Orbite e forze centrali (aiuto urgente per favore:()
buonasera avrei bisogno di aiuto urgente...! So che sulle forze centrali si può parlare di energia potenziale effettiva, che sarebbe la funzione $(l^2)/(2mr^2)+U(r)$,dove l è il momento angolare, ed è sempre uguale o minore dell'energia totale, poichè la diffenreza è$1/2mr'^2$ che è sempre positivo. Per esempio il potenziale effettivo gravitazionale è $(l^2)/(2m^r^2)-k/r$ e studiando questa funzione si vede che essa ha un minimo, e il valore di r in questo minimo corrisponde al valore di r in funzione di l e m, poichè in tale punto E=U(r) e pertanto r può assumere solo un valore, ricordando sempre la condizione che $E>=U(r)$. Se si usacome strada l'eguaglianza tra forza gravitazionale e forza centrpieta per ottenere il moto circolare uniforme inoltre si giunge allo stesso risultato: $r=l^2/(m^3GM)$. Pensiamo di avere una forza centrale del tipo $-k/(r^5)$...Se uso la definizione del moto circolare uniforme ottengo una circonferenza per $r=sqrt(GMm^3)/l$ ma se studio la funzione energia potenziale effettiva (U(r) sarà $-k/(4r^4)$) come faccio a dedurre ciò da questo grafico, che è completamente diverso da quello della forza gravitazionale e non lo so interpretare??
Ancora più interessante è il caso in cui $f=-k/r^3$: se uguaglio forza centripeta e forza centrale, ottengo che se $k=(l^2)/m$, ho sempre orbite circolari purchè la velocità sia diretta perpendicolare a r ovviamente... Ecco se studio l'energia potenziale effettiva sapendo che $U(r)=-k/(2r^2)2$ ottengo la funzione $(l^2)/(2mr^2)-(l^2)/(2mr^2) = 0!!!! $ tolo l'origine... Il che significa che l'energia potenziale effettiva è la retta $Y=0$.
Da questo grafico come farei a dedurre le condizioni in cui si hanno orbite circolari???
Qualcuno mi aiutiiiiiiiiiiii AAAAAAAAHH
PS mi scuso se non ho potuto essere abbastanza chiaro mettendo anche i grafici e tutto, ma non lo so fare...forse sarebbe stato più chiaro...
cmq...AIUTOOO
Ancora più interessante è il caso in cui $f=-k/r^3$: se uguaglio forza centripeta e forza centrale, ottengo che se $k=(l^2)/m$, ho sempre orbite circolari purchè la velocità sia diretta perpendicolare a r ovviamente... Ecco se studio l'energia potenziale effettiva sapendo che $U(r)=-k/(2r^2)2$ ottengo la funzione $(l^2)/(2mr^2)-(l^2)/(2mr^2) = 0!!!! $ tolo l'origine... Il che significa che l'energia potenziale effettiva è la retta $Y=0$.
Da questo grafico come farei a dedurre le condizioni in cui si hanno orbite circolari???
Qualcuno mi aiutiiiiiiiiiiii AAAAAAAAHH
PS mi scuso se non ho potuto essere abbastanza chiaro mettendo anche i grafici e tutto, ma non lo so fare...forse sarebbe stato più chiaro...
cmq...AIUTOOO
Risposte
Non sono sicuro di aver capito il tuo problema, ma confronta i due metodi. Parlando di potenziali centrali, la forza di interazione è $-U'(r)$, dove l'apice indica la derivata. La condizione sulla forza centrifuga è $m\omega^2r=U'(r)$ (attenzione ai segni). Se consideri invece il potenziale efficace $U_{eff}(r)=\frac{j^2}{2mr^2}+U(r)$, ($j$ è il momento angolare, lasciami usare i simboli cui sono abituato) nei punti di estremo (max o min), vale la condizione $U'_{eff}(r)=0$, cioè $-\frac{j^2}{mr^3}+U'_{eff}(r)=0$. Per questi valori di $r$ si può avere un moto circolare uniforme (per considerazioni che suppongo tu abbia studiato), e $j=m\omegar^2$ (nel caso generale sarebbe $j=mr^2\dot{\phi}$, e $\dot{phi}$ potrebbe non essere costante lungo l'orbita). Sostituendo, ottieni $-m\omega^2r+U'(r)=0$, che è identica alla precedente.
In altre parole, imporre l'eguaglianza tra forza centrifuga (va bene, è un abuso di termine, ma mi consenta ...) e di attrazione o cercare un punto stazionario del potenziale efficace conduce agli stessi risultati, e, assegnato un determinato momento angolare, determinano lo stesso valore del raggio dell'orbita circolare .
Esaminiamo allora cosa succede nel formalismo del potenziale efficace nel caso $U(r)=-\frac{k}{r^2}$. In questo caso $Ueff(r)=\frac{j^2}{2mr^2}-\frac{k}{r^2}=(\frac{j^2}{2m}-k)\frac{1}{r^2}$, i.e. se scegli un momento angolare per cui $j^2=2mk$ ogni punto è stazionario e puoi avere orbite circolari per qualsiasi raggio. Nota che la condizione $j^2=2mk$ è la stessa che otterresti usando la forza centrifuga.
In termini un po' approssimativi, puoi considerare il potenziale efficace come il potenziale percepito da un osservatore posto nell'origine che ruota con velocità angolare $\omega$ (non è proprio esatto, ma rende l'idea).
Nota. Nel caso non lo ricordassi, vediamo perchè un punto stazionario del potenziale efficace può corrispondere ad un'orbita circolare. Come hai detto, si ha $T=\frac{1}{2}m\dot{r}^2=E-U_{eff}(r)$. $T$ è definita positiva o nulla, e quindi è minima quando $T=0$, e questo può valere solo se $dot{r}=0$, cioè $r$ è costante, il che corrisponde ad un'orbita circolare. Poichè $E$ è costante, $T$ può avere un minimo solo se $U_{eff}(r)$ ha un max od un min (secondo il suo segno), cioè in un punto stazionario. Inoltre, se $r$ è costante, poichè il momento angolare $j=mr^2\dot{phi}$ si conserva, deve essere costante anche $\dot{\phi}=\omega$, cioè il moto è circolare uniforme.
Una curiosità: questo è ancora programma di Fisica 1 o adesso si studia a Meccanica?
In altre parole, imporre l'eguaglianza tra forza centrifuga (va bene, è un abuso di termine, ma mi consenta ...) e di attrazione o cercare un punto stazionario del potenziale efficace conduce agli stessi risultati, e, assegnato un determinato momento angolare, determinano lo stesso valore del raggio dell'orbita circolare .
Esaminiamo allora cosa succede nel formalismo del potenziale efficace nel caso $U(r)=-\frac{k}{r^2}$. In questo caso $Ueff(r)=\frac{j^2}{2mr^2}-\frac{k}{r^2}=(\frac{j^2}{2m}-k)\frac{1}{r^2}$, i.e. se scegli un momento angolare per cui $j^2=2mk$ ogni punto è stazionario e puoi avere orbite circolari per qualsiasi raggio. Nota che la condizione $j^2=2mk$ è la stessa che otterresti usando la forza centrifuga.
In termini un po' approssimativi, puoi considerare il potenziale efficace come il potenziale percepito da un osservatore posto nell'origine che ruota con velocità angolare $\omega$ (non è proprio esatto, ma rende l'idea).
Nota. Nel caso non lo ricordassi, vediamo perchè un punto stazionario del potenziale efficace può corrispondere ad un'orbita circolare. Come hai detto, si ha $T=\frac{1}{2}m\dot{r}^2=E-U_{eff}(r)$. $T$ è definita positiva o nulla, e quindi è minima quando $T=0$, e questo può valere solo se $dot{r}=0$, cioè $r$ è costante, il che corrisponde ad un'orbita circolare. Poichè $E$ è costante, $T$ può avere un minimo solo se $U_{eff}(r)$ ha un max od un min (secondo il suo segno), cioè in un punto stazionario. Inoltre, se $r$ è costante, poichè il momento angolare $j=mr^2\dot{phi}$ si conserva, deve essere costante anche $\dot{\phi}=\omega$, cioè il moto è circolare uniforme.
