Operatore parità e buca di potenziale infinita
Ciao ragazzi vorrei chiedervi qualcosa in più sull'operatore parità. Ho finito da poco tutto il programma del corso di fondamenti di fisica teorica però questo operatore deve essermi sfuggito. Sono incappato nel seguente esercizio:
Una particella si trova in una buca di potenziale unidimensionale di profondità infinita , di larghezza $2L$ centrata in $ x = 0$.La funzione d'onda della particella è data dalla combinazione dello stato fondamentale col primo stato eccitato.
$ psi(x) = c_1 u_1 (x) + c_2 u_2 (x)$ dove in tal caso abbiamo : $ u_1 (x) = sqrt({1}/{L}) sin ({pi}/{L}x) $ e $ u_2 (x) = sqrt({1}/{L}) sin (2{pi}/{L}x) $.
Determinare le costanti $c_1$ e $c_2$ sapendo che il valor medio della parità è ${1}/{3}$.
Sul web ho visto che l'operatore parità è tale che $P psi(x) = psi(-x)$ cioè nel mio caso:
$ P |psi(x) \rangle = - c_1 sqrt({1}/{L}) sin ({pi}/{L}x) - c_2 sqrt({1}/{L}) sin (2{pi}/{L}x)$ visto che le autofunzioni sono dispari.
Allora$ \langle psi | P |psi \rangle = - |c_1|^2 int |u_1 (x)|^2 dx - |c_2|^2 int |u_2 (x)|^2 dx = - |c_1|^2 - |c_2|^2 = {1}/{3}$
ma questo non è possibile...dove sbaglio?
Una particella si trova in una buca di potenziale unidimensionale di profondità infinita , di larghezza $2L$ centrata in $ x = 0$.La funzione d'onda della particella è data dalla combinazione dello stato fondamentale col primo stato eccitato.
$ psi(x) = c_1 u_1 (x) + c_2 u_2 (x)$ dove in tal caso abbiamo : $ u_1 (x) = sqrt({1}/{L}) sin ({pi}/{L}x) $ e $ u_2 (x) = sqrt({1}/{L}) sin (2{pi}/{L}x) $.
Determinare le costanti $c_1$ e $c_2$ sapendo che il valor medio della parità è ${1}/{3}$.
Sul web ho visto che l'operatore parità è tale che $P psi(x) = psi(-x)$ cioè nel mio caso:
$ P |psi(x) \rangle = - c_1 sqrt({1}/{L}) sin ({pi}/{L}x) - c_2 sqrt({1}/{L}) sin (2{pi}/{L}x)$ visto che le autofunzioni sono dispari.
Allora$ \langle psi | P |psi \rangle = - |c_1|^2 int |u_1 (x)|^2 dx - |c_2|^2 int |u_2 (x)|^2 dx = - |c_1|^2 - |c_2|^2 = {1}/{3}$
ma questo non è possibile...dove sbaglio?
Risposte
$u_1$ (autostato fondamentale) secondo me non va bene. Siccome la buca è centrata nell'origine, non dovrebbe essere $u_1(0)=0$...
gli stati stazionari li ho calcolati in questo modo:
eq di Schodinger :$ - {h}/{2m} {partial ^2 psi}/{partial x^2} = E psi$ le cui soluzioni sono:
$psi (x) = A cos kx + B sin kx $
le condizioni al contorno : $psi(L) = psi (-L) = 0$ e quindi : $psi (L) = A cos kL + B sin kL = 0 $ e $psi (-L) = A cos kL - B sin kL =0$.
Sottraendo la seconda dalla prima ottengo $B sin kL = 0$. Scegliendo $ B != 0$ e $A = 0$ deve risultare che $sin kL = 0$ cioè
$ kL = n pi$ e quindi $k = {n pi}/{L}$ .Di conseguenza :
$psi _n (x) = B sin({n pi}/{L} x)$..no?
eq di Schodinger :$ - {h}/{2m} {partial ^2 psi}/{partial x^2} = E psi$ le cui soluzioni sono:
$psi (x) = A cos kx + B sin kx $
le condizioni al contorno : $psi(L) = psi (-L) = 0$ e quindi : $psi (L) = A cos kL + B sin kL = 0 $ e $psi (-L) = A cos kL - B sin kL =0$.
Sottraendo la seconda dalla prima ottengo $B sin kL = 0$. Scegliendo $ B != 0$ e $A = 0$ deve risultare che $sin kL = 0$ cioè
$ kL = n pi$ e quindi $k = {n pi}/{L}$ .Di conseguenza :
$psi _n (x) = B sin({n pi}/{L} x)$..no?
Non puoi porre $A=0$ fisso... Risolvi bene il sistema omogeneo che qui non è banale... Otterrai soluzioni $A=0$ e $B=0$ alternanti che ti danno seni e coseni... e $k = {n \pi} / {2 L}$.
La soluzione generale da cui sei partito non è qui comoda. Se parti da $\psi = a sin(k x + b)$ viene tutto più facile...
ps. l'eq. di Schr. mi pare che non l'hai scritta bene...
La soluzione generale da cui sei partito non è qui comoda. Se parti da $\psi = a sin(k x + b)$ viene tutto più facile...
ps. l'eq. di Schr. mi pare che non l'hai scritta bene...
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