Onda in un materiale amagnetico assorbente
Salve a tutti! Sto preparando l'esame di Fisica II e mi sono imbattuto in questo esercizio. Premetto che sugli esercizi sulle onde elettromagnetiche non sono forte, tuttavia in questo non saprei proprio come fare. Vi chiedo quindi un aiuto o almeno dei suggerimenti per la risoluzione. Posto l'esercizio qua sotto:
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Un grande grazie in anticipo per l'aiuto!
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Un grande grazie in anticipo per l'aiuto!
Risposte
Il mio suggerimento è per il momento quello di scrivere l'equazione delle onde per il campo elettromagnetico relativa ad un generico mezzo non dissipativo; di certo l'avrai vista no?
Ciao, sicuramente posso scrivere le equazioni differenziali delle onde elettromagnetiche nei conduttori date da:
\(\displaystyle \bigtriangledown^{2} \overline{E} - \epsilon \mu {\partial^{2} \over \partial t^{2}} \overline{E} -\sigma \mu {\partial \overline{E} \over \partial t}=0\)
\(\displaystyle \bigtriangledown^{2} \overline{H} - \epsilon \mu {\partial^{2} \over \partial t^{2}} \overline{H} -\sigma \mu {\partial \overline{H} \over \partial t}=0 \)
Stiamo parlando della stessa cosa?
\(\displaystyle \bigtriangledown^{2} \overline{E} - \epsilon \mu {\partial^{2} \over \partial t^{2}} \overline{E} -\sigma \mu {\partial \overline{E} \over \partial t}=0\)
\(\displaystyle \bigtriangledown^{2} \overline{H} - \epsilon \mu {\partial^{2} \over \partial t^{2}} \overline{H} -\sigma \mu {\partial \overline{H} \over \partial t}=0 \)
Stiamo parlando della stessa cosa?
Certo che sì, ma nel caso con perdite risulta più "conveniente" operare nel dominio della frequenza e, visto che il testo parla solo di perdite dielettriche e non ohmiche, consideriamo $\sigma=0$.
D'accordo, perdonami ma ho però bisogno di capire come faccio a dedurre dal testo che si sta parlando di sole perdite dielettriche e non ohmiche, visto che l'unica informazione è che il materiale assorbente è amagnetico. Le equazioni divengono quindi:
\(\displaystyle \bigtriangledown^{2} \overline{E} - \epsilon \mu {\partial \overline{E} \over \partial t} =0 \)
\(\displaystyle \bigtriangledown^{2} \overline{H} - \epsilon \mu {\partial \overline{H} \over \partial t} =0 \)
\(\displaystyle \bigtriangledown^{2} \overline{E} - \epsilon \mu {\partial \overline{E} \over \partial t} =0 \)
\(\displaystyle \bigtriangledown^{2} \overline{H} - \epsilon \mu {\partial \overline{H} \over \partial t} =0 \)
"Cosmoi":
... come faccio a dedurre dal testo che si sta parlando di sole perdite dielettriche e non ohmiche, visto che l'unica informazione è che il materiale assorbente è amagnetico ...
Beh, direi semplicemente perché il testo fa riferimento alla sola costante dielettrica relativa e non alla conducibilità del mezzo, ad ogni modo possiamo considerare anche quelle ohmiche conglobate nella "costante dielettrica complessa".
Posto di seguito la risoluzione completa dell'esercio per i posteri!
