Onde e d'Alembert
C'è un dubbio atroce che mi sta venendo leggendo le dispense del corso di onde.
Riassumendo: una equazione differenziale ordinaria ha tante soluzioni quanti sono i possibili dati iniziali. Dunque la soluzione generale dipenderà da n parametri. In particolare, per le equazioni differenziali ordinarie lineari è possibile scrivere la soluzione come combinazione lineare di n soluzioni indipendenti. Qualcosa del genere vale per d'alembert e si considerano infatti le tipiche due soluzioni: $f(x+vt); g(x-vt)$ legate da due parametri. In particolare esse sono linearmente indipendenti e ne faccio quindi una composizione lineare.
Detto ciò il libro asserisce che: "si usa l'analisi di Fourier e in virtù di essa so che posso riscrivere una funzione "qualsiasi" (soprassedendo ora sulle condizioni di convergenza ecc) come integrale o serie. Questo mi permette di trattare lo studio delle funzioni armoniche come caso specifico generalizzabile. In realtà posso farlo perché l'equazione è lineare e la serie è una combinazione lineare di altre funzioni. Però non capisco, le funzioni che uso in fourier sono tutte linearmente indipendenti mentre io ho detto che l'integrale generale di d'Alembert è dato da due sole funzioni L.I. "
Sembra quasi dire che è la linearità dell'equazione di d'Alembert a garantirmi il poter usare l'analisi di Fourier, ma questo mi sembra errato poiché in teoria le funzioni "base" delle serie di fourier non sono in realtà soluzione dell'equazione differenziale di d'Alembert con i dati iniziali.
Insomma mi sembra una imprecisione quella detta. Qualcuno sa aiutarmi a rendere più rigoroso il tutto, perché sento che il corso di metodi matematici non mi abbia reso sufficientemente preparata su questi termini.
Riassumendo: una equazione differenziale ordinaria ha tante soluzioni quanti sono i possibili dati iniziali. Dunque la soluzione generale dipenderà da n parametri. In particolare, per le equazioni differenziali ordinarie lineari è possibile scrivere la soluzione come combinazione lineare di n soluzioni indipendenti. Qualcosa del genere vale per d'alembert e si considerano infatti le tipiche due soluzioni: $f(x+vt); g(x-vt)$ legate da due parametri. In particolare esse sono linearmente indipendenti e ne faccio quindi una composizione lineare.
Detto ciò il libro asserisce che: "si usa l'analisi di Fourier e in virtù di essa so che posso riscrivere una funzione "qualsiasi" (soprassedendo ora sulle condizioni di convergenza ecc) come integrale o serie. Questo mi permette di trattare lo studio delle funzioni armoniche come caso specifico generalizzabile. In realtà posso farlo perché l'equazione è lineare e la serie è una combinazione lineare di altre funzioni. Però non capisco, le funzioni che uso in fourier sono tutte linearmente indipendenti mentre io ho detto che l'integrale generale di d'Alembert è dato da due sole funzioni L.I. "
Sembra quasi dire che è la linearità dell'equazione di d'Alembert a garantirmi il poter usare l'analisi di Fourier, ma questo mi sembra errato poiché in teoria le funzioni "base" delle serie di fourier non sono in realtà soluzione dell'equazione differenziale di d'Alembert con i dati iniziali.
Insomma mi sembra una imprecisione quella detta. Qualcuno sa aiutarmi a rendere più rigoroso il tutto, perché sento che il corso di metodi matematici non mi abbia reso sufficientemente preparata su questi termini.
Risposte
E' comparso il tasto modifica e ho corretto sopra.
"saltimbanca":
... per le equazioni differenziali ordinarie lineari, è possibile scrivere la soluzione come combinazione lineare di n soluzioni indipendenti ...
Ok, sottolineando il fatto che, solo per fare un esempio, l'integrale generale dell'equazione differenziale sottostante:
$ddoty+4y=0$
è combinazione lineare:
$y=Acos2x+Bsin2x$
non di due funzioni generiche, piuttosto, di due funzioni precise:
$[y_1=cos2x] ^^ [y_2=sin2x]$
"saltimbanca":
... le tipiche due soluzioni:
$f(x-vt)$
$f(x+vt)$
legate da due parametri. In particolare esse sono linearmente indipendenti e ne faccio quindi una combinazione lineare ...
Intanto, trattandosi di due funzioni generiche diverse, non dovresti usare lo stesso simbolo f. Inoltre, non si comprende quali siano i due parametri di cui parli. Ad ogni modo, quando si esprime l'integrale generale:
$u(x,t)=f(x-vt)+g(x+vt)$
si è soliti dire che è la somma (non la combinazione lineare) di due funzioni generiche diverse (non ha alcun senso parlare di due funzioni linearmente indipendenti), la prima dell'argomento:
$x-vt$
onda progressiva, la seconda dell'argomento:
$x+vt$
onda regressiva. In questo caso, per determinare un integrale particolare, è necessario assegnare, per ogni valore di x, la posizione iniziale:
$u(x,0)=\varphi(x)$
e la velocità iniziale:
$(delu)/(delt)(x,0)=\varphi_1(x)$
Tra l'altro, se le due funzioni che esprimono i dati iniziali sono sufficientemente regolari, esiste anche una formula che consente di determinare direttamente l'integrale particolare:
$u(x,t)=(\varphi(x-vt)+\varphi(x+vt))/2+1/(2v)\int_{x-vt}^{x+vt}\varphi_1(z)dz$
Ciao e grazie per la risposta!
