Orbite chiuse

[Zkeggia]

In almeno un paio di libri di testo, e in una lezione tenuta dal nostro professore si asserisce che se in un problema di piccole oscillazioni, trovo che l' equazione del moto per ciascuna coordinata scelta è in generale una somma di oscillazioni armoniche semplici di varie frequenze $w_k$, allora ogni coordinata tornerà al proprio valore iniziale se e solo se le frequenze frazioni razionali l'una dell'altra. Ovvero dato un corpo che oscilla come somma di varie oscillazioni di frequenze diverse, se le frequenze non stanno in rapporto razionale il corpo non tornerà mai nella posizione di partenza. Non riesco a dimostrarlo, penso che sia un teorema generale, qualcuno può indicarmi un modo per dimostrarlo o linkarmi qualcosa dove trovare una dimostrazione?

Ad esempio supponiamo che il mio corpo si muova sull'asse delle x seguendo una legge di questo tipo:
$x(t)=Asin(4t)+Bsin(sqrt3 t)$
allora supponendo che parta da $x=0$.
Voglio cercare un tempo $tau$ tale che $x(tau)=0$
e arrivo a scoprire che l'equazione è rispettata solo se
$sin ((4sqrt3)/3) = -B/A$

E quindi? cioè non riesco proprio a capire come dimostrarlo in un esempio, figuriamoci nel caso generale.

[Thomas16]

c'è qualcosa che non funzia nel tuo esempio... sei in un caso uni-dimensionale e stai supponendo di avere due frequenze di piccole oscillazioni

Per la dimostrazione pensa al fatto che gli autovettori sono indipendenti...

[Zkeggia]

Ok forse ho capito il senso:
Nel sistema di riferimento delle coordinate normali ho praticamente gli autovettori come assi cartesiani. In quel sistema le equazioni del moto diventano un sistema di moti armonici semplici, con le frequenze $omega$ non commensurabili tra di loro. In pratica avrei:

$x_1(t) = Ca_1 e^(-iw_1t)$
.
.
.
$x_n(t) = Ca_n e^(-iw_nt)$

ora se io so che le $x_0(0) = 0$ e cerco un tempo $t_1$ in cui si abbia la solita configurazione cosa ottengo? L'idea è arrivare a una contraddizione, ponendo per esempio che se $x_1(t) = Acos(w_1t)$
allora il moto tornerà nella posizione originale dopo un tempo $t = 2kpi/w_1$, con $kinN$. Ma in questo caso succede che le altre coordinate non sono di nuovo nella posizione iniziale, proprio perché sono incommensurabili. Per esempio se arrivo a dire che:
$t_1 = 2kpi/w_1$
$t_1 = 2ppi/w_2$ con k e p appartenenti a $N$
ottengo uguagliando

$2kpi/w_1= 2rpi/w_2 -> w_1/w_2 = k/p$ ma questo è impossibile.

So che è molto confusionario ma sto cercando di renderlo più formale, qualche suggerimento?

[Thomas16]

l'idea è quella...

come si formalizza dipende dalle conoscenze di geometria e dalla propria sensibilità

(per esempio a me non piace che dici x_0=0 che è fissi solo una coordinata? quale è "la solita configurazione"? è evidente cosa sono le x_i?)


io se fossi in te mi considerei soddisfatto visto che l'idea c'è, fiducioso del fatto che standoci un po' riuscirei a formalizzare bene (ci vuole un po' per me)...

se pensi di non essere in grado di farlo e vorresti farlo, guarda con pazienza un libro di geometria... (guarda il teorema spettrale per esempio) e cerca di collegare quel formalismo a questo problema in cui intervengono equazioni differenziali...

ciao