Ordine di una composizione di permutazioni

[pandy1]

salve. ho un problema con le permutazioni in algebra.
devo risolvere un esercizio che mi da come permutazione z= (13472956) e x=(172394)(68) decomposizione in cicli disgiunti.
mi chiede di calcolare la (zx)^-1235 e dire se ha ordine 15 senza fare calcoli. qualcuno mi sa aiutare?! è l'unico problema che ho con sti esercizi ma mi sta facendo impazzire.

grazie in anticipo

[dissonance]

decomponi tutto in cicli disgiunti, in questo modo sai subito l'ordine della permutazione come m.c.m. delle lunghezze dei cicli.

[pandy1]

sono già decomposte in cicli disgiunti così come la loro composizione che è xz=(1245368)(97). mi serve sapere (xz) elevato alla -1235 se ha ordine 15 ma non posso stare li ed elevarla (moltiplicarla per se stessa) fino a 1235:(

[dissonance]

vabbé ma se tu conosci il periodo di xz, supponiamo che sia $n$, allora $xz^k$ oppure $xz^{k\ mod\ n}$ sono la stessa cosa!

[dissonance]

nel tuo caso:

La permutazione $xz$ è il prodotto di un 8-ciclo e di un 2-ciclo, quindi il suo ordine (o periodo, come preferisci dire) è $\text{m.c.m.}(8,2)=8$. $-1235\ mod\ 8=5$ quindi $(xz)^-1235=(xz)^5$.
Possiamo calcolare l'ordine di questa permutazione (che sicuramente non sarà 15, visto che è la potenza di una permutazione di ordine più basso) con la formula $o((xz)^5)=\frac{o(xz)}{\text{MCD}(o(xz), 5)}=o(xz)=8$.

Se non ti ricordi questa formula, usa questa osservazione: il gruppo $$ è ciclico di ordine 8, quindi è isomorfo a $(ZZ_8,+)$ e l'isomorfismo è $xz^k|->[k]$. Allora $xz^5\leftrightarrow[5]\inZZ_8$ e $5$ è relativamente primo con $8$, perciò $[5]$ è un generatore di $ZZ_8$ e quindi ha periodo 8. Questa proprietà si trasferisce a $xz^5$ mediante l'isomorfismo di prima.

fammi sapere se qualcosa non è chiaro. Ciao!

[pandy1]

ok praticamente devo trovare quel numero che è congruente modulo o(xy) a -1235 e poi usare la formula che già conoscevo ma non capivo come usare. grazie mille.

[vict85]

"pandy":salve. ho un problema con le permutazioni in algebra.
devo risolvere un esercizio che mi da come permutazione z= (13472956) e x=(172394)(68) decomposizione in cicli disgiunti.
mi chiede di calcolare la (zx)^-1235 e dire se ha ordine 15 senza fare calcoli. qualcuno mi sa aiutare?! è l'unico problema che ho con sti esercizi ma mi sta facendo impazzire.

grazie in anticipo

Sono cicli disgiunti e continueranno a esserlo dopo la moltiplicazione

$zx = (13472956)(172394)(68) = (1243568)(79)$

Dato che cicli disguinti commutano si ha che
$(alphabeta)^n = alpha^nbeta^n$ con $alpha$ e $beta$ disgiunti.

Quindi $((1243568)(79))^(-1235) = (1243568)^(-1235)(79)^(-1235)$

Dato che $(79)^(-1235) = (79)$, perché -1235 è dispari, l'ordine di $(zx)^(-1235)$ deve essere pari e 15 non lo è. Quindi la risposta è no. Inoltre avevi anche che il primo era un 7-ciclo e per la formula di dissonance qualsiasi sua potenza avrà ordine 7. Quindi in questo caso l'ordine di $(zx)^n$ con $n$ qualsiasi è sempre 14.

Puoi usare la formula di dissonance ma in questo caso non serviva affatto.

P.S: c'é scritto che non lo devi calcolare... In ogni caso per dissonance: dovresti ricontrollare i calcoli... non esistono permutazioni formate da cicli disgiunti di ordine 8 e 2 rispettivamente in $S_9$ (ci sono solamente i numeri da 1 a 9 e 8+2=10)

[pandy1]

grazie mille ad entrambi...

[dissonance]

vict85 ha ragione: ho fatto tutto in fretta, e avevo scambiato il ciclo più lungo per un 8-ciclo. E' chiaro che questo è un errore.
Avevo anche capito che ti servisse il calcolo esplicito dell'ordine di $(xz)^(-1235)$. Scusa ...
La soluzione di vict85 è molto più rapida ed elegante.

Un'alternativa è osservare che, in un gruppo qualsiasi, se un elemento ha periodo $p$, ogni sua potenza avrà per periodo un divisore di $p$ (che si può calcolare con la formula di prima). E quindi, dato che $xz$ ha periodo 14, non può essere che $xz^(-1235)$ abbia periodo 15.

"vict85":Inoltre avevi anche che il primo era un 7-ciclo e per la formula di dissonance qualsiasi sua potenza avrà ordine 7. Quindi in questo caso l'ordine di (zx)n con n qualsiasi è sempre 14.

Questo invece non riesco a capirlo. Ad esempio l'ordine di $(xz)^7$ non dovrebbe essere 2? In fondo $$ è $ZZ_14$, e non è mica vero che in $ZZ_14$ tutti gli elementi hanno periodo 14. In cosa mi sbaglio?