Operatore di d'Alembert,forma covariante equazione continuità
Salve a tutti!
Ho questo dubbio , definito il d'Alambertiano in 4-d
$ partial_(alpha)partial^(alpha)=((partial)/(partial x^0) ,+grad )((partial)/(partial x^0),-grad ) $
il gradiente è 3-d ,inoltre \( x^0=ct^0 \)
Mi si dice che
$ ((partial)/(partial x^0) ,+grad )((partial)/(partial x^0),-grad )=
(partial^2)/((partial x^0)^2)-grad^2 $
e non
$ ((partial)/(partial x^0) ,+grad )((partial)/(partial x^0),-grad)=
(partial^2)/((partial x^0)^2)+grad^2 $
come mi aspetterei dalla regola per la moltiplicazione di due 4-vettori , tipo
\( (E/c,\overrightarrow{p)} \cdot (E/c,\overrightarrow{p)} =E^2/c^2-|\overrightarrow{p}|^2 \)
Ho questo dubbio , definito il d'Alambertiano in 4-d
$ partial_(alpha)partial^(alpha)=((partial)/(partial x^0) ,+grad )((partial)/(partial x^0),-grad ) $
il gradiente è 3-d ,inoltre \( x^0=ct^0 \)
Mi si dice che
$ ((partial)/(partial x^0) ,+grad )((partial)/(partial x^0),-grad )=
(partial^2)/((partial x^0)^2)-grad^2 $
e non
$ ((partial)/(partial x^0) ,+grad )((partial)/(partial x^0),-grad)=
(partial^2)/((partial x^0)^2)+grad^2 $
come mi aspetterei dalla regola per la moltiplicazione di due 4-vettori , tipo
\( (E/c,\overrightarrow{p)} \cdot (E/c,\overrightarrow{p)} =E^2/c^2-|\overrightarrow{p}|^2 \)
Risposte
La metrica di Minkovski è
\begin{equation}
\eta=\operatorname{diag}(1,-1,-1,-1)
\end{equation}
allora
\begin{equation}
\eta_{\alpha\beta}\partial^\alpha\partial^\beta=\partial_\alpha\partial^\alpha=1\cdot \frac{1}{c^2}\partial_t\partial_t+(-1)\partial_x\partial_x+(-1)\partial_y\partial_y+(-1)\partial_z\partial_z=\frac{1}{c^2}{\partial_t}^2-\nabla^2
\end{equation}
dove ovviamente \(\partial_\alpha=\frac{\partial}{\partial x^\alpha}\) e \(\partial^\alpha=\frac{\partial}{\partial x_\alpha}\), \(\partial_\alpha:=\partial^\beta\eta_{\beta\alpha}\). Se contrai un vettore covariante con uno controvariante l'azione della metrica è già inclusa. Nella relazione sotto il prodotto scalare è proprio dato dalla metrica:
\begin{equation}
(E/c,\vec{p})\cdot(E/c,\vec{p})=p\cdot p:=p_\alpha p^\alpha=p^\alpha p^\beta\eta_{\alpha\beta}
\end{equation}
Ti torna?
\begin{equation}
\eta=\operatorname{diag}(1,-1,-1,-1)
\end{equation}
allora
\begin{equation}
\eta_{\alpha\beta}\partial^\alpha\partial^\beta=\partial_\alpha\partial^\alpha=1\cdot \frac{1}{c^2}\partial_t\partial_t+(-1)\partial_x\partial_x+(-1)\partial_y\partial_y+(-1)\partial_z\partial_z=\frac{1}{c^2}{\partial_t}^2-\nabla^2
\end{equation}
dove ovviamente \(\partial_\alpha=\frac{\partial}{\partial x^\alpha}\) e \(\partial^\alpha=\frac{\partial}{\partial x_\alpha}\), \(\partial_\alpha:=\partial^\beta\eta_{\beta\alpha}\). Se contrai un vettore covariante con uno controvariante l'azione della metrica è già inclusa. Nella relazione sotto il prodotto scalare è proprio dato dalla metrica:
\begin{equation}
(E/c,\vec{p})\cdot(E/c,\vec{p})=p\cdot p:=p_\alpha p^\alpha=p^\alpha p^\beta\eta_{\alpha\beta}
\end{equation}
Ti torna?
In altri termini, il d'alambertiano non è altro che il modulo quadrato del 4-operatore gradiente , che si scrive :
$((partial)/(partial x^0) ,vec\grad )$
e quindi , come il modulo quadrato di un qualsiasi tetravettore , si ha :
$\Delta_M ^2 = 1/c^2(\partial^2)/(\partialt^2) - vec\grad^2 $
( non riesco a mettere il classico quadratino al 1º membro, ma ho trovato che si può anche usare $\Delta_M$, come dice qui:
https://it.wikipedia.org/wiki/Operatore_di_d%27Alembert
Il secondo termine a secondo membro è il classico laplaciano 3-D . Anche in 4-dimensioni si usa il gradiente, quindi, ma è un 4-gradiente, che opera non solo su funzioni scalari ma anche tensoriali.
