Onde armoniche
Ciao a tutti
Questo è un esercizio di esame passato con relativo svolgimento.
Ma ho due dubbi.
Il primo è di carattere generale
Solitamente quando scrivo l'equazione di un onda armonica io uso la funzione con il seno (cosa che avevo fatto anche in questo caso) ed infatti derivando rispetto al tempo la velocità l'ho trovata in funzione del coseno.
Da cosa dipende quando imposto l'equazione se usare seno o coseno?
In questo caso sarebbe stato indifferente in quanto comunque dovevo trovare i valori massimi ma in molti problemi il seno/coseno li porto avanti e quindi vorrei capire quando usare l'uno e quando l'altro.
Il secondo dubbio è per calcolare il tempo t*
Non riesco a capire perché il tempo t(0) venga impostato come periodo/4
Grazie in anticipo
Questo è un esercizio di esame passato con relativo svolgimento.
Ma ho due dubbi.
Il primo è di carattere generale
Solitamente quando scrivo l'equazione di un onda armonica io uso la funzione con il seno (cosa che avevo fatto anche in questo caso) ed infatti derivando rispetto al tempo la velocità l'ho trovata in funzione del coseno.
Da cosa dipende quando imposto l'equazione se usare seno o coseno?
In questo caso sarebbe stato indifferente in quanto comunque dovevo trovare i valori massimi ma in molti problemi il seno/coseno li porto avanti e quindi vorrei capire quando usare l'uno e quando l'altro.
Il secondo dubbio è per calcolare il tempo t*
Non riesco a capire perché il tempo t(0) venga impostato come periodo/4
Grazie in anticipo
Risposte
Rispondo alla seconda domanda.
L'esercizio ti chiede a quale tempo la sorgente emetta la frequenza massima
La funzione è questa:
$nu=nu_0v_s/(v_s-(omegaL)/2*sin(omega*t))$
Dovremmo quindi avere che la parte contente la funzione seno sia massima (ha il segno meno davanti e quindi minimizza il denominatore).
$sin(omega*t)=1rArr omega*t=pi/2rArrt=pi/(2omega)$
Usando la relazione che lega il periodo alla pulsazione $T=(2pi)/omega$ e sostituendo otteniamo
$t=(2*pi)/(2*(2omega))=T/4$
Invece per quanto riguarda la prima non ci dovrebbero essere differenze nell'usare una funzione seno o coseno nel caso delle onde armoniche quando non si hanno particolari condizioni al contorno. Per esempio il mio libro metteva seno e il professore alla lavagna metteva coseno.
L'esercizio ti chiede a quale tempo la sorgente emetta la frequenza massima
La funzione è questa:
$nu=nu_0v_s/(v_s-(omegaL)/2*sin(omega*t))$
Dovremmo quindi avere che la parte contente la funzione seno sia massima (ha il segno meno davanti e quindi minimizza il denominatore).
$sin(omega*t)=1rArr omega*t=pi/2rArrt=pi/(2omega)$
Usando la relazione che lega il periodo alla pulsazione $T=(2pi)/omega$ e sostituendo otteniamo
$t=(2*pi)/(2*(2omega))=T/4$
Invece per quanto riguarda la prima non ci dovrebbero essere differenze nell'usare una funzione seno o coseno nel caso delle onde armoniche quando non si hanno particolari condizioni al contorno. Per esempio il mio libro metteva seno e il professore alla lavagna metteva coseno.
grazie mille per la risposta. Si effettivamente rifacendo tutti i passaggi mi risulta il tempo.
Ma il problema rimane sempre che se io invece della funzione in seno avessi avuto quella in coseno il risultato ovviamente mi sarebbe cambiato
$ X = Asin ( wt) $
$ V = - wA cos (wt) $
Quindi avrei trovato $ cos (wt) = -1 $ per avere la velocità massima che corrisponde a $ wt= - Pi $
Quindi il problema che avevo posto nella prima domanda mi rimane per tutto l esercizio.
Quando imposto l'equazione di un onda non riesco a capire da cosa dipende se devo scriverla in funzione del seno p del coseno.
