Operatori compatti e autoaggiunti, spazi di Hilbert
Salve, sto cercando di approfondire la teoria degli operatori compatti autoaggiunti su spazi di Hilbert a dimensione infinita.
Le mie conoscenze di studente d'ingegneria forse non mi permettono di studiare a fondo l'argomento, però sul testo "Metodi matematici per la fisica" di G.Cicogna, unito a qualche pdf in giro per il web, ho trovato una trattazione "amichevole a tratti" e mi piacerebbe avere qualche conferma (naturalmente anche qualche correzione) sulle seguenti conclusioni:
- Dato uno spazio di HIlbert H separabile e a dimensione infinita, un operatore compatto autoaggiunto T: H->H ammette un'infinità numerabile di autovalori reali [tex]\lambda_n[/tex]. (*)
- Gli autovalori di T si accumulano all'infinito e costituiscono una successione [tex]\left \{ \lambda_n \right \}[/tex] tale che [tex]\lim_{n \to \infty} \lambda_n = 0[/tex]
- Gli autovettori ad essi corrispondenti costituiscono un sistema completo in H. Tale sistema è ortogonale se non ci sono autovalori degeneri; se invece ci sono autovalori degeneri, per ciascun autospazio di dimensione maggiore di 1 posso comunque costruire una base ortogonale con il metodo di Gram-Schmidt, ottenendo complessivamente un sistema di autovettori di T ortogonale e completo in H.
- Gli autospazi corrispondenti ad eventuali autovalori degeneri di T sono a dimensione finita.
Mi restano inoltre due dubbi fondamentali:
- Ho letto che se [tex]\lambda = 0[/tex] è autovalore, esistono vettori di H che non appartengono all'immagine di T e l'operatore [tex]T^{-1}[/tex] non è limitato. Questo ha delle ripercussioni sul fatto che il set di autofunzioni di T possa essere una base per lo spazio H? Quali svantaggi comporta la non limitatezza di [tex]T^{-1}[/tex]?
- Riguardo alla condizione (*), alcuni testi richiedono, affinché T ammetta un'infinità numerabile di autovalori reali, che sia [tex]T^{-1}[/tex] ad essere compatto. Mi piacerebbe capire, in definitiva, chi tra T e il suo inverso debba essere compatto e per quale motivo (anche solo a qualitativamente).
Un grazie a dimensione infinita a chi avrà la pazienza di aiutarmi
Le mie conoscenze di studente d'ingegneria forse non mi permettono di studiare a fondo l'argomento, però sul testo "Metodi matematici per la fisica" di G.Cicogna, unito a qualche pdf in giro per il web, ho trovato una trattazione "amichevole a tratti" e mi piacerebbe avere qualche conferma (naturalmente anche qualche correzione) sulle seguenti conclusioni:
- Dato uno spazio di HIlbert H separabile e a dimensione infinita, un operatore compatto autoaggiunto T: H->H ammette un'infinità numerabile di autovalori reali [tex]\lambda_n[/tex]. (*)
- Gli autovalori di T si accumulano all'infinito e costituiscono una successione [tex]\left \{ \lambda_n \right \}[/tex] tale che [tex]\lim_{n \to \infty} \lambda_n = 0[/tex]
- Gli autovettori ad essi corrispondenti costituiscono un sistema completo in H. Tale sistema è ortogonale se non ci sono autovalori degeneri; se invece ci sono autovalori degeneri, per ciascun autospazio di dimensione maggiore di 1 posso comunque costruire una base ortogonale con il metodo di Gram-Schmidt, ottenendo complessivamente un sistema di autovettori di T ortogonale e completo in H.
- Gli autospazi corrispondenti ad eventuali autovalori degeneri di T sono a dimensione finita.
Mi restano inoltre due dubbi fondamentali:
- Ho letto che se [tex]\lambda = 0[/tex] è autovalore, esistono vettori di H che non appartengono all'immagine di T e l'operatore [tex]T^{-1}[/tex] non è limitato. Questo ha delle ripercussioni sul fatto che il set di autofunzioni di T possa essere una base per lo spazio H? Quali svantaggi comporta la non limitatezza di [tex]T^{-1}[/tex]?