Perciò , questa definizione data da Giammy :
va bene , però nel secondo fattore a secondo membro sono stati già abbassati gli indici spaziali tramite il tensore metrico, come dice Friction, e perciò quando si calcola il modulo quadrato non si deve nuovamente mettere il segno " - " davanti al termine spaziale.
Dico bene Friction ?
$((partial)/(partial x^0) ,vec\grad )$
e quindi , come il modulo quadrato di un qualsiasi tetravettore , si ha :
$\Delta_M ^2 = 1/c^2(\partial^2)/(\partialt^2) - vec\grad^2 $
( non riesco a mettere il classico quadratino al 1º membro, ma ho trovato che si può anche usare $\Delta_M$, come dice qui:
https://it.wikipedia.org/wiki/Operatore_di_d%27Alembert
Il secondo termine a secondo membro è il classico laplaciano 3-D . Anche in 4-dimensioni si usa il gradiente, quindi, ma è un 4-gradiente, che opera non solo su funzioni scalari ma anche tensoriali.
Perciò , questa definizione data da Giammy :
"Giammy_":
Salve a tutti!
Ho questo dubbio , definito il d'Alambertiano in 4-d
$ partial_(alpha)partial^(alpha)=((partial)/(partial x^0) ,+grad )((partial)/(partial x^0),-grad ) $
il gradiente è 3-d ,inoltre \( x^0=ct^0 \)
va bene , però nel secondo fattore a secondo membro sono stati già abbassati gli indici spaziali tramite il tensore metrico, come dice Friction, e perciò quando si calcola il modulo quadrato non si deve nuovamente mettere il segno " - " davanti al termine spaziale.
Dico bene Friction ?
"friction":
Se contrai un vettore covariante con uno controvariante l'azione della metrica è già inclusa.
\( \Updownarrow \)
"Shackle":
però nel secondo fattore a secondo membro sono stati già abbassati gli indici spaziali tramite il tensore metrico, come dice Friction, e perciò quando si calcola il modulo quadrato non si deve nuovamente mettere il segno " - " davanti al termine spaziale.
Grazie ad entrambi
\( \Box \)
"Schackle":Mi sembra di sì.
Dico bene Friction ?
A me il termine "vettore covariante" ha sempre lasciato molto perplesso... quindi lo penso come \(\eta_{\alpha\beta}v^\alpha\). Se \(M\) è una var. liscia dotata di una metrica \(g\), \(v\in T_mM\) vettore (propriamente detto) allora
\begin{equation}
v=\sum_\alpha v^\alpha\partial_\alpha
\end{equation}
il "vettore covariante" associato è dato dal funzionale lineare
\begin{equation}
g_m(v,\cdot)\colon T_mM\to\mathbb{R}
\end{equation}
che in coordinate si scrive
\begin{equation}\begin{split}
g_m(v,\cdot)&=v\lrcorner g_m\\
&=(\sum_\rho v^\rho \partial_\rho)\lrcorner(\sum_{\alpha\beta} g_{\alpha\beta} dx^\alpha\otimes dx^\beta)\\
&=\sum_{\alpha\beta\rho}v^\rho g_{\alpha\beta} dx^\alpha(\partial_\rho)\otimes dx^\beta\\
&=\sum_{\alpha\beta}v^\alpha g_{\alpha\beta} dx^\beta\\
&=:\sum_{\alpha} v_\alpha dx^\alpha\in T^*_mM
\end{split}\end{equation}
dove \(\lrcorner\) è la moltiplicazione interna (contrazione per i fisici). Ma questi sono miei problemi (mentali)
[ot]Puoi usare
\begin{equation}
\Box\text{ oppure }\square
\end{equation}
per il quadratino; si fanno così
\begin{equation}
\Box\text{ oppure }\square
\end{equation}ma in Teoria dei Campi quello che va per la maggiore è semplicemente \(\partial^2=c^{-2}\partial_t^2-\vec{\partial}^2\).[/ot]
Grazie Friction . Anche Giammy mi ha messo il quadratino alla fine, e mi sono segnato il codice .
Le tue considerazioni sono giustissime , meglio sarebbe parlare di 1-forme differenziali , ovvero funzionali lineari, anziché vettori (o tensori) covarianti. Questo formalismo però è più raffinato di quello che si trova nei libri che usualmente introducono la RG , premettendo il calcolo tensoriale, ad un livello più semplice, diciamo al livello di Schutz. Ma neanche Landau , per dirne uno tosto, usa quel formalismo; egli basa tutto su vettori e tensori co- e controvarianti , e sulle trasformazioni di componenti.
Però almeno $Sigma$ te lo potevi risparmiare !
Le tue considerazioni sono giustissime , meglio sarebbe parlare di 1-forme differenziali , ovvero funzionali lineari, anziché vettori (o tensori) covarianti. Questo formalismo però è più raffinato di quello che si trova nei libri che usualmente introducono la RG , premettendo il calcolo tensoriale, ad un livello più semplice, diciamo al livello di Schutz. Ma neanche Landau , per dirne uno tosto, usa quel formalismo; egli basa tutto su vettori e tensori co- e controvarianti , e sulle trasformazioni di componenti.
Però almeno $Sigma$ te lo potevi risparmiare !
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