Se ti va volevo chiederti se possiamo andare un po' per passi dato che ho alcune domande e farei un pasticcio a dire tutto assieme. Inizio con due...
(prima domanda)
Allora, partendo dal tuo esempio:
Ok, sottolineando il fatto che, solo per fare un esempio, l'integrale generale dell'equazione differenziale sottostante:
è combinazione lineare:
non di due funzioni generiche, piuttosto, di due funzioni precise:
Ricominciando daccapo: il teorema di esistenza e unicità afferma che ci sono tante soluzioni quante le condizioni iniziali. E fin qui ci sono.
Ora, io ho quindi i due parametri A e B che determino con i DUE dati iniziali e di conseguenza due funzioni indipendenti dato che ho "due soluzioni" per questo tipo di equazione.
Qui invece non ho due parametri A e B, quindi dove impongo le condizioni iniziali? Non capisco gli omologhi di A e B dove siano in tal caso.
(seconda domanda)
Dicevi che non ha senso parlare di soluzioni linearmente indipendenti, tuttavia parliamo proprio di L.I, sono un po' confusa sul perché dici essere sbagliato.
Potresti chiarimri cosa volevi dirmi?
Se ti va volevo chiederti se possiamo andare un po' per passi dato che ho alcune domande e farei un pasticcio a dire tutto assieme. Inizio con due...
(prima domanda)
Allora, partendo dal tuo esempio:
"anonymous_0b37e9":
[quote="saltimbanca"]
... per le equazioni differenziali ordinarie lineari, è possibile scrivere la soluzione come combinazione lineare di n soluzioni indipendenti ...
Ok, sottolineando il fatto che, solo per fare un esempio, l'integrale generale dell'equazione differenziale sottostante:
$ddoty+4y=0$
è combinazione lineare:
$y=Acos2x+Bsin2x$
non di due funzioni generiche, piuttosto, di due funzioni precise:
$[y_1=cos2x] ^^ [y_2=sin2x]$
[/quote]Ricominciando daccapo: il teorema di esistenza e unicità afferma che ci sono tante soluzioni quante le condizioni iniziali. E fin qui ci sono.
Ora, io ho quindi i due parametri A e B che determino con i DUE dati iniziali e di conseguenza due funzioni indipendenti dato che ho "due soluzioni" per questo tipo di equazione.
... le tipiche due soluzioni:
$f(x-vt)$
$f(x+vt)$
legate da due parametri. In particolare esse sono linearmente indipendenti e ne faccio quindi una combinazione lineare ...
Intanto, trattandosi di due funzioni generiche diverse, non dovresti usare lo stesso simbolo f. Inoltre, non si comprende quali siano i due parametri di cui parli. Ad ogni modo, quando si esprime l'integrale generale:
$u(x,t)=f(x-vt)+g(x+vt)$
Qui invece non ho due parametri A e B, quindi dove impongo le condizioni iniziali? Non capisco gli omologhi di A e B dove siano in tal caso.
(seconda domanda)
Dicevi che non ha senso parlare di soluzioni linearmente indipendenti, tuttavia parliamo proprio di L.I, sono un po' confusa sul perché dici essere sbagliato.
Potresti chiarimri cosa volevi dirmi?
"saltimbanca":
... il teorema di esistenza e unicità afferma che ci sono tante soluzioni quante le condizioni iniziali ...
Veramente, non ricordo un solo manuale in cui sia enunciato così. Ad ogni modo, se l'integrale generale dipende da due costanti arbitrarie $c_1$ e $c_2$:
$y(t)=c_1y_1(t)+c_2y_2(t)$
poiché $y_1(t)$ e $y_2(t)$ sono due qualsiasi integrali particolari linearmente indipendenti, esistono $oo^2$ soluzioni in "corrispondenza biunivoca" con i dati iniziali, tipicamente $y_0$ e $y'_0$:
$[y(0)=y_0] ^^ [y'(0)=y'_0]$
"saltimbanca":
... dove impongo le condizioni iniziali?
Premesso che si tratta di un'equazione differenziale alle derivate parziali, si dice che l'integrale generale dipende da due funzioni arbitrarie, non da due costanti arbitrarie. Nella formula:
$u(x,t)=(\varphi(x-vt)+\varphi(x+vt))/2+1/(2v)\int_{x-vt}^{x+vt}\varphi_1(z)dz$
le due funzioni arbitrarie sono $\varphi(x)$ e $\varphi_1(x)$. Ad ogni modo, le equazioni differenziali alle derivate parziali sono più complesse di quelle ordinarie.
"saltimbanca":
Dicevi che non ha senso parlare di soluzioni linearmente indipendenti ...
Intanto, mi stavo riferendo alle equazioni differenziali alle derivate parziali, non a quelle ordinarie. Ad ogni modo, ciò che volevo dire è che, avendo introdotto due funzioni arbitrarie:
$[f(x)] ^^ [g(x)]$
non ha alcuna importanza introdurre il concetto di lineare indipendenza. Per esempio, nella formula di cui sopra puoi determinare l'integrale particolare avendo due funzioni linearmente indipendenti:
$[\varphi(x)=cosx] ^^ [\varphi_1(x)=sinx]$
ma anche avendo due funzioni dipendenti:
$[\varphi(x)=2cosx] ^^ [\varphi_1(x)=3cosx]$
al limite, anche avendo due funzioni uguali:
$[\varphi(x)=cosx] ^^ [\varphi_1(x)=cosx]$
Insomma, ciò che volevo dire è che non è questo il punto. Spero di essermi spiegato. Non vorrei che, per mancanza di esperienza, tu stessi facendo un po' di confusione.