Ma il problema rimane sempre che se io invece della funzione in seno avessi avuto quella in coseno il risultato ovviamente mi sarebbe cambiato
$ X = Asin ( wt) $
$ V = - wA cos (wt) $
Quindi avrei trovato $ cos (wt) = -1 $ per avere la velocità massima che corrisponde a $ wt= - Pi $
Quindi il problema che avevo posto nella prima domanda mi rimane per tutto l esercizio.
Quando imposto l'equazione di un onda non riesco a capire da cosa dipende se devo scriverla in funzione del seno p del coseno.
Ciao. Se non ci fosse alcuna indicazione sulle condizioni iniziali, qualsiasi funzione del tipo: $x(t)=L/2*cos(omega t+phi)$ sarebbe accettabile per descrivere l'oscillazione.
Qui invece sappiamo che il punto all'istante $t=0$ si trova all'estremità sinistra del segmento lungo il quale oscilla, quindi mettendo l'origine dell'asse $x$ nel punto medio di $AB$ dev'essere $x(0)=-L/2$, e quindi la legge oraria dell'oscillatore dev'essere: $x(t)=-L/2*cos (omega t)$.
Nella soluzione del testo la velocitá è appunto quella che risulta da tale scelta.
Qui invece sappiamo che il punto all'istante $t=0$ si trova all'estremità sinistra del segmento lungo il quale oscilla, quindi mettendo l'origine dell'asse $x$ nel punto medio di $AB$ dev'essere $x(0)=-L/2$, e quindi la legge oraria dell'oscillatore dev'essere: $x(t)=-L/2*cos (omega t)$.
Nella soluzione del testo la velocitá è appunto quella che risulta da tale scelta.
Ringrazio tutti per le risposte. Forse non mi sono spiegata bene.... Quello che intendo io è perché a volte le equazioni delle onde vengono impostate con il seno ed altre con il coseno? Entrambi sono corrette infatti sui libri di testo di trovano tutte e due le varianti. Ma non riesco a capire quando inizio a scrivere un'equazione se usare seno o coseno...
$ X=Asin(kx - wt) $
$ X=Acos(kx - wt) $
Sui libri si possono trovare entrambi
Forse però ho capito. Nel testo mi dice che l onda ha una determinata accellerazione al tempo t=0 , ed essendo l'accellerazione nulla al centro e massima agli estremi significa che necessariamente mi deve partire dal basso. Quindi se parte dal basso devo usare il coseno. Se invece avessi avuto accellerazione iniziale nulla dovevo scrivere l'equazione con il seno....giusto ?
$ X=Asin(kx - wt) $
$ X=Acos(kx - wt) $
Sui libri si possono trovare entrambi
Forse però ho capito. Nel testo mi dice che l onda ha una determinata accellerazione al tempo t=0 , ed essendo l'accellerazione nulla al centro e massima agli estremi significa che necessariamente mi deve partire dal basso. Quindi se parte dal basso devo usare il coseno. Se invece avessi avuto accellerazione iniziale nulla dovevo scrivere l'equazione con il seno....giusto ?
Ribadisco:
Il che significa che a seconda della scelta dell'angolo $phi$ la legge oraria dell'oscillatore può essere scritta come un coseno, o come un seno, o come una loro qualsiasi combinazione lineare. Altrimenti detto, equivale a prendere in un piano $(t,x)$ una curva sinusoidale e collocare l'origine ($t=0$) in corrispondenza di una ascissa arbitraria. Dire che all'istante iniziale il punto oscillante si trova all'estremo sinistro del segmento $AB$ equivale a fissare a $-L/2$ l'ordinata del punto di partenza della sinusoide.
"Palliit":
Se non ci fosse alcuna indicazione sulle condizioni iniziali, qualsiasi funzione del tipo: $ x(t)=L/2*cos(omega t+phi) $ sarebbe accettabile per descrivere l'oscillazione.
Il che significa che a seconda della scelta dell'angolo $phi$ la legge oraria dell'oscillatore può essere scritta come un coseno, o come un seno, o come una loro qualsiasi combinazione lineare. Altrimenti detto, equivale a prendere in un piano $(t,x)$ una curva sinusoidale e collocare l'origine ($t=0$) in corrispondenza di una ascissa arbitraria. Dire che all'istante iniziale il punto oscillante si trova all'estremo sinistro del segmento $AB$ equivale a fissare a $-L/2$ l'ordinata del punto di partenza della sinusoide.
Perfetto. Grazie mille per la pazienza 
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