Onde elettromagnetiche
Mi sono arenato in un punto che parla delle onde elettromagnetiche piane monocromatiche (cioè piane e armoniche del tipo $ f(x,t)=A_0cos(kx-omega t) $).
Stiamo analizzando il caso in cui nello sistema non sono presenti cariche e correnti e ci troviamo nel vuoto (o comunque in un mezzo isotropo,omogeneo e lineare), quindi le quattro equazioni di Maxwell specializzate a questo caso sono:
$ vec(grad) \cdot vec(E)=0 $, $ vec(grad) \cdot vec(B)=0 $,
$ vec(grad) xx vec(B)= epsilon mu (partial vec(E))/ (partialt) $, $ vec(grad) xx vec(E)= -(partial vec(B))/ (partialt) $.
Da queste vengono dedotte le equazioni d'onda per il campo elettrico e magnetico.
Come soluzione dell'equazione dell'onda $ grad ^2vec(E)=1/(c^2)(partial vec(E))/ (partialt) $ viene scelta a priori un'onda piana monocromatica $ vec(E)(vec(r),t)=vec(E)_0cos(vec(k)\cdot vec(r)-omega t) $ (dove $ vec(E)_0 $ è un vettore costante e $ vec(k) $ è il vettore d'onda). A questo punto mi viene detto che l'onda relativa al campo magnetico è $ vec(B)(vec(r),t)=vec(B)_0cos(vec(k)\cdot vec(r)-omega t) $; non riesco a capire se anche questa è una scelta arbitraria o meno, dato che le due equazioni dell'onda $ grad ^2vec(B)=1/(c^2)(partialvec(B))/ (partialt) $ e $ grad ^2vec(E)=1/(c^2)(partialvec(E))/ (partialt) $ sono disaccoppiate, cioè non riesco a capire se, data la soluzione dell'onda monocromatica del campo elettrico , da questa si deduce che il campo magnetico è anch'esso un'onda piana monocromatica con stessa $ omega $ e stesso vettore d'onda $ vec(k) $, e se effettivamente si deduce in questo modo, non capisco come dedurlo. Qualcuno può aiutarmi?
Stiamo analizzando il caso in cui nello sistema non sono presenti cariche e correnti e ci troviamo nel vuoto (o comunque in un mezzo isotropo,omogeneo e lineare), quindi le quattro equazioni di Maxwell specializzate a questo caso sono:
$ vec(grad) \cdot vec(E)=0 $, $ vec(grad) \cdot vec(B)=0 $,
$ vec(grad) xx vec(B)= epsilon mu (partial vec(E))/ (partialt) $, $ vec(grad) xx vec(E)= -(partial vec(B))/ (partialt) $.
Da queste vengono dedotte le equazioni d'onda per il campo elettrico e magnetico.
Come soluzione dell'equazione dell'onda $ grad ^2vec(E)=1/(c^2)(partial vec(E))/ (partialt) $ viene scelta a priori un'onda piana monocromatica $ vec(E)(vec(r),t)=vec(E)_0cos(vec(k)\cdot vec(r)-omega t) $ (dove $ vec(E)_0 $ è un vettore costante e $ vec(k) $ è il vettore d'onda). A questo punto mi viene detto che l'onda relativa al campo magnetico è $ vec(B)(vec(r),t)=vec(B)_0cos(vec(k)\cdot vec(r)-omega t) $; non riesco a capire se anche questa è una scelta arbitraria o meno, dato che le due equazioni dell'onda $ grad ^2vec(B)=1/(c^2)(partialvec(B))/ (partialt) $ e $ grad ^2vec(E)=1/(c^2)(partialvec(E))/ (partialt) $ sono disaccoppiate, cioè non riesco a capire se, data la soluzione dell'onda monocromatica del campo elettrico , da questa si deduce che il campo magnetico è anch'esso un'onda piana monocromatica con stessa $ omega $ e stesso vettore d'onda $ vec(k) $, e se effettivamente si deduce in questo modo, non capisco come dedurlo. Qualcuno può aiutarmi?
Risposte
Se ho capito bene vuoi dimostrare che, ipotizzando che $vecE$ sia una soluzione del tipo onda piana, anche $vecB$ debba necessariamente essere una soluzione del tipo onda piana con la stessa frequenza.
Esatto, il problema è che non riesco a mostrarlo e non so nemmeno se sia vero o meno
Certamente vero. Tuttavia, per dimostrarlo più agevolmente, ti conviene introdurre il potenziale scalare e il potenziale vettore. Sempre che facciano parte del tuo programma di studio.
Sì, abbiamo studiato potenziale scalare e vettore assieme ad alcune trasformazione di Gauge, però non li abbiamo applicati allo studio delle onde, eccetto nel trovare la forma generale delle equazioni per i potenziali
Se dai un'occhiata alla risorsa sottostante:

assumendo una soluzione del tipo onda piana per il potenziale vettore $vecA$, la determinazione dei campi mediante le seguenti formule:
non può che portare a soluzioni dello stesso tipo. Ad ogni modo, si può dimostrare anche senza scomodare i potenziali:
Infine, vale la pena sottolineare che i due campi oscillano in fase.

assumendo una soluzione del tipo onda piana per il potenziale vettore $vecA$, la determinazione dei campi mediante le seguenti formule:
$[vecB=vec\nabla xx vecA] ^^ [vecE=-1/c(delvecA)/(delt)]$
non può che portare a soluzioni dello stesso tipo. Ad ogni modo, si può dimostrare anche senza scomodare i potenziali:
Ipotesi
$vecE=vecE_0cos(veck*vecx-\omegat)$
Passo 1
$vec\nabla xx vecE=[(veci_1,veci_2,veci_3),((del)/(delx_1),(del)/(delx_2),(del)/(delx_3)),(E_1,E_2,E_3)]=$
$=-[(E_(03)k_2-E_(02)k_3)veci_1+(E_(01)k_3-E_(03)k_1)veci_2+(E_(02)k_1-E_(01)k_2)veci_3]sin(veck*vecx-\omegat)$
Passo 2
$vec\nabla xx vecE+1/c(delvecB)/(delt)=0 rarr (delvecB)/(delt)=-cvec\nabla xx vecE rarr$
$rarr (delvecB)/(delt)=c[(E_(03)k_2-E_(02)k_3)veci_1+(E_(01)k_3-E_(03)k_1)veci_2+(E_(02)k_1-E_(01)k_2)veci_3]sin(veck*vecx-\omegat) rarr$
$rarr vecB=c/\omega[(E_(03)k_2-E_(02)k_3)veci_1+(E_(01)k_3-E_(03)k_1)veci_2+(E_(02)k_1-E_(01)k_2)veci_3]cos(veck*vecx-\omegat)$
Posizione
$[B_(01)=c/\omega(E_(03)k_2-E_(02)k_3)] ^^ [B_(02)=c/\omega(E_(01)k_3-E_(03)k_1)]
^^ [B_(03)=c/\omega(E_(02)k_1-E_(01)k_2)]$
^^ [B_(03)=c/\omega(E_(02)k_1-E_(01)k_2)]$
Tesi
$vecB=vecB_0cos(veck*vecx-\omegat)$
Infine, vale la pena sottolineare che i due campi oscillano in fase.
Grazie mille, spiegazione lineare che mi fà dire "perchè non ci ho pensato prima?"
. Comunque io avevo pensato anche di dimostrarla utilizzando la formula $ vec(E)=vec(B)xx vec(v) $, valida per onde piane di forma sinusoidale o cosinusoidale. Il libro che sto consultando per dimostrarla però utilizza già che il campo magnetico deve avere formula periodica con stessa frequenza... Quindi ho trovato un'altra fonte che, per dimostare $ vec(E)=vec(B)xx vec(v) $, utilizza le equazioni di Maxwell nel dominio delle frequenze, che erano una novità per me. Utlizzando le trasformate e antitrasformate di Fourier mi sembra di aver capito che le equazioni di Maxwell sono valide nel dominio delle frequenze a patto di trasformare la derivata rispetto al tempo di qualsiasi grandezza in moltiplicazione per $ i omega $; ma non solo, mi sembra anche che qualsiasi relazione tra campo elettrico e magnetico che non coinvolga derivate rispetto al tempo, vale tale e quale nel dominio delle frequenze.
La fonte a cui mi riferisco è la seguente http://www.ifac.cnr.it/pcemni/12102005. ... _testo.pdf, a pagina 17

La fonte a cui mi riferisco è la seguente http://www.ifac.cnr.it/pcemni/12102005. ... _testo.pdf, a pagina 17
"Dal":
... spiegazione lineare ...
Sicuramente più lineare di quella in cui mi sono imbarcato ieri e che ho preferito abbandonare. Tra l'altro, mi ero anche bloccato.