Sì diciamo che purtroppo si affronta la fisica delle onde senza una vera base sulle equazioni differenziali alle derivate parizali, quindi mi sembra di andare a fare ragionamenti naif che mi lasciano molto con l'amaro in bocca.
Mi scuso se in realtà ero stata poco chiara almeno sull'equazione differenziale più semplice ordinaria, ma lì si, quando dici mi torna ed era quello che volevo riassumere nella mia frase maldestra di una riga... e ancora sì in effetti non avevo capito ti riferissi alla non LI di quelle alle derivate parziali. Credo questa sia una grave pecca della triennale di fisica (non conosco un collega/studente che le abbia mai trattate in vari atenei).
Siccome ora mi è chiaro quanto volevo capire della tua spiegazione vorrei poter provare ad affrontare il 3 dubbio, sempre dal basso delle mie conoscenze attuali e per quanto posso capire.
Il libro e le dispense dicono che l'utilizzo della scomposizione in serie (o anche trasformata) di fourier è fattibile per via della linearità dell'equazione di d'Alembert, e tutto questo dubbio era nato dal fatto che come dicevi avevo creato un parallelismo con le edo e ritenevo la dimensionalità dello spazio delle soluzioni di una equazione differenziale lineare alle derivate parziali: n, se n è l'ordine della mia equazione differenziale.
Quindi il mio dubbio era, se l'equazione di d'Alembert è di 2 ordine ipotizzavo di poterla scrivere come combinazione di due funzioni LI (al pari della edo, ma ciò non è vero da quanto mi hai detto) e mi chiedevo: se io sommo nella serie di Fourier infinite funzioni linearmente indipendenti con il proprio coefficiente di fourier come fa a mantenersi la dimensionalità 2 nello spazio delle soluzioni?
Capito questo errore però non capisco comunque perché il manuale dice che "data la linearità della equazione di d'Alembert (quindi la somma di due soluzioni è ancora una soluzione) allora posso scomporre qualsiasi funzione (soprassedendo ora sulle condizioni di convergenza ecc) in serie o integrale di Fourier".
Ciò che mi puzza è che ogni termine di tale serie non è di fatto soluzione dell'eqauzione alle derivate parziali, quindi non è per una questione di linearità che posso sfruttare fourier, per questo mi sembra un errore quello riportato dal libro.
Però non so bene come affrontare con rigore la cosa, dato che di fatto non ne ho le basi (ovviamente approfondirò da sola, ma per ora non le ho).
Mi scuso se in realtà ero stata poco chiara almeno sull'equazione differenziale più semplice ordinaria, ma lì si, quando dici mi torna ed era quello che volevo riassumere nella mia frase maldestra di una riga... e ancora sì in effetti non avevo capito ti riferissi alla non LI di quelle alle derivate parziali. Credo questa sia una grave pecca della triennale di fisica (non conosco un collega/studente che le abbia mai trattate in vari atenei).
Siccome ora mi è chiaro quanto volevo capire della tua spiegazione vorrei poter provare ad affrontare il 3 dubbio, sempre dal basso delle mie conoscenze attuali e per quanto posso capire.
Il libro e le dispense dicono che l'utilizzo della scomposizione in serie (o anche trasformata) di fourier è fattibile per via della linearità dell'equazione di d'Alembert, e tutto questo dubbio era nato dal fatto che come dicevi avevo creato un parallelismo con le edo e ritenevo la dimensionalità dello spazio delle soluzioni di una equazione differenziale lineare alle derivate parziali: n, se n è l'ordine della mia equazione differenziale.
Quindi il mio dubbio era, se l'equazione di d'Alembert è di 2 ordine ipotizzavo di poterla scrivere come combinazione di due funzioni LI (al pari della edo, ma ciò non è vero da quanto mi hai detto) e mi chiedevo: se io sommo nella serie di Fourier infinite funzioni linearmente indipendenti con il proprio coefficiente di fourier come fa a mantenersi la dimensionalità 2 nello spazio delle soluzioni?
Capito questo errore però non capisco comunque perché il manuale dice che "data la linearità della equazione di d'Alembert (quindi la somma di due soluzioni è ancora una soluzione) allora posso scomporre qualsiasi funzione (soprassedendo ora sulle condizioni di convergenza ecc) in serie o integrale di Fourier".
Ciò che mi puzza è che ogni termine di tale serie non è di fatto soluzione dell'eqauzione alle derivate parziali, quindi non è per una questione di linearità che posso sfruttare fourier, per questo mi sembra un errore quello riportato dal libro.
Però non so bene come affrontare con rigore la cosa, dato che di fatto non ne ho le basi (ovviamente approfondirò da sola, ma per ora non le ho).
"saltimbanca":
... ogni termine di tale serie non è, di fatto, soluzione dell'equazione alle derivate parziali, quindi, non è per una questione di linearità che posso sfruttare Fourier ...
Non ho capito perché il singolo termine della serie non sarebbe soluzione dell'equazione. Ad ogni modo, prova a dare un'occhiata a pagina 4 della risorsa sottostante:
http://www.mat.unimi.it/users/gaeta/FM2/fo_onde.pdf
quando determina i coefficienti della serie di Fourier che rappresenta la soluzione confrontandoli con quelli delle serie di Fourier che rappresentano i dati iniziali.
