Onde elettromagnetiche
ho un problema con le equazioni di maxwell nel vuoto.
sappiamo che valgono le seguenti:
1) $ < nabla, E> = rho / epsilon_0
2) $ < nabla, B> = 0
3) $ nabla x E = - ( (partial B) / (partial t) )
4) $ nabla x B = mu_0j_c + mu_0 epsilon_0 ( (partial E) / (partial t) )
a questo punto, sappiamo che nel vuoto valgono $rho = 0$ e $j_c = 0$, per cui le equazioni vanno modificate di conseguenza.
se nella 4) deriviamo rispetto al tempo, si ottiene:
$ partial / (partial t) (nabla x B) = nabla x (partial B) / (partial t) = mu_0 epsilon_0 ( (partial^2 E) / (partial t^2) )
sparandoci dentro la 3):
$ - nabla x (nabla x E) = mu_0 epsilon_0 ( (partial^2 E) / (partial t^2) )
a questo punto si fa un passaggio molto delicato, ossia si sfrutta un'identità vettoriale, per cui:
$- nabla x (nabla x E) = -(nabla() - ()E) = nabla^2 E.
al secondo membro dell'equazione c'è un passaggio che non mi torna, ossia sfruttando la 1) si pone $ = 0$, però questo vale solo per E elettrostatici, mentre la relazione 3) che avevamo usato in precedenza si riferisce a campi elettrici non necessariamente conservativi. come si risolve questo dissidio? mi è venuto in mente che può derivare dal fatto che non ci sono correnti di conduzione nello spazio considerato (vedi ipotesi sopra), ma non vorrei dire una cretinata
sappiamo che valgono le seguenti:
1) $ < nabla, E> = rho / epsilon_0
2) $ < nabla, B> = 0
3) $ nabla x E = - ( (partial B) / (partial t) )
4) $ nabla x B = mu_0j_c + mu_0 epsilon_0 ( (partial E) / (partial t) )
a questo punto, sappiamo che nel vuoto valgono $rho = 0$ e $j_c = 0$, per cui le equazioni vanno modificate di conseguenza.
se nella 4) deriviamo rispetto al tempo, si ottiene:
$ partial / (partial t) (nabla x B) = nabla x (partial B) / (partial t) = mu_0 epsilon_0 ( (partial^2 E) / (partial t^2) )
sparandoci dentro la 3):
$ - nabla x (nabla x E) = mu_0 epsilon_0 ( (partial^2 E) / (partial t^2) )
a questo punto si fa un passaggio molto delicato, ossia si sfrutta un'identità vettoriale, per cui:
$- nabla x (nabla x E) = -(nabla(
al secondo membro dell'equazione c'è un passaggio che non mi torna, ossia sfruttando la 1) si pone $
Risposte
E' giusto quello che dici: per ipotesi non ci sono sorgenti di campi elettromagnetici (correnti e cariche), quindi la legge di Gauss ti dice che il campo elettrico è solenoidale (a divergenza nulla). E' proprio grazie a questa ipotesi che nasce la "simmetria" delle equazioni di Maxwell che, come fai vedere correttamente, porta all'equazione d'onda
grazie, allora ti chiedo un ulteriore chiarimento: nell'equazione delle onde, E è un campo elettrostatico o no? visto che ho potuto usare il teorema di gauss mi verrebbe naturale dire di sì (tra l'altro, se non erro, pure nell'equazione 4) il campo E a secondo membro è conservativo*), ma temo di sbagliarmi: se così fosse dovrei avere $nabla x E = 0$. ho cercato in più testi, ma nessuno specifica queste cose.
quello che non mi torna, è il fatto che se E è solenoidale, allora le linee del campo sono chiuse, quindi la circuitazione in generale è diversa da 0, il che implica che non è conservativo.. mi sembra un bel casino
*da gauss in forma integrale: $oint_S = q$ (vale solo per campi elettrostatici, che io sappia) => $d/(dt) oint_S = oint_S = (dq)/(dt)$, sotto opportune ipotesi di continuità delle derivate
edit: a ripensarci, mi pare assurda una cosa: come faccio ad avere divergenza nulla e laplaciano diverso da 0, nell'equazione che non mi tornava sopra? è un controsenso, per cui non credo si possa fare quella sostituzione. il campo elettrico nella 3 e 4 equazione si intende non conservativo, pertanto anche nell'equazione delle onde si intende che E non è conservativo. sbaglio?
quello che non mi torna, è il fatto che se E è solenoidale, allora le linee del campo sono chiuse, quindi la circuitazione in generale è diversa da 0, il che implica che non è conservativo.. mi sembra un bel casino
*da gauss in forma integrale: $oint_S
edit: a ripensarci, mi pare assurda una cosa: come faccio ad avere divergenza nulla e laplaciano diverso da 0, nell'equazione che non mi tornava sopra? è un controsenso, per cui non credo si possa fare quella sostituzione. il campo elettrico nella 3 e 4 equazione si intende non conservativo, pertanto anche nell'equazione delle onde si intende che E non è conservativo. sbaglio?
Il punto è questo: la legge di Gauss è universale, vale cioè sia per campi conservativi che per campi non conservativi.
L'unico campo elettrico di tipo conservativo è quello elettrostatico, generato da cariche in quiete: questo campo è costante, non varia nè con il tempo nè con la posizione. Il campo elettrico trasportato da un'onda elettromagnetica è non conservativo.
L'unico campo elettrico di tipo conservativo è quello elettrostatico, generato da cariche in quiete: questo campo è costante, non varia nè con il tempo nè con la posizione. Il campo elettrico trasportato da un'onda elettromagnetica è non conservativo.
grazie per la conferma, sui libri sta cosa non si trova scritta, o almeno non l'ho trovata (io uso il mazzoldi nigro voci), non so il perchè. sono giorni che mi spacco la testa, prima sono riuscito a trovare una dispensa in rete dove si menzionava questa cosa, volevo però essere sicuro.
grazie ancora
grazie ancora
Il campo elettrostatico è indipendente dal tempo ma può dipendere dalla posizione. Deve essere stata una svista.
mi riferivo al fatto che la legge di gauss è valida anche per cariche in moto
Mi stavo riferendo all'ultimo messaggio di VIX89, immagino sia stata una svista.
Si, è stata una svista! Il campo elettrostatico generato da una carica puntiforme, d'altronde, è proporzionale a $1/(r^2)$! Grazie per l'appunto.
"speculor":
Mi stavo riferendo all'ultimo messaggio di VIX89, immagino sia stata una svista.
pardon, comunque grazie ad entrambi
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo