Oscillatore armonico
Si consideri un oscillatore di massa $m$ e pulsazione $w$. Usando esclusivamente il principio di Heisenberg e ragioni di simmetria, stimare:
a)l'energia dello stato fondamentale;
b) la deviazione standard di x;
c) il valore atteso di P;
d) la deviazione standard di P;
per quanto riguarda il punto a so che $E_n=h/(2pi)w(n+1/2)$ che per $n=0$ ottengo $E_n=h/(4pi)w$
siccome l'esercizio mi dice di utilizzare solo heinseberg io ho pensato di rispondere al punto b con
$DeltapDeltax>=h/(4pi)$ quindi $Deltax>=h/((Deltap)(4pi))$
Invertendo la formula mi calcolerei anche la deviazione di standard di $p$
E' giusto fino ad ora e avete qualche suggerimento per il punti c?
grazie per i suggerimenti
a)l'energia dello stato fondamentale;
b) la deviazione standard di x;
c) il valore atteso di P;
d) la deviazione standard di P;
per quanto riguarda il punto a so che $E_n=h/(2pi)w(n+1/2)$ che per $n=0$ ottengo $E_n=h/(4pi)w$
siccome l'esercizio mi dice di utilizzare solo heinseberg io ho pensato di rispondere al punto b con
$DeltapDeltax>=h/(4pi)$ quindi $Deltax>=h/((Deltap)(4pi))$
Invertendo la formula mi calcolerei anche la deviazione di standard di $p$
E' giusto fino ad ora e avete qualche suggerimento per il punti c?
grazie per i suggerimenti
Risposte
avete qualche suggerimento per il punti c?
Gli autostati dell'oscillatore armonico 1D sono autostati anche dell'operatore parità - e quindi sono pari o dispari.
In particolare, lo stato fondamentale è pari. Sotto parità, l'operatore impulso è dispari, cioé $\mathcal{P}p\mathcal{P}= -p$ per cui cosa accade al valore di aspettazione dell'impulso calcolato su stati a parità definita?
per quanto riguarda la risoluzione del secondo punto mi sembra un ragionamento una tantino circolare, cioé per intenderci quanto varrebbe $\Delta p$?
"Lampo1089":avete qualche suggerimento per il punti c?
Gli autostati dell'oscillatore armonico 1D sono autostati anche dell'operatore parità - e quindi sono pari o dispari.
In particolare, lo stato fondamentale è pari. Sotto parità, l'operatore impulso è dispari, cioé $\mathcal{P}p\mathcal{P}= -p$ per cui cosa accade al valore di aspettazione dell'impulso calcolato su stati a parità definita?
per quanto riguarda la risoluzione del secondo punto mi sembra un ragionamento una tantino circolare, cioé per intenderci quanto varrebbe $\Delta p$?
ti ringrazio per la risposta per quanto riguarda $Deltap$ scriverei $Deltap=h/((4pi)(Deltax))$
Per quanto riguarda il punto c non ho ben capito il tuo suggerimento in quanto mi sembra qualcosa che non abbia affrontato durante il corso
Avrei risolto così:
L'hamiltoniana è: $ H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}m \omega^2 x^2 $
e il principio di indeterminazione applicato su uno stato generico (espresso in termini di varianze $\Delta^2 x = \langle(x - \langle x\rangle)^2\rangle$) fornisce la stima (uso la costante di planck ridotta 'h tagliato' per non portarsi dietro fattori 2Pi espliciti):
$$ (\Delta^2 x)_{\psi} (\Delta^2 p)_{\psi} \approx \frac{\hbar^2}{4}$$
ho sostituito il segno di maggiore uguale con circa uguale, ma siccome il problema chiede aspettazioni calcolate sullo stato fondamentale la relazione vale con il simbolo di uguale dato che lo stato fondamentale dell'oscillatore armonico è uno stato a minima indeterminazione - per cui il principio di indeterminazione di Heisenberg vale come uguaglianza stretta.
Il valore di aspettazione di $H$ in un generico stato $\psi$ è:
$$ \langle H \rangle_{\psi} = \frac{\langle p^2\rangle_{\psi}}{2m} + \frac{1}{2}m \omega^2 \langle x^2\rangle_{\psi} $$
Alcune considerazioni preliminari (che risolvono anche alcuni punti).