Non ho capito perché il singolo termine della serie non sarebbe soluzione dell'equazione.
In effetti credo fosse un retaggio del fatto che come dicevo vedevo lo spazio delle soluzioni di quella equazione di dimensione almeno finita[nota]anche se non 2 come per quelle ordinarie[/nota], mentre, essendo ogni singolo termine della serie una somma su una base (trigonometrica), la ritenevo di infinite funzioni L.I. quindi se tutte fossero state soluzioni avrei ottenuto uno spazio di dimensione infinita. Questo mi portava a dire non lo fossero.
Ti ringrazio per il link, ora lo leggo. E infatti è del dip. di matematica
... non trovo mai una risorsa valida spulciando i siti delle uni di fisica su tali argomenti.
Scusate se mi intrometto, ma la discussione ha attirato il mio interesse e ha creato dei dubbi perché anche io ho lo stesso problema di poche basi solide su questo tipo di equazioni differenziali alle derivate parziali e seguo un cdl di fisica e inevitabilmente mi trovo ad affrontare il primo corso di onde nel biennio (quindi si ha analisi 1, analisi 2 e metodi matematici in cui si affrenta analisi complessa e fourier ma di queste equazioni nessuna traccia).
Ho aspettato un po' per vedere se evolvesse la discossione ma vedo che si è spenta e vorrei porre la mia domanda.
Come diceva l'OP nell'equazione delle onde abbiamo per soluzione generale $f(x+vt)+g(x-vt)$ (1), tuttavia anche pacchetti d'onda ne sono soluzione e ovviamente non sono rappresentabili come (1) ma si sfrutta l'analisi di fourier. Il dubbio che mi avete fatto sorgere è però, come può essere il pacchetto soluzione d i D'Alembert se la soluzione generale è (1), allora si mente e (1) non è generale perché dovrebbe contenere quella del pacchetto d'onde ma evidentemente non è così[nota]la generale dovrebbe essere uno sviluppo di fourier generico allora?[/nota]. Di solito si giustifica per la linearità dell'equazione, ma in che senso? E poi in che senso sergeant dice che ogni singolo "addendo" della serie è soluzione dell'equazione? (a me non pare, o almeno non per i dati iniziali, è la somma della serie che è soluzione per quel tipo di dati iniziali che genera il pacchetto d'onde).
Spero in qualcuno (sergeant?) che abbia voglia di spiegare queste cose in modo utile per un corso di onde, vi ringrazio
Ho aspettato un po' per vedere se evolvesse la discossione ma vedo che si è spenta e vorrei porre la mia domanda.
Come diceva l'OP nell'equazione delle onde abbiamo per soluzione generale $f(x+vt)+g(x-vt)$ (1), tuttavia anche pacchetti d'onda ne sono soluzione e ovviamente non sono rappresentabili come (1) ma si sfrutta l'analisi di fourier. Il dubbio che mi avete fatto sorgere è però, come può essere il pacchetto soluzione d i D'Alembert se la soluzione generale è (1), allora si mente e (1) non è generale perché dovrebbe contenere quella del pacchetto d'onde ma evidentemente non è così[nota]la generale dovrebbe essere uno sviluppo di fourier generico allora?[/nota]. Di solito si giustifica per la linearità dell'equazione, ma in che senso? E poi in che senso sergeant dice che ogni singolo "addendo" della serie è soluzione dell'equazione? (a me non pare, o almeno non per i dati iniziali, è la somma della serie che è soluzione per quel tipo di dati iniziali che genera il pacchetto d'onde).
Spero in qualcuno (sergeant?) che abbia voglia di spiegare queste cose in modo utile per un corso di onde, vi ringrazio
"pegasu":
Come diceva l'OP nell'equazione delle onde abbiamo per soluzione generale $f(x+vt)+g(x-vt)$ (1), tuttavia anche pacchetti d'onda ne sono soluzione e ovviamente non sono rappresentabili come (1) ma si sfrutta l'analisi di fourier. Il dubbio che mi avete fatto sorgere è però, come può essere il pacchetto soluzione d i D'Alembert se la soluzione generale è (1), allora si mente e (1) non è generale perché dovrebbe contenere quella del pacchetto d'onde ma evidentemente non è così
non c'è contraddizione. Anche un pacchetto d'onda che evolve secondo l'equazione di d'alambert è rappresentabile come f(x - vt) (ad es supponendo che abbia solo modi ad impulso positivi). Questa è una conseguenza banale dell'equazione, che predice appunto che una perturbazione trasla senza deformazione nel mezzo alla velocità di propagazione della perturbazione.
Basta svolgere qualche conto dell'integrale di sovrapposizione per rendersene conto (non lo faccio, ma cito wiki che lo fa https://en.wikipedia.org/wiki/Wave_equa ... eigenmodes)
Ben diverso il caso del moto in un mezzo dispersivo, cioé in cui ogni modo propaga con una velocità diversa (ad esempio l'equ. di Klein-Gordon): qui il pacchetto d'onda trasla, modificando la sua forma e non si può esprimere come f(x - vt) + g(x + vt) ma questa è tutta un'altra storia ...