- Riguardo alla condizione (*), alcuni testi richiedono, affinché T ammetta un'infinità numerabile di autovalori reali, che sia [tex]T^{-1}[/tex] ad essere compatto. Mi piacerebbe capire, in definitiva, chi tra T e il suo inverso debba essere compatto e per quale motivo (anche solo a qualitativamente).
Un grazie a dimensione infinita a chi avrà la pazienza di aiutarmi
Risposte
"eliotsbowe":Di dimensione infinita, direi io. A parte questo, è quasi giusto: gli autovalori potrebbero essere in numero finito. Comunque si chiama "Teorema di Hilbert-Schmidt".
Salve, sto cercando di approfondire la teoria degli operatori compatti autoaggiunti su spazi di Hilbert a dimensione infinita.
Le mie conoscenze di studente d'ingegneria forse non mi permettono di studiare a fondo l'argomento, però sul testo "Metodi matematici per la fisica" di G.Cicogna, unito a qualche pdf in giro per il web, ho trovato una trattazione "amichevole a tratti" e mi piacerebbe avere qualche conferma (naturalmente anche qualche correzione) sulle seguenti conclusioni:
- Dato uno spazio di HIlbert H separabile e a dimensione infinita, un operatore compatto autoaggiunto T: H->H ammette un'infinità numerabile di autovalori reali [tex]\lambda_n[/tex]. (*)
- Gli autovalori di T si accumulano all'infinito e costituiscono una successione [tex]\left \{ \lambda_n \right \}[/tex] tale che [tex]\lim_{n \to \infty} \lambda_n = 0[/tex]No. Intanto è sbagliato dire "si accumulano all'infinito", tu vuoi dire "si accumulano per \(n\) che tende ad infinito", forse. In tutti i modi ciò è falso: gli autovalori possono essere in numero finito e quindi non accumularsi da nessuna parte. Se però sono infiniti, allora si: comunque tu li ordini in una successione otterrai sempre una cosa che tende a zero.
- Gli autovettori ad essi corrispondenti costituiscono un sistema completo in H. Tale sistema è ortogonale se non ci sono autovalori degeneri; se invece ci sono autovalori degeneri, per ciascun autospazio di dimensione maggiore di 1 posso comunque costruire una base ortogonale con il metodo di Gram-Schmidt, ottenendo complessivamente un sistema di autovettori di T ortogonale e completo in H.Ok, più o meno va bene. La frase in rosso è in più, io la cancellerei, non significa granché.
- Gli autospazi corrispondenti ad eventuali autovalori degeneri di T sono a dimensione finita.Si. Invece, chiaramente, se un autovalore è non degenere il corrispondente autospazio ha dimensione 1.
Mi restano inoltre due dubbi fondamentali:\(0\) è un autovalore precisamente quando l'equazione \(T=0\) ha soluzioni non banali. Ciò significa che \(T^{-1}\) non esiste proprio, non che non è limitato, perché \(T\) non è ingettivo. Si può parlare di \(T^{-1}\) quando \(T\) è ingettivo, e si intende \(T^{-1}\colon \text{Ran}(T)\to H\), dove \(\text{Ran}(T)\) è il range di \(T\), ovvero la sua immagine. In italiano purtroppo si usa l'inglesismo rango, che però non va confuso con il rango di una matrice, tutt'altra cosa.
- Ho letto che se [tex]\lambda = 0[/tex] è autovalore, esistono vettori di H che non appartengono all'immagine di T e l'operatore [tex]T^{-1}[/tex] non è limitato. Questo ha delle ripercussioni sul fatto che il set di autofunzioni di T possa essere una base per lo spazio H? Quali svantaggi comporta la non limitatezza di [tex]T^{-1}[/tex]?
- Riguardo alla condizione (*), alcuni testi richiedono, affinché T ammetta un'infinità numerabile di autovalori reali, che sia [tex]T^{-1}[/tex] ad essere compatto. Mi piacerebbe capire, in definitiva, chi tra T e il suo inverso debba essere compatto e per quale motivo (anche solo a qualitativamente).Ma no, che cos'è questa sciocchezza. Se \(T\) è compatto allora \(T^{-1}\) potrebbe anche esistere ma non può essere nemmeno limitato, figuriamoci se può essere compatto. (A meno che non siamo nel caso banale di uno spazio di Hilbert \(H\) di dimensione finita). Questo fatto è spiegato bene sul libro Introduction to Hilbert spaces with applications di Debnath e Mikusinski, che peraltro ti consiglio visto che è rivolto ad un pubblico di ingegneri ed è ben scritto.