1) Trattandosi di un problema unidimensionale, lo spettro di $H$ è non degenere. L'operatore parità $\mathcal{P}$ commuta con l'hamiltoniana poiché il potenziale è una funzione pari delle coordinate, di conseguenza una base di autostati di $H$ sono anche autostati di parità. Di conseguenza, lo stato fondamentale è un autostato di parità con autovalore 1.
$$ \mathcal{P}|0\rangle =|0\rangle $$
2) Qual è l'aspettazione dell'operatore posizione sullo stato fondamentale? Se esprimi questa aspettazione nello spazio delle posizioni otterresti ($\psi_0(x)$ è la funzione d'onda dello stato fondamentale nella rappresentazione delle coordinate):
$$ \int_{-\infty}^{+\infty} x |\psi_0(x)|^2 dx$$
ossia l'integrale della funzione dispari $ x |\psi_0(x)|^2$ su un dominio pari: di conseguenza, $\langle x \rangle_{0} = 0$. Simile ragionamento vale per ottenere $\langle p \rangle_{0} = 0$.
Con questo risultato si ottiene, in particolare per lo stato fondamentale:
$$
(\Delta^2 x)_0 = \langle(x - \langle x \rangle_{0})^2\rangle_{0} = \langle x^2 \rangle_{0}
$$
$$
(\Delta^2 p)_0 = \langle p^2 \rangle_0
$$
e quindi il principio di indeterminazione diventa:
$$ \langle x^2 \rangle_0 \langle p^2 \rangle_0 \approx \frac{\hbar^2}{4}$$
a) Il tuo risultato è corretto ma utilizzi esplicitamente la conoscenza degli autovalori dell'energia. Un altro modo che usa solo il principio di indeterminazione: puoi calcolare l'aspettazione dell'hamiltoniana nello stato fondamentale e sostituire $\langle p^2 \rangle_{0}$ con la stima proveniente dal principio di indeterminazione:
$$ \langle H \rangle_0 = \frac{\hbar^2}{8m \langle x^2 \rangle_0} + \frac{1}{2}m \omega^2 \langle x^2\rangle_0 $$
e calcolarne il minimo che risulta pari a $$\hbar \frac{\omega}{2}$$ ed è raggiunto per
$$\langle x^2 \rangle_0 = \frac{\hbar}{2 m \omega} $$
b) Al punto precedente si è calcolato $\langle x^2 \rangle_0 = (\Delta^2 x)_0$, per cui la deviazione standard $(\Delta x)_0$ è:
$$(\Delta x)_0 = \sqrt{\frac{\hbar}{2 m \omega}}$$
c) come detto prima, $\langle p \rangle_0 = 0$
d) si ottiene $\langle p^2 \rangle_0$ dal principio di indeterminazione sfruttando il fatto che $\langle x^2 \rangle_0$ è noto:
$$\langle p^2 \rangle_0 = \frac{\hbar^2}{4} \frac{2 m \omega}{\hbar} = \frac{\hbar m \omega}{2}$$
per cui:
$$(\Delta p)_0 = \sqrt{\frac{\hbar m \omega}{2}}$$
L'hamiltoniana è: $ H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}m \omega^2 x^2 $
e il principio di indeterminazione applicato su uno stato generico (espresso in termini di varianze $\Delta^2 x = \langle(x - \langle x\rangle)^2\rangle$) fornisce la stima (uso la costante di planck ridotta 'h tagliato' per non portarsi dietro fattori 2Pi espliciti):
$$ (\Delta^2 x)_{\psi} (\Delta^2 p)_{\psi} \approx \frac{\hbar^2}{4}$$
ho sostituito il segno di maggiore uguale con circa uguale, ma siccome il problema chiede aspettazioni calcolate sullo stato fondamentale la relazione vale con il simbolo di uguale dato che lo stato fondamentale dell'oscillatore armonico è uno stato a minima indeterminazione - per cui il principio di indeterminazione di Heisenberg vale come uguaglianza stretta.
Il valore di aspettazione di $H$ in un generico stato $\psi$ è:
$$ \langle H \rangle_{\psi} = \frac{\langle p^2\rangle_{\psi}}{2m} + \frac{1}{2}m \omega^2 \langle x^2\rangle_{\psi} $$
Alcune considerazioni preliminari (che risolvono anche alcuni punti).
1) Trattandosi di un problema unidimensionale, lo spettro di $H$ è non degenere. L'operatore parità $\mathcal{P}$ commuta con l'hamiltoniana poiché il potenziale è una funzione pari delle coordinate, di conseguenza una base di autostati di $H$ sono anche autostati di parità. Di conseguenza, lo stato fondamentale è un autostato di parità con autovalore 1.
$$ \mathcal{P}|0\rangle =|0\rangle $$
2) Qual è l'aspettazione dell'operatore posizione sullo stato fondamentale? Se esprimi questa aspettazione nello spazio delle posizioni otterresti ($\psi_0(x)$ è la funzione d'onda dello stato fondamentale nella rappresentazione delle coordinate):
$$ \int_{-\infty}^{+\infty} x |\psi_0(x)|^2 dx$$
ossia l'integrale della funzione dispari $ x |\psi_0(x)|^2$ su un dominio pari: di conseguenza, $\langle x \rangle_{0} = 0$. Simile ragionamento vale per ottenere $\langle p \rangle_{0} = 0$.