Prima di tutto, sarebbe meglio chiarire il punto sottostante:
Non ho capito il motivo per cui un pacchetto d'onda non sarebbe rappresentabile come sopra. Che cosa intendi per pacchetto d'onda? Voglio dire, $u(x,0)=\varphi(x)$ può essere una funzione qualsiasi, periodica (serie di Fourier) oppure non periodica (trasformata di Fourier). Solo per fare un esempio, $u_t(x,0)=\varphi_1(x)$ può essere scelta in modo tale che $u(x,0)=\varphi(x)$ si propaghi, senza deformarsi, verso destra oppure verso sinistra, facendo sopravvivere uno solo dei due termini.
Se si vuole che:
si propaghi verso destra senza distorsioni:
basta imporre opportunamente l'ulteriore condizione iniziale:
Infatti:
Se si vuole che:
si propaghi verso sinistra senza distorsioni:
basta imporre opportunamente l'ulteriore condizione iniziale:
Infatti:
Nel caso generale, quando $u_t(x,0)=\varphi_1(x)$ non rientra nei due casi di cui sopra, $u(x,0)=\varphi(x)$, pur deformandosi nel corso della propagazione, è sempre esprimibile come:
Ad ogni modo, nel trattare l'evoluzione temporale di un pacchetto d'onda, non vorrei che tu stessi facendo un po' di confusione in merito ai punti sottostanti:
1. Equazione delle onde.
2. Equazione di Schrodinger.
3. Dispersione.
4. Velocità di fase.
5. Velocità di gruppo.
"pegasu":
Come diceva l'OP, nell'equazione delle onde abbiamo, per soluzione generale:
$f(x-vt)+g(x+vt)$ (1)
tuttavia, anche pacchetti d'onda ne sono soluzione e ovviamente non sono rappresentabili come (1) ma si sfrutta l'analisi di Fourier.
Non ho capito il motivo per cui un pacchetto d'onda non sarebbe rappresentabile come sopra. Che cosa intendi per pacchetto d'onda? Voglio dire, $u(x,0)=\varphi(x)$ può essere una funzione qualsiasi, periodica (serie di Fourier) oppure non periodica (trasformata di Fourier). Solo per fare un esempio, $u_t(x,0)=\varphi_1(x)$ può essere scelta in modo tale che $u(x,0)=\varphi(x)$ si propaghi, senza deformarsi, verso destra oppure verso sinistra, facendo sopravvivere uno solo dei due termini.
Caso 1: verso destra
Se si vuole che:
$u(x,0)=\varphi(x)$
si propaghi verso destra senza distorsioni:
$u(x,t)=\varphi(x-vt)$
basta imporre opportunamente l'ulteriore condizione iniziale:
$u_t(x,0)=\varphi_1(x)=-v*\varphi'(x)$
Infatti:
$u(x,t)=(\varphi(x-vt)+\varphi(x+vt))/2+1/(2v)\int_{x-vt}^{x+vt}\varphi_1(z)dz rarr$
$rarr u(x,t)=(\varphi(x-vt)+\varphi(x+vt))/2-1/2\int_{x-vt}^{x+vt}\varphi'(z)dz rarr$
$rarr u(x,t)=(\varphi(x-vt)+\varphi(x+vt))/2-(\varphi(x+vt)-\varphi(x-vt))/2 rarr$
$rarr u(x,t)=\varphi(x-vt)$
Caso 2: verso sinistra
Se si vuole che:
$u(x,0)=\varphi(x)$
si propaghi verso sinistra senza distorsioni:
$u(x,t)=\varphi(x+vt)$
basta imporre opportunamente l'ulteriore condizione iniziale:
$u_t(x,0)=\varphi_1(x)=v*\varphi'(x)$
Infatti:
$u(x,t)=(\varphi(x-vt)+\varphi(x+vt))/2+1/(2v)\int_{x-vt}^{x+vt}\varphi_1(z)dz rarr$
$rarr u(x,t)=(\varphi(x-vt)+\varphi(x+vt))/2+1/2\int_{x-vt}^{x+vt}\varphi'(z)dz rarr$
$rarr u(x,t)=(\varphi(x-vt)+\varphi(x+vt))/2+(\varphi(x+vt)-\varphi(x-vt))/2 rarr$
$rarr u(x,t)=\varphi(x+vt)$
Nel caso generale, quando $u_t(x,0)=\varphi_1(x)$ non rientra nei due casi di cui sopra, $u(x,0)=\varphi(x)$, pur deformandosi nel corso della propagazione, è sempre esprimibile come:
$f(x-vt)+g(x+vt)$
Ad ogni modo, nel trattare l'evoluzione temporale di un pacchetto d'onda, non vorrei che tu stessi facendo un po' di confusione in merito ai punti sottostanti:
1. Equazione delle onde.
2. Equazione di Schrodinger.
3. Dispersione.
4. Velocità di fase.
5. Velocità di gruppo.
Per toccare con mano l'equivalenza dei due metodi:
In definitiva, come era lecito aspettarsi, la soluzione contempla solo onde armoniche progressive e i coefficienti della sovrapposizione sono uguali a quelli della condizione iniziale:
Equazione d'onda
$u_(t t)(x,t)-v^2u_(x x)(x,t)=0$
Condizioni iniziali
$u(x,0)=\varphi(x)$
$u_t(x,0)=\varphi_1(x)=-v*\varphi'(x)$
Metodo 1: formula di d'Alembert
$u(x,t)=(\varphi(x-vt)+\varphi(x+vt))/2+1/(2v)\int_{x-vt}^{x+vt}\varphi_1(z)dz rarr$
$rarr u(x,t)=(\varphi(x-vt)+\varphi(x+vt))/2-1/2\int_{x-vt}^{x+vt}\varphi'(z)dz rarr$
$rarr u(x,t)=(\varphi(x-vt)+\varphi(x+vt))/2-(\varphi(x+vt)-\varphi(x-vt))/2 rarr$
$rarr u(x,t)=\varphi(x-vt)$
Metodo 2: analisi di Fourier
Soluzione fondamentale: onda armonica progressiva
$[u_k(x,t)=a_(k)^(-)cos(kx-\omegat)+b_(k)^(-)sin(kx-\omegat)] ^^ [\omega=vk]$
Soluzione fondamentale: onda armonica regressiva
$[u_k(x,t)=a_(k)^(+)cos(kx+\omegat)+b_(k)^(+)sin(kx+\omegat)] ^^ [\omega=vk]$
Prima fase
Soluzione generale: sovrapposizione delle soluzioni fondamentali
$u(x,t)=\sum_{k}a_(k)^(-)cos(kx-\omegat)+b_(k)^(-)sin(kx-\omegat)+a_(k)^(+)cos(kx+\omegat)+b_(k)^(+)sin(kx+\omegat)$
Condizioni iniziali
$u(x,0)=\sum_{k}a_(k)^(-)cos(kx)+b_(k)^(-)sin(kx)+a_(k)^(+)cos(kx)+b_(k)^(+)sin(kx) rarr$
$rarr u(x,0)=\sum_{k}(a_(k)^(-)+a_(k)^(+))cos(kx)+(b_(k)^(-)+b_(k)^(+))sin(kx)$
$u_t(x,0)=\sum_{k}\omegaa_(k)^(-)sin(kx)-\omegab_(k)^(-)cos(kx)-\omegaa_(k)^(+)sin(kx)+\omegab_(k)^(+)cos(kx) rarr$
$rarr u_t(x,0)=\omega\sum_{k}(-b_(k)^(-)+b_(k)^(+))cos(kx)+(a_(k)^(-)-a_(k)^(+))sin(kx)$
Seconda fase
Condizioni iniziali
$u(x,0)=\varphi(x)=\sum_{k}\alpha_(k)cos(kx)+\beta_(k)sin(kx)$
$u_t(x,0)=-v*\varphi'(x)=\omega\sum_{k}-\beta_(k)cos(kx)+\alpha_(k)sin(kx)$
Terza fase
$\{(a_(k)^(-)+a_(k)^(+)=\alpha_(k)),(b_(k)^(-)+b_(k)^(+)=\beta_(k)),(-b_(k)^(-)+b_(k)^(+)=-\beta_(k)),(a_(k)^(-)-a_(k)^(+)=\alpha_(k)):} rarr \{(a_(k)^(-)=\alpha_(k)),(b_(k)^(-)=\beta_(k)),(a_(k)^(+)=0),(b_(k)^(+)=0):} rarr u(x,t)=\sum_{k}\alpha_(k)cos(kx-\omegat)+\beta_(k)sin(kx-\omegat)$
In definitiva, come era lecito aspettarsi, la soluzione contempla solo onde armoniche progressive e i coefficienti della sovrapposizione sono uguali a quelli della condizione iniziale:
$u(x,0)=\sum_{k}\alpha_(k)cos(kx)+\beta_(k)sin(kx)$
Ringrazio per la risposta e credo dovrò ragionarsi su un po' prima di capire bene dato che non ho mai affrontato il vero discorso della soluzione.
Vorrei però chiedere una cosa nel frattempo: il mio dubbio era piuttosto semplice, quello che volevo dire è che sappiamo che la soluzione generale è $f(x-vt)+g(x-vt)$.
Poi si dice che può essere una soluzione $sin(kx+-omwgat)$ sinusoidale.
Quello che non capisco è cosa decidesse la forma dell'onda partendo dall'equazione differenziale, la forma è data dalle condizioni iniziale? Cosa decide se è sinusoidale o una soluzione differente (esempio una f diversa dalla sinusoidale)?
Questo non mi era chiaro
Vorrei però chiedere una cosa nel frattempo: il mio dubbio era piuttosto semplice, quello che volevo dire è che sappiamo che la soluzione generale è $f(x-vt)+g(x-vt)$.
Poi si dice che può essere una soluzione $sin(kx+-omwgat)$ sinusoidale.
Quello che non capisco è cosa decidesse la forma dell'onda partendo dall'equazione differenziale, la forma è data dalle condizioni iniziale? Cosa decide se è sinusoidale o una soluzione differente (esempio una f diversa dalla sinusoidale)?
Questo non mi era chiaro
"pegasu":
... la forma è data dalle condizioni iniziali?
Certamente. Nell'equazione delle onde, essendo del secondo ordine nella variabile temporale, dall'ampiezza e dalla sua derivata temporale, entrambe dipendenti da x, all'istante iniziale. Nell'equazione di Schrodinger, essendo del primo ordine nella variabile temporale, solo dall'ampiezza, dipendente da x, all'istante iniziale.
