Operatori differenziali su vettori
Il Prof ha assegnato un problema riguardante il campo vettoriale momento M(X) di polo X di una sollecitazione f con 3 domande.
Io penso di aver risolto le prime due ma non riesco a rispondere alla terza .
Potete aiutarmi ?
Trovate tutto, sia la mia soluzione delle prime due, sia il testo dell'esercizio , nell'immagine che vi allego:
https://imgur.com/a/SKx4hha
Grazie moltissimo.
Saluto tutti.
Io penso di aver risolto le prime due ma non riesco a rispondere alla terza .
Potete aiutarmi ?
Trovate tutto, sia la mia soluzione delle prime due, sia il testo dell'esercizio , nell'immagine che vi allego:
https://imgur.com/a/SKx4hha
Grazie moltissimo.
Saluto tutti.
Risposte
Non mi convince tanto la prima risposta. Chi ti dice che il momento del sistema di forze sia uguale al momento della risultante?
Alla prima domanda si risponde in modo molto elegante sapendo come si distribuisce il campo dei momenti attorno all'asse centrale e ricordando la relazione tra rotore di un campo vettoriale e velocità angolare locale di un campo di vettori.
Grazie mille per le risposte.
A questo punto però non so proprio come procedere, il testo dell'esercizio è quello che ho riportato e non dice nulla di più.
Potrei gentilmente avere qualche delucidazione aggiuntiva?
Grazie mille di nuovo.
Ciao.
A questo punto però non so proprio come procedere, il testo dell'esercizio è quello che ho riportato e non dice nulla di più.
Potrei gentilmente avere qualche delucidazione aggiuntiva?
Grazie mille di nuovo.
Ciao.
Prendi un campo vettoriale $x->u(x)$, dato un punto x, se si vuole valutare l'andamento del campo nei punti y vicini a x si approssima al primo ordine con taylor:
$u(y)=u(x)+nablau(x)(y-x)$
Il gradiente $nablau(x)$ si può scomporre in una parte simmetrica e una antisimmetrica $nablau=Omega+D$. dove
$Omega=1/2(nablau-nablau^T)$ è il tensore di rotazione locale e $D=1/2(nablau+nablau^T)$ è il tensore di deformazione locale.
Il tensore di rotazione locale è antisimmetrico e ammette un vettore assiale $q$, detto velocità angolare, tale che:
$Omega(y-x)=q xx (y-x)$, si può dimostrare che $q=1/2nabla xx u$.
Supponiamo quindi che localmente un campo ruoti soltanto e non si deformi, allora:
$u(y)=u(x)+1/2 nabla xx u(y-x)$.
Consideriamo allora la legge di cambiamento di polo del momento di un sistema di vettori di risultante R:
$M(P)=M(O)+R xx (P-O)$
Dove P e O sono due punti qualsiasi. E' facile allora ricondurre questa relazione con la precedente, identificando quindi $R=1/2 nabla xx u$.
In pratica la relazione precedente ci dice che il campo dei momenti ruota attorno a qualcosa, questo qualcosa è l'asse centrale del sistema di vettori.
$u(y)=u(x)+nablau(x)(y-x)$
Il gradiente $nablau(x)$ si può scomporre in una parte simmetrica e una antisimmetrica $nablau=Omega+D$. dove
$Omega=1/2(nablau-nablau^T)$ è il tensore di rotazione locale e $D=1/2(nablau+nablau^T)$ è il tensore di deformazione locale.
Il tensore di rotazione locale è antisimmetrico e ammette un vettore assiale $q$, detto velocità angolare, tale che:
$Omega(y-x)=q xx (y-x)$, si può dimostrare che $q=1/2nabla xx u$.
Supponiamo quindi che localmente un campo ruoti soltanto e non si deformi, allora:
$u(y)=u(x)+1/2 nabla xx u(y-x)$.
Consideriamo allora la legge di cambiamento di polo del momento di un sistema di vettori di risultante R:
$M(P)=M(O)+R xx (P-O)$
Dove P e O sono due punti qualsiasi. E' facile allora ricondurre questa relazione con la precedente, identificando quindi $R=1/2 nabla xx u$.
In pratica la relazione precedente ci dice che il campo dei momenti ruota attorno a qualcosa, questo qualcosa è l'asse centrale del sistema di vettori.
In teoria puoi farla anche più semplice e fare i calcoli espliciti, però devi ricordarti che il momento risultante di un sistema di vettori NON è uguale al momento della risultante. Basta ricordarsi che un sistema di vettori è equivalente alla risultante R applicata nell'asse centrale più un momento costante $mu$ parallelo alla risultante, quindi $M(x)=mu+x_O xx R$ e quindi prosegui con i calcoli che hai fatto te.
Ok.
Grazie per tutte le delucidazioni.
Ciao
Grazie per tutte le delucidazioni.
Ciao
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