Con questo risultato si ottiene, in particolare per lo stato fondamentale:
$$
(\Delta^2 x)_0 = \langle(x - \langle x \rangle_{0})^2\rangle_{0} = \langle x^2 \rangle_{0}
$$
$$
(\Delta^2 p)_0 = \langle p^2 \rangle_0
$$
e quindi il principio di indeterminazione diventa:
$$ \langle x^2 \rangle_0 \langle p^2 \rangle_0 \approx \frac{\hbar^2}{4}$$
a) Il tuo risultato è corretto ma utilizzi esplicitamente la conoscenza degli autovalori dell'energia. Un altro modo che usa solo il principio di indeterminazione: puoi calcolare l'aspettazione dell'hamiltoniana nello stato fondamentale e sostituire $\langle p^2 \rangle_{0}$ con la stima proveniente dal principio di indeterminazione:
$$ \langle H \rangle_0 = \frac{\hbar^2}{8m \langle x^2 \rangle_0} + \frac{1}{2}m \omega^2 \langle x^2\rangle_0 $$
e calcolarne il minimo che risulta pari a $$\hbar \frac{\omega}{2}$$ ed è raggiunto per
$$\langle x^2 \rangle_0 = \frac{\hbar}{2 m \omega} $$
b) Al punto precedente si è calcolato $\langle x^2 \rangle_0 = (\Delta^2 x)_0$, per cui la deviazione standard $(\Delta x)_0$ è:
$$(\Delta x)_0 = \sqrt{\frac{\hbar}{2 m \omega}}$$
c) come detto prima, $\langle p \rangle_0 = 0$
d) si ottiene $\langle p^2 \rangle_0$ dal principio di indeterminazione sfruttando il fatto che $\langle x^2 \rangle_0$ è noto:
$$\langle p^2 \rangle_0 = \frac{\hbar^2}{4} \frac{2 m \omega}{\hbar} = \frac{\hbar m \omega}{2}$$
per cui:
$$(\Delta p)_0 = \sqrt{\frac{\hbar m \omega}{2}}$$
ringrazio per la risposta ma molte delle cose hai citato durante il corso non le ho mai affronatate. Quindi mi chiedo se la mia risoluzione fosse totalmente sbagliata oppure sia giusta ma ovviamente molto più superficiale della tua risoluzione?
Dal mio punto di vista, nel punto a) la soluzione che dai è corretta ma sfrutti la conoscenza degli autovalori dell'energia - di fatto non stai rispettando le consegne dell'esercizio che ti dicono di sfruttare solo principio di indeterminazione e simmetrie.
Per il punto b), invece, ribadisco che secondo me stai usando un ragionamento circolare: da quello che capisco ottieni una stima di $\Delta x$ in termini di $\Delta p$ - ignota fra l'altro, e per il punto successivo utilizzi la stessa relazione semplicemente invertita. Questa, secondo me, non è la risoluzione di un problema ...
Però, da quello che dici, se le cose che ho scritto (o per lo meno i punti fondamentali - ammetto di avere divagato in alcune parti) non ti sono chiare temo che tu non possa avere le conoscenze necessarie per approcciare la risoluzione del problema - semplicemente è un esercizio che non è adeguato agli obiettivi del corso che hai seguito!
Non è un corso di QM in una facoltà di Fisica, corretto?
Per il punto b), invece, ribadisco che secondo me stai usando un ragionamento circolare: da quello che capisco ottieni una stima di $\Delta x$ in termini di $\Delta p$ - ignota fra l'altro, e per il punto successivo utilizzi la stessa relazione semplicemente invertita. Questa, secondo me, non è la risoluzione di un problema ...
Però, da quello che dici, se le cose che ho scritto (o per lo meno i punti fondamentali - ammetto di avere divagato in alcune parti) non ti sono chiare temo che tu non possa avere le conoscenze necessarie per approcciare la risoluzione del problema - semplicemente è un esercizio che non è adeguato agli obiettivi del corso che hai seguito!
Non è un corso di QM in una facoltà di Fisica, corretto?
Esattamente il corso nello specifico è istituzioni di fisica della materia di ingegneria
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