Ti ringrazio molto, invece mi chiedevo. Il mio libro dice anche "Data la linearità della equazione, la somma di funzioni sinusoidali con diversi numeri d’onda e' ancora soluzione", ebbene. Il dubbio che dicevo nella pagina precedente nasce proprio qui:
io ho f e g generiche funzoni, io per condizioni iniziali (come dicevi nell'ultimo messaggio) trovo che f e g sono sinusoidi ad esempio, le classiche $sin(kx+-\omegat)$, però quali altri parametri iniziali mi fanno decidere che le funzioni soluzione abbiano diversi numeri d'onda? (è poi da qui che dice che possiamo usare fourier come somma sul continuo di coefficienti dipendenti dal n. d'onda). Perché se io ho soluzione $f(x+vt)$ data dai dati iniziali, allora i singoli termi di fuorier non sono soluzione per quei stessi dati iniziali, solo la loro somma lo sarà, somma che rappresenta proprio la soluzione f. Non so se mi sono spiegato ma è questo passaggio che non capisco, cioè non capisco come faccio a dire che una soluzione abbia diversi numeri d'onda. Io mi aspetto solo due funzoni soluzione non infinite della serie di fourier.
Ovviamente capito spannometricamente questo devo capire la tua risposta rigorosa di prima, ma prima devo cercare fonti che mi spieghino bene la faccenda dato che non ho capito molto non avedno basi a riguardo. Mi ci vorrà un po' di tempo
In realtà mi fermo a D'Alembert poiché sono al secondo anno e non ho ancora visto schrodinger e non ho idea di come funzioni.
io ho f e g generiche funzoni, io per condizioni iniziali (come dicevi nell'ultimo messaggio) trovo che f e g sono sinusoidi ad esempio, le classiche $sin(kx+-\omegat)$, però quali altri parametri iniziali mi fanno decidere che le funzioni soluzione abbiano diversi numeri d'onda? (è poi da qui che dice che possiamo usare fourier come somma sul continuo di coefficienti dipendenti dal n. d'onda). Perché se io ho soluzione $f(x+vt)$ data dai dati iniziali, allora i singoli termi di fuorier non sono soluzione per quei stessi dati iniziali, solo la loro somma lo sarà, somma che rappresenta proprio la soluzione f. Non so se mi sono spiegato ma è questo passaggio che non capisco, cioè non capisco come faccio a dire che una soluzione abbia diversi numeri d'onda. Io mi aspetto solo due funzoni soluzione non infinite della serie di fourier.
Ovviamente capito spannometricamente questo devo capire la tua risposta rigorosa di prima, ma prima devo cercare fonti che mi spieghino bene la faccenda dato che non ho capito molto non avedno basi a riguardo. Mi ci vorrà un po' di tempo
In realtà mi fermo a D'Alembert poiché sono al secondo anno e non ho ancora visto schrodinger e non ho idea di come funzioni.
"pegasu":
... io, per condizioni iniziali, trovo che f e g sono sinusoidi ...
In che senso? Voglio dire, il fatto che $f$ e $g$:
$u(x,t)=f(x-vt)+g(x+vt)$
siano sinusoidi dipende dalle condizioni iniziali. Tanto è vero che $f$ e $g$ sono funzioni generiche. Solo per fare un esempio:
$u(x,t)=3(x-vt)^2+2(x+vt)^3$
Forse continuo a non capire il tuo dubbio.
Sì, perdonami, molto probabilmente mi spiego male io... o forse sto dicendo solo cavolate; tuttavia mi sembrano razionalmente corrette per questo non riesco a individuare dove sbaglio.
Quello che hai detto mi torna. Quindi posso affermare che il dubbio non sta lì, vediamo se riesco a esprimermi meglio
$u(x,t)=f(x−vt)+g(x+vt)$ è la soluzione generale, una specifica soluzione data dalle condizioni iniziali è quella sinusoidale regressiva e progressiva che solitamente scriviamo $u(x,t)=sin(kx-\omegat)$. Fin qui nulla di strano.
I miei problemi iniziano quando il libro dice che "data la linearità della equazione, la somma di funzioni sinusoidali con diversi numeri d’onda e' ancora soluzione", l'idea di fondo è che prende l'antitrasformata di fourier e la vede come "combinazione lineare continua"[nota]detto informalmente a parole[/nota] di seni e coseni con $k_n$ via via diversi. La linearità dell'equazione delle onde dice che garantisce che questa somma (combinazione lineare) di soluzioni sia ancora soluzione poiché singolarmente ongi seno e coseno (o ogni esponenziale) è soluzione. (qui sorge il problema).
Ora, sostanzialmente va a scrivere una soluzione di un problema di cauchy che ci dà per soluzione una specifica funzione h: $h(x,t)$ (che sia seno o qualunque altra funzione, come dicevamo) in termini di esponenziali della trasformata di fourier (dove tali esponenziali sono la base trigonometrica su cui scompongo la generica soluzione h).
Quello che mi lascia però stupito è che dica che tali $A(k) e^(i(kx−omegat))$[nota]integrando di $1/sqrt(2pi)int_(-oo)^(+oo)A(k) e^(i(kx−omegat))dk$[/nota] siano ancora soluzione dell'equazione di d'alembert, è questo che mica mi torna tanto: gli esponenziali (o i seni e coseni se considero la base trigonometrica) sono soluzioni è vero, ma non sono soluzioni di quel problema di cauchy che mi dà per soluzione h(x,t). E' la completa composizione (l'integrale dell'antitrasformata ad esserne soluzione) ad essere soluzione (cioè h) non il singolo termine dell'antitrasformata.