Una curiosità: questo è ancora programma di Fisica 1 o adesso si studia a Meccanica?
io lo studio al secondo anno di fisica in un corso di fisica generale, perchè al primo anno ho fatto nel primo semestre meccanica newtoniana senza però le forze centrali il corpo rigido e le oscillazioni, e nel secondo elettromagnetismo nel vuoto fino a maxwell in forma integrale e qualcosa di elettrostatica nei dielettrici...
cmq la mia domanda era se era giusto quello che avevo ottenuto oppure se avevo sbagliato e quidni non avevo caipto niente...cmq il compitino era stamattina percui ormai fa nulla:-) no vabeh scherzi a parte, un alòtra domanda: se io poniamo da distanza infinita, do energia cinetica sufficinente a far sì che al punto di massimo la particella abbia $1/2mdotr^2=0$ essa si metterà a compiere una circonferenza? quindi la traiettoria pur partendo la particella dall'infinito si chiude?
cmq la mia domanda era se era giusto quello che avevo ottenuto oppure se avevo sbagliato e quidni non avevo caipto niente...cmq il compitino era stamattina percui ormai fa nulla:-) no vabeh scherzi a parte, un alòtra domanda: se io poniamo da distanza infinita, do energia cinetica sufficinente a far sì che al punto di massimo la particella abbia $1/2mdotr^2=0$ essa si metterà a compiere una circonferenza? quindi la traiettoria pur partendo la particella dall'infinito si chiude?
La condizione $\frac{1}{2}m\dot{r}^2=0$ implica che la distanza della particella dal centro non cambia, non è quindi una grandezza conveniente da trattare "all'infinito".
sì ok ma dico se faccio in modo che quella sia nulla NEL PUNTO DI MASSIMO, il che significa che all'infinito può anche essere diversa da 0, ma arriva a quel dato r nulla, può succedere quello che ho chiesto? è solo una cosa teorica chemi viene in metne, magari non è fattibile perchè va incontro ad altre cose...
Forse non avevo capito bene la domanda. Nel caso di potenziale newtoniano non è possibile (le traiettorie che vanno all'infinito sono iperboli o parabole, e nel punto di massima vicinanza, per esempio il perielio, vale comunque la condizione $\dot{r}=0$.
È invece banalmente vero per un potenziale del tipo $-\delta(r-r_0)$, a delta di Dirac, ma è difficile scrivere in questo caso un'equazione del moto della forma $m\ddot{r}=f(r)$, ed il comportamento della particella viene descritto sulla base di principi di conservazione. Nota che invece $\delta(r-r_0)$ descrive il caso di una sfera rigida.
A grandi linee mi sembra difficile che possa accadere quanto descritto per un potenziale sufficientemente buono (e che non abbia altre singolarità oltre l'origine) per scrivere un'equazione del moto sensata, per considerazioni sull'unicità della soluzione (se in un istante $t$ la particella ha posizione $\vec{r}(t)$ e velocità $\dot{\vec{r}}(t)$ che descrivono una circonferenza percorsa a velocità angolare costante come possono essere compatibili con la traiettoria percorsa negli istanti precedenti etc. etc.), o per questioni legate al cosiddetto time reversal (se invertissi il senso del tempo (ed altre cose al contorno) la particella scapperebbe da una traiettoria circolare per percorrere la traiettoria percorsa fino a quel momento)ma dovrei pensarci un po' per formularla in modo più preciso.
È invece banalmente vero per un potenziale del tipo $-\delta(r-r_0)$, a delta di Dirac, ma è difficile scrivere in questo caso un'equazione del moto della forma $m\ddot{r}=f(r)$, ed il comportamento della particella viene descritto sulla base di principi di conservazione. Nota che invece $\delta(r-r_0)$ descrive il caso di una sfera rigida.