Un grazie a dimensione infinita a chi avrà la pazienza di aiutarmi"Di" dimensione infinita!
Ti ringrazio per la tua disponibilità e per le correzioni.
Per quanto riguarda gli autovalori di T, uno degli obiettivi della mia ricerca è capire sotto quali ipotesi T ammetta infiniti autovalori.
Avevo tratto la mia errata conclusione dal fatto che sul libro che ho citato (che comunque sarà presto sostituito da quello che mi hai consigliato) si parli di sistema di autovettori di T ortogonale e completo in H; io ho pensato che, essendo H di dimensione infinita, un sistema completo in H dovrebbe avere infiniti elementi, corrispondenti ad infiniti autovalori di T... dove sbaglio?
Per quanto riguarda l'autovalore 0, la non invertibilità di T concretamente cosa comporta?
Esempio: nello studio dei modi TE in una guida d'onda di sezione [tex]\Sigma[/tex] ho incontrato il seguente problema agli autovalori per l'operatore di Laplace (inteso come operatore che "trasforma [tex]L^2 (\Sigma)[/tex] in se stesso") con condizione al contorno di tipo Neumann omogenea:
[tex]\left\{\begin{matrix} \Delta \phi + {k_t}^2 \phi = 0
\\
\frac{\partial \phi}{\partial n} |_{\partial \Sigma} = 0
\end{matrix}\right.[/tex]
In questo problema "l'operatore di laplace è compatto" (l'ho presa per vera ma devo approfondirla) e si dimostra che è autoaggiunto e semidefinito positivo (su questo non ho problemi). Mi è stato detto però che l'autovalore 0 si scarta, motivo: l'unica soluzione non banale del problema associata all'autovalore 0 è l'autofunzione [tex]\phi = cost[/tex], che non partecipa all'espansione modale. Questo mi convince se mi limito allo studio dei modi TE, ma se volessi un risultato generale?
Per quanto riguarda gli autovalori di T, uno degli obiettivi della mia ricerca è capire sotto quali ipotesi T ammetta infiniti autovalori.
Avevo tratto la mia errata conclusione dal fatto che sul libro che ho citato (che comunque sarà presto sostituito da quello che mi hai consigliato) si parli di sistema di autovettori di T ortogonale e completo in H; io ho pensato che, essendo H di dimensione infinita, un sistema completo in H dovrebbe avere infiniti elementi, corrispondenti ad infiniti autovalori di T... dove sbaglio?
Per quanto riguarda l'autovalore 0, la non invertibilità di T concretamente cosa comporta?
Esempio: nello studio dei modi TE in una guida d'onda di sezione [tex]\Sigma[/tex] ho incontrato il seguente problema agli autovalori per l'operatore di Laplace (inteso come operatore che "trasforma [tex]L^2 (\Sigma)[/tex] in se stesso") con condizione al contorno di tipo Neumann omogenea:
[tex]\left\{\begin{matrix} \Delta \phi + {k_t}^2 \phi = 0
\\
\frac{\partial \phi}{\partial n} |_{\partial \Sigma} = 0
\end{matrix}\right.[/tex]
In questo problema "l'operatore di laplace è compatto" (l'ho presa per vera ma devo approfondirla) e si dimostra che è autoaggiunto e semidefinito positivo (su questo non ho problemi). Mi è stato detto però che l'autovalore 0 si scarta, motivo: l'unica soluzione non banale del problema associata all'autovalore 0 è l'autofunzione [tex]\phi = cost[/tex], che non partecipa all'espansione modale. Questo mi convince se mi limito allo studio dei modi TE, ma se volessi un risultato generale?
"eliotsbowe":Rispondo con un piccolo esempio. Prendi l'operatore \(T\colon \ell^2\to \ell^2\) definito dalla formula
Ti ringrazio per la tua disponibilità e per le correzioni.
Per quanto riguarda gli autovalori di T, uno degli obiettivi della mia ricerca è capire sotto quali ipotesi T ammetta infiniti autovalori.