I singoli $A(k) e^(i(kx−omegat))$ sono soluzioni di un problema di cauchy diverso da quello che mi dava h(x,t), infatti h(x,t) è data da condizioni iniziali.
Quindi mi sembra improprio dire: $A(k) e^(i(kx−omegat))$ sono soluzione presi singolarmente, sono in generale soluzioni di d'alembert ma non del problema di cauchy in essere, mi sembra.
Quello che hai detto mi torna. Quindi posso affermare che il dubbio non sta lì, vediamo se riesco a esprimermi meglio
$u(x,t)=f(x−vt)+g(x+vt)$ è la soluzione generale, una specifica soluzione data dalle condizioni iniziali è quella sinusoidale regressiva e progressiva che solitamente scriviamo $u(x,t)=sin(kx-\omegat)$. Fin qui nulla di strano.
I miei problemi iniziano quando il libro dice che "data la linearità della equazione, la somma di funzioni sinusoidali con diversi numeri d’onda e' ancora soluzione", l'idea di fondo è che prende l'antitrasformata di fourier e la vede come "combinazione lineare continua"[nota]detto informalmente a parole[/nota] di seni e coseni con $k_n$ via via diversi. La linearità dell'equazione delle onde dice che garantisce che questa somma (combinazione lineare) di soluzioni sia ancora soluzione poiché singolarmente ongi seno e coseno (o ogni esponenziale) è soluzione. (qui sorge il problema).
Ora, sostanzialmente va a scrivere una soluzione di un problema di cauchy che ci dà per soluzione una specifica funzione h: $h(x,t)$ (che sia seno o qualunque altra funzione, come dicevamo) in termini di esponenziali della trasformata di fourier (dove tali esponenziali sono la base trigonometrica su cui scompongo la generica soluzione h).
Quello che mi lascia però stupito è che dica che tali $A(k) e^(i(kx−omegat))$[nota]integrando di $1/sqrt(2pi)int_(-oo)^(+oo)A(k) e^(i(kx−omegat))dk$[/nota] siano ancora soluzione dell'equazione di d'alembert, è questo che mica mi torna tanto: gli esponenziali (o i seni e coseni se considero la base trigonometrica) sono soluzioni è vero, ma non sono soluzioni di quel problema di cauchy che mi dà per soluzione h(x,t). E' la completa composizione (l'integrale dell'antitrasformata ad esserne soluzione) ad essere soluzione (cioè h) non il singolo termine dell'antitrasformata.
I singoli $A(k) e^(i(kx−omegat))$ sono soluzioni di un problema di cauchy diverso da quello che mi dava h(x,t), infatti h(x,t) è data da condizioni iniziali.
Quindi mi sembra improprio dire: $A(k) e^(i(kx−omegat))$ sono soluzione presi singolarmente, sono in generale soluzioni di d'alembert ma non del problema di cauchy in essere, mi sembra.
Mi ero dimenticato di rispondere esplicitamente al dubbio sottostante, contenuto nel tuo primo messaggio:
Se ho capito bene, stai riproponendo il medesimo dubbio. In questo caso, hai sicuramente ragione. Quando si dice che la singola armonica è soluzione dell'equazione d'onda, non ci si preoccupa delle condizioni iniziali che ne avrebbero fatto l'unica soluzione di un qualche problema di Cauchy. Semplicemente perché, tipicamente, non è quello il problema di Cauchy che si sta affrontando. Insomma, come hai giustamente osservato, è la serie o l'integrale che devono soddisfare le condizioni iniziali in esame.
"pegasu":
E poi, in che senso @anonymous_0b37e9 dice che ogni singolo "addendo" della serie è soluzione dell'equazione? A me non pare, o almeno non per i dati iniziali, è la somma della serie che è soluzione per quel tipo di dati iniziali che genera il pacchetto d'onde.
Se ho capito bene, stai riproponendo il medesimo dubbio. In questo caso, hai sicuramente ragione. Quando si dice che la singola armonica è soluzione dell'equazione d'onda, non ci si preoccupa delle condizioni iniziali che ne avrebbero fatto l'unica soluzione di un qualche problema di Cauchy. Semplicemente perché, tipicamente, non è quello il problema di Cauchy che si sta affrontando. Insomma, come hai giustamente osservato, è la serie o l'integrale che devono soddisfare le condizioni iniziali in esame.
Se ho capito bene, stai riproponendo il medesimo dubbio.
[...]
Quando si dice che la singola armonica è soluzione dell'equazione d'onda, non ci si preoccupa delle condizioni iniziali
Sì, esattamente quello era il mio dubbio. Stavo riproponendolo e ampiandolo per farmi capire meglio dato che mi ero spiegato maluccio, ma l'idea[nota]cioè il dubbio fin dall'inizio[/nota] era che fosse soluzione dell'equazione ma non del problema di cauchy (però nessun autore che ho letto lo dice esplicitamente e non viene mai trattata, come dice saltimbanca, nei testi base. Da qui il dubbio). Che poi se ho ben capito era la domanda dell'OP e ne sono andato a nozze perché era qualcosa che serpeggiava da qualche giorno anche nelle mie idee.
Ora devo capire le tue precedenti risposte. Per quello ci metterò di più perché credo mi manchi appunto qualche base maggiore di matematica per giungere alla dimostrazione della tua formula. ma mi ha intrigato.
Ti ringrazio per la tua gentilezza e l'aiuto
.
"pegasu":
... esattamente quello era il mio dubbio.
Meno male. Buon proseguimento.
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