A grandi linee mi sembra difficile che possa accadere quanto descritto per un potenziale sufficientemente buono (e che non abbia altre singolarità oltre l'origine) per scrivere un'equazione del moto sensata, per considerazioni sull'unicità della soluzione (se in un istante $t$ la particella ha posizione $\vec{r}(t)$ e velocità $\dot{\vec{r}}(t)$ che descrivono una circonferenza percorsa a velocità angolare costante come possono essere compatibili con la traiettoria percorsa negli istanti precedenti etc. etc.), o per questioni legate al cosiddetto time reversal (se invertissi il senso del tempo (ed altre cose al contorno) la particella scapperebbe da una traiettoria circolare per percorrere la traiettoria percorsa fino a quel momento)ma dovrei pensarci un po' per formularla in modo più preciso.
scusa non ho capito bene la questione del time reversal...cos'è??
Non so se nel corso di Fisica 1 o Meccanica avete già studiato le simmetrie. Il time reversal è la simmetria rispetto alla trasformazione $t->-t$, cioè se $u(t)$ è una soluzione delle equazioni del moto, allora, previe opportune trasformazioni di altre grandezze, lo è anche $u(-t)$. Non so che testo di meccanica utilizzate, se ben ricordo quelli classici in uso ... ai miei tempi (Landau, Goldstein, Arnold) ne parlavano abbastanza diffusamente. In internet si trova inoltre un'ampia bibliografia sul time reversal in meccanica classica (nella teoria quantistica, in particolare quella dei campi, è dappertutto), ma in genere su siti per cui è richiesta un'iscrizione a pagamento, forse la tua università ha un accesso. Oltre ai testi citati, che illustrano l'argomento molto meglio di quanto possa fare io, puoi consultare
Time Reversal (libero accesso, nelle prime pagine tratta il caso della meccanica classica)
Is Classical Mechanics Time Reversal Invariant? (richiesta subscription)
More on Time-Reversal Invariance in Classical Mechanics (richiesta subscription)
On the time reversal invariance of classical electromagnetic theory (libero accesso, non serve conoscere lagrangiane ed hamiltoniane ma occorre conoscere le equazioni di Maxwell e avere un po' di pratica con i formalismi geometrici).
Ma tieni conto che si tratta di considerazioni che potrebbero rivelarsi eccessive rispetto al problema posto, dipende dall'ambiente di studio in cui ti trovi (come studenti i miei compagni ed io eravamo spocchiosetti, quindi ci saremmo tuffati su cose del genere, non si sa capendo cosa, voi magari avete più buonsenso).
Time Reversal (libero accesso, nelle prime pagine tratta il caso della meccanica classica)
Is Classical Mechanics Time Reversal Invariant? (richiesta subscription)
More on Time-Reversal Invariance in Classical Mechanics (richiesta subscription)
On the time reversal invariance of classical electromagnetic theory (libero accesso, non serve conoscere lagrangiane ed hamiltoniane ma occorre conoscere le equazioni di Maxwell e avere un po' di pratica con i formalismi geometrici).
Ma tieni conto che si tratta di considerazioni che potrebbero rivelarsi eccessive rispetto al problema posto, dipende dall'ambiente di studio in cui ti trovi (come studenti i miei compagni ed io eravamo spocchiosetti, quindi ci saremmo tuffati su cose del genere, non si sa capendo cosa, voi magari avete più buonsenso).
guarda i per il corso di fisica generale 1 ho usato il mazzoldi, che non parlava di time reversal e quelle cose sulla simmetria che hai detto tu prima, ora di fisica generale 2 per questa parte di meccanica il prof ci ha dato le sue dispense, e volevndo ci ha consigliato come libro il goldstein che però è in inglese e quindi no ho mai preso, visto che cmq c'erano le dispense 
stesso discorso vale per meccanica razionale 1...quindi io quella cosa lì sui libri non l'ho mai vista...me lo aveva accennato il mio prof di fisica generale l'anno scorso una volta quando gli ho chiesto una cosa ma appunto per quanto riguarda le particelle (non ricordo che domanda gli avessi fatto), ma non pensavo si potesse usare per la meccanica classica anche...cmq grazie...
stesso discorso vale per meccanica razionale 1...quindi io quella cosa lì sui libri non l'ho mai vista...me lo aveva accennato il mio prof di fisica generale l'anno scorso una volta quando gli ho chiesto una cosa ma appunto per quanto riguarda le particelle (non ricordo che domanda gli avessi fatto), ma non pensavo si potesse usare per la meccanica classica anche...cmq grazie...
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