Avevo tratto la mia errata conclusione dal fatto che sul libro che ho citato (che comunque sarà presto sostituito da quello che mi hai consigliato) si parli di sistema di autovettori di T ortogonale e completo in H; io ho pensato che, essendo H di dimensione infinita, un sistema completo in H dovrebbe avere infiniti elementi, corrispondenti ad infiniti autovalori di T... dove sbaglio?
\[T(x_1, x_2, x_3 \ldots)=(x_1, 0, 0 \ldots).\]
Questo operatore è compatto e ha solo gli autovalori \(0, 1\). L'autovalore \(0\) è infinitamente degenere, nel senso che ad esso corrispondono infiniti autovettori ortonormali: nel nostro caso, i vettori \((0, 1, 0, 0, \ldots), (0, 0, 1, 0, \ldots), (0,0,0,1,\ldots)\ldots\) sono tutti autovettori di \(0\).
Questo poi è un toy model di operatore compatto che conviene tenere a mente per farsi in fretta un esempio. Più in generale, se \((a_n)\) è una successione di numeri reali, \(a_n \to 0\), l'operatore
\[S \colon \ell^2\to\ell^2, \qquad S(x_1, x_2, x_3 \ldots)=(a_1x_1, a_2x_2, a_3x_3, \ldots)\]
è autoaggiunto e compatto e ha come autovalori tutti e soli i numeri \((a_n)\).
Per quanto riguarda l'autovalore 0, la non invertibilità di T concretamente cosa comporta?Concretamente non comporta niente. Tu però hai bisogno di studiare operatori differenziali, come vedo dall'esempio che segue. Questi non sono mai operatori compatti (e nemmeno limitati, a dire il vero), però può capitare che abbiano risolvente compatto, ovvero, in un certo senso, siano l'inverso di qualche operatore compatto. Adesso vediamo meglio.
Esempio: nello studio dei modi TE in una guida d'onda di sezione [tex]\Sigma[/tex] ho incontrato il seguente problema agli autovalori per l'operatore di Laplace (inteso come operatore che "trasforma [tex]L^2 (\Sigma)[/tex] in se stesso")
E già qua c'è da specificare meglio. \(-\Delta\) non trasforma \(L^2(\mathbb{R}^3)\) in se stesso: invece, esso è definito su un opportuno sottospazio di \(L^2\), che comprende le condizioni al contorno del problema in esame. Per esempio, nel tuo caso immagino che il dominio di \(-\Delta\) sia qualcosa come \(\{f\in H^2(\Sigma)\mid D^{\alpha}f(x)=0,\ \text{su }\partial \Sigma\}\), qualcosa del genere.
In questo problema "l'operatore di laplace è compatto" (l'ho presa per vera maMa è clamorosamente falsa. Ho l'impressione che questo esempio sia stato redatto in modo molto sciatto: certo, io sono un matematico e quindi sono abituato ad un linguaggio molto più precisino, ma una affermazione come questa suona come una sassata. Come fa \(-\Delta\) ad essere compatto se non è nemmeno un operatore limitato, fatto di cui ti accorgi subito visto che non è nemmeno definito su tutto lo spazio di Hilbert \(L^2(\Sigma)\)? E poi, anche se non ti dovessi accorgere di questo, come giustificheresti la presenza di una successione di autovalori che diverge? Non si era dimostrato un teorema spettrale per gli operatori compatti, che dice tutt'altro?
e si dimostra che è autoaggiunto e semidefinito positivo (su questo non ho problemi).Per favore, fammi vedere come si dimostra che è autoaggiunto. Sospetto che, in realtà, si sia provato solo che è simmetrico: la vera autoaggiunzione è un'altra cosa, molto più stringente (su questo punto Debnath e Mikusinski sono chiari).
Mi è stato detto però che l'autovalore 0 si scarta, motivo: l'unica soluzione non banale del problema associata all'autovalore 0 è l'autofunzione [tex]\phi = cost[/tex], che non partecipa all'espansione modale. Questo mi convince se mi limito allo studio dei modi TE, ma se volessi un risultato generale?
