+c_2^2}[/tex] ?
esatto!
Sono due giorni che ci ragiono su, e con difficoltà ma sto capendo... ma toglimi una curiosità, sotto a questo procedimento c'è qualche cosa di matematica che in analisi 2 non si fa, oppure può essere semplificato con metodi più avanzati?
nessun metodo avanzato, solo la deduzione logica che manipolando un'espressione goniometrica si può semplificare in quel modo....il ragionamento deriva sostanzialmente prendendo in considerazione le proprietà degli angoli e le formule di addizione
Ah ok, ho capito!
ti ringrazio ancora delle spiegazioni
ti ringrazio ancora delle spiegazioni
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