Oscillatore armonico
Si consideri un'oscillatore armonico di massa $m$ e pulsazione $w$
1) determinare l'energia dello stato fondamentale e degli stati eccitati
2)determinare la probabilità che una misura di energia restituisca il valore $E=E_1$
per quanto riguarda la 1 io so che $E_n=h/(2pi)w(n+1/2)$ e quindi i valori dello stato fondamentale lo ottengo per $n=0$ mentre per gli stati eccitati li ottengo al crescere di $n$
per quanto riguarda la 2 ho avuto un po di difficoltà, ho fatto in questo modo ma non so se sia giusto
$ = \int_0^infty E p(E)dE$ e so che $p(E)=1/Ze^(E_1/(k_BT))$ il valore $Z$ lo ottengo imponendo che l'integrale di $p(E)$ sia uguale a 1 e dovrebbe essere uguale a $k_BT$
andando a sostituire all'interno dell'integrale iniziale ottengo $ =\int_0^infty E/(k_BT)e^(E/(k_BT))dE$
che mi restituisce $k_BT$
confrontandomi con altri colleghi mi trovo in maniera diversa: per trovarsi $Z$ hanno imposto una sommatoria invece dell'integrale e il valore di $ = E_0 + ((h/(2pi)w)/(e^((h/(2pi)w)/(k_BT))+1))$
Mi potete chiarire quale delle due strade sia corretta sempre che effettivamente una delle due lo sia
grazie
1) determinare l'energia dello stato fondamentale e degli stati eccitati
2)determinare la probabilità che una misura di energia restituisca il valore $E=E_1$
per quanto riguarda la 1 io so che $E_n=h/(2pi)w(n+1/2)$ e quindi i valori dello stato fondamentale lo ottengo per $n=0$ mentre per gli stati eccitati li ottengo al crescere di $n$
per quanto riguarda la 2 ho avuto un po di difficoltà, ho fatto in questo modo ma non so se sia giusto
$
andando a sostituire all'interno dell'integrale iniziale ottengo $
che mi restituisce $k_BT$
confrontandomi con altri colleghi mi trovo in maniera diversa: per trovarsi $Z$ hanno imposto una sommatoria invece dell'integrale e il valore di $
Mi potete chiarire quale delle due strade sia corretta sempre che effettivamente una delle due lo sia
grazie
Risposte
Non ho controllato i conti, ma sicuramente il procedimento con la sommatoria è quello corretto dato che gli autovalori dell'energia dell'oscillatore armonico quantistico sono discreti.
Di fatto, il conto che hai fatto è valido nel limite classico.
Di fatto, il conto che hai fatto è valido nel limite classico.
Effettivamente non mi torna la soluzione che posti (quella con la sommatoria), nel limite di $T \rightarrow +\infty$ dovresti recuperare il risultato classico $E = k_b T$ ma qui se vedo bene tende a una costante ...
Oltretutto, il fattore di boltzmann dovrebbe avere un segno meno, altrimenti come puoi normalizzare la distribuzione di probabilità?
Oltretutto, il fattore di boltzmann dovrebbe avere un segno meno, altrimenti come puoi normalizzare la distribuzione di probabilità?
mi trovo perfettamente con la questione segno meno...quindi ricapitolando è giusto farlo con la sommatoria ma mi dovrei trovare il risultato classico $k_BT$
io avevo fatto con l'integrale proprio perchè ho considerato di ricadere nel caso classico avendo la massa
io avevo fatto con l'integrale proprio perchè ho considerato di ricadere nel caso classico avendo la massa
Il procedimento con la sommatoria è lo stesso: sostituisci l'integrale con la sommatoria, il termine n-esimo della somma è il prodotto $p_n$ (prob di trovarsi nello stato con energia $E_n$) moltiplicato per $E_n$, la somma corre da zero ad infinito ... Si tratta di calcolarsi qualche serie, ma alla fine si arriva al risultato ...
Se hai bisogno di conferme, scrivi il tuo procedimento
Se hai bisogno di conferme, scrivi il tuo procedimento
ma dato che mi dice che ho la massa non devo considerare l'oscillatore come calssico?
Prima di rispondere alla tua domanda .. noto che c'è stato un piccolo fraintendimento - cioé ho letto il tuo svolgimento senza concentrarmi troppo sul testo del problema. Sicuramente entrambi gli svolgimenti del punto 2 sono errati: la richiesta del problema è una probabilità, mentre entrambi calcolano un risultato che dimensionalmente è un'energia.
Sicuro che il testo del problema che hai postato sia corretto? Mi pare strano che due svolgimenti diversi (il tuo e quello dei tuoi compagni) non calcolino quanto il problema richiede.
Qui in realtà ho dato per scontato - dato lo svolgimento - che questa probabilità sia relativa ad un sistema all'equilibrio ad una temperatura T, ma il testo che riporti non lo dice esplicitamente. Se non fosse così, il testo avrebbe dovuto scrivere lo stato del sistema sul quale esegui la misura.
Assumendo che la richiesta del problema sia la prima, quello che ti chiede è semplicemente
$$
p_{1} = \frac{e^{-\frac{3}{2}\frac{\hbar\omega}{k_B T}}}{Z}
$$
dove Z è il fattore di normalizzazione
$$Z = \sum_{n = 0}^{+\infty}e^{-\frac{\hbar\omega}{k_B T}(n + \frac{1}{2})}$$
il fatto che tu abbia una massa come dato non implica che tu debba eseguire il calcolo classico ... dopotutto, anche un oscillatore armonico quantistico possiede una massa. Il cosa fare dovrebbe essere un dato del problema, ma dato che al punto precedente chiede le energie dell'oscillatore armonico quantistico, mi sembra più probabile che nel punto seguente si debba applicare la trattazione quantistica.
Sicuro che il testo del problema che hai postato sia corretto? Mi pare strano che due svolgimenti diversi (il tuo e quello dei tuoi compagni) non calcolino quanto il problema richiede.
Qui in realtà ho dato per scontato - dato lo svolgimento - che questa probabilità sia relativa ad un sistema all'equilibrio ad una temperatura T, ma il testo che riporti non lo dice esplicitamente. Se non fosse così, il testo avrebbe dovuto scrivere lo stato del sistema sul quale esegui la misura.
Assumendo che la richiesta del problema sia la prima, quello che ti chiede è semplicemente
$$
p_{1} = \frac{e^{-\frac{3}{2}\frac{\hbar\omega}{k_B T}}}{Z}
$$
dove Z è il fattore di normalizzazione
$$Z = \sum_{n = 0}^{+\infty}e^{-\frac{\hbar\omega}{k_B T}(n + \frac{1}{2})}$$
"lepre561":
ma dato che mi dice che ho la massa non devo considerare l'oscillatore come calssico?
il fatto che tu abbia una massa come dato non implica che tu debba eseguire il calcolo classico ... dopotutto, anche un oscillatore armonico quantistico possiede una massa. Il cosa fare dovrebbe essere un dato del problema, ma dato che al punto precedente chiede le energie dell'oscillatore armonico quantistico, mi sembra più probabile che nel punto seguente si debba applicare la trattazione quantistica.
Quindi quello che ho calcolato io sarebbe il valore atteso di $E$?
"lepre561":
Quindi quello che ho calcolato io sarebbe il valore atteso di $E$?
sì
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