Il risultato generale è questo. Se un operatore \(A\), definito su un dominio \(D(A)\) di uno spazio di Hilbert \(H\) ha risolvente compatto, ovvero ammette un numero \(\lambda\in \mathbb{R}\) tale che \(A-\lambda\) è invertibile e ha l'inverso compatto e autoaggiunto, allora \(A-\lambda\) ha spettro discreto e può verificarsi una delle due eventualità: o lo spettro è finito, oppure forma una successione che diverge in valore assoluto. Quindi la stessa conclusione vale per \(A\), visto che lo spettro di \(A-\lambda\) è semplicemente un traslato dello spettro di \(A\).
Questo teorema è semplicemente un corollario del teorema di Hilbert-Schmidt.
Non volevo farmi mandare a quel paese per le troppe domande, ma in effetti io sulla compattezza dell'operatore di Laplace in quel problema dei modi TE ero perplesso perché mi ero reso conto che ad esempio, nel caso di una guida rettangolare, il termine generale della successione degli autovalori [tex]{k^2}_{t_{nm}} = (\frac{n \pi}{a})^2 + (\frac{m \pi}{b})^2[/tex] non fosse infinitesimo al tendere all'infinito degli indici.
Devo dire con onestà che l'ipotesi di compattezza dell'operatore l'avevo dedotta io immaginando che per poter ammettere la famosa "infinità numerabile di autovalori" l'operatore [tex]-\Delta[/tex] con condizione al contorno di tipo Neumann omogenea dovesse essere compatto e autoaggiunto. Ovviamente adesso capisco che la cosa non è così semplice.
Per quanto riguarda l'autoaggiunzione, penso che i tuoi sospetti siano fondati perché il libro da cui ho tratto la dimostrazione affronta l'argomento in maniera soft e si limita alle seguenti definizioni:
su cui imposta la dimostrazione (per VII.4.27 e VII.4.19 intende le formule di Green, per VII.3.33 intende la condizione al contorno di tipo Neumann omogenea, per VII.3.35 intende quella di tipo Dirichlet omogenea):
Devo dire con onestà che l'ipotesi di compattezza dell'operatore l'avevo dedotta io immaginando che per poter ammettere la famosa "infinità numerabile di autovalori" l'operatore [tex]-\Delta[/tex] con condizione al contorno di tipo Neumann omogenea dovesse essere compatto e autoaggiunto. Ovviamente adesso capisco che la cosa non è così semplice.
Per quanto riguarda l'autoaggiunzione, penso che i tuoi sospetti siano fondati perché il libro da cui ho tratto la dimostrazione affronta l'argomento in maniera soft e si limita alle seguenti definizioni:
su cui imposta la dimostrazione (per VII.4.27 e VII.4.19 intende le formule di Green, per VII.3.33 intende la condizione al contorno di tipo Neumann omogenea, per VII.3.35 intende quella di tipo Dirichlet omogenea):
Purtroppo i miei sospetti erano fondati. Il problema è che il dominio dell'operatore aggiunto \(\mathscr{L}^a\) (più spesso si scrive \(\mathscr{L}^\star\) in matematica e \(\mathscr{L}^\dagger\) in fisica) va tenuto in considerazione, non puoi uscirtene con "il dominio è generalmente diverso". Esistono articoli interi dedicati alla determinazione del dominio di certi operatori aggiunti e a risultati di self-adjointness, non sono questioni banali.
Comunque, io ti suggerisco di non esagerare con la matematica. Consulta la definizione precisa di "operatore aggiunto", magari nel paragrafo "Unbounded operators" del quarto capitolo del Debnath-Mikusinski, ma poi continua a leggere il tuo libro cercando di arrangiarti in qualche modo.
Comunque, io ti suggerisco di non esagerare con la matematica. Consulta la definizione precisa di "operatore aggiunto", magari nel paragrafo "Unbounded operators" del quarto capitolo del Debnath-Mikusinski, ma poi continua a leggere il tuo libro cercando di arrangiarti in qualche modo.
In realtà il mio esame non prevede che l'argomento venga approfondito (come del resto accade per molte questioni matematiche di cui l'ingegneria si serve), la mia era una curiosità personale e avevo bisogno di qualche suggerimento sulla direzione in cui muovermi. In questo senso il tuo aiuto è stato prezioso, thanks a lot!
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