(a)
Sappiamo che la costante dielettrica è:
\(\displaystyle \overline{\epsilon} = \epsilon_{r} + iq \)
e che il mezzo è amagnetico, quindi:
\(\displaystyle \mu_{r} = 1 \)
Possiamo quindi subito affermare che l'indice di rifrazione \(\displaystyle n \) sarà dato da:
\(\displaystyle n = \sqrt{(\epsilon_{r} +iq)\mu_{r}} \)
Consideriamo ora l'equazione generale delle onde: \(\displaystyle \bigtriangledown^{2} \overline{E} - {n^{2} \over c^{2}}{\partial^{2} \over \partial t^{2}}\overline{E} = 0 \)
Dunque l'equazione delle onde nella situazione considerata diviene:
\(\displaystyle \bigtriangledown^{2} \overline{E} -{(\epsilon_{r} + iq)\over c^{2}}{\partial^{2} \over \partial t^{2}}\overline{E} =0 \)
(b)
Verifichiamo nel limite di \(\displaystyle k >> \alpha \) il seguente campo elettrico sia soluzione dell'equazione delle onde:
\(\displaystyle \overline{E} = E_{0} \hat{y} \cos({kx-\omega t})\exp({-\alpha x}) \)
Passiamo in notazione complessa:
\(\displaystyle \overline{E} =Re[ E_{0}\hat{y} \exp({i((k+\alpha i)x - \omega t))} ]\)
ed inseriamo questa espressione nell'equazione delle onde, ottenendo:
\(\displaystyle \bigtriangledown^{2} \overline{E} = -(k+ i\alpha)^{2}E_{0}\hat{y} \exp(i((k+i\alpha)x -\omega t))\)
\(\displaystyle {\partial^{2} \overline{E} \over \partial t^{2}} = -\omega^{2} E_{0} \hat{y}\exp(i((k+i\alpha)x -\omega t)) \)
\(\displaystyle -(k+ i\alpha)^{2}E_{0}\hat{y} \exp(i((k+i\alpha)x -\omega t)) +{\epsilon_{r} +iq \over c^{2}}\omega^{2} E_{0} \hat{y}\exp(i((k+i\alpha)x -\omega t)=0 \)
\(\displaystyle E_{0}\hat{y} \exp(i((k+i\alpha)x -\omega t)) [ -(k+ i\alpha)^{2}+{\epsilon_{r} +iq \over c^{2}}\omega^{2}] =0 \Rightarrow -(k+ i\alpha)^{2}+{\epsilon_{r} +iq \over c^{2}}\omega^{2}=0 \)
\(\displaystyle \Rightarrow (k+ i\alpha)^{2}=+{\epsilon_{r}+iq \over c^{2}}\omega^{2} \Rightarrow k^{2} -\alpha^{2} + 2i\alpha k =+{\epsilon_{r}+iq \over c^{2}}\omega^{2} \)
Consideriamo ora separatamente la parte reale ed immaginaria dell'equazione:
\(\displaystyle Re \Rightarrow k^{2} - \alpha^{2} = {\epsilon_{r} \over c^{2}}\omega^{2} \)
\(\displaystyle Im \Rightarrow 2i\alpha k = {iq \over c^{2}} \omega^{2} \Rightarrow \alpha = {q\over 2} {\omega^{2} \over c^{2}} {1\over k}\)
Sostituiamo ora l'espressione di \(\displaystyle \alpha \) trovata in quella di \(\displaystyle k \):
\(\displaystyle k^{2} -{q^{4}\over 4}{\omega^{4} \over c^{4}}{1\over k^{2}} - \epsilon_{r}{\omega^{2} \over c^{2}} =0 \Rightarrow k^{4} - \epsilon_{r}{\omega^{2} \over c^{2}} k^{2} - {q^{4} \over 4}{\omega^{4} \over c^{4}} = 0 \)
\(\displaystyle k^{2} = {1\over 2}(\epsilon_{r}{\omega^{2} \over c^{2}} \pm \sqrt{\epsilon_{r} ^{2} {\omega^{4} \over c^{4}} + {q^{4} \over 4}{\omega^{4} \over c^{4}}4}) ={\epsilon_{r} \over 2} {\omega^{2} \over c^{2}}\sqrt{\epsilon^{2}_{r} +q^{2}} \Rightarrow k^{2} = {1\over 2}{\omega^{2} \over c^{2}}(\epsilon_{r} +\sqrt{\epsilon^{2}_{r} +q^{2}})\)
Consideriamo quindi le espressioni ottenute per \(\displaystyle \alpha \) e \(\displaystyle k \) nel limite \(\displaystyle \epsilon_{r} >> q \), ottenendo:
\(\displaystyle k^{2} = {1\over 2} {\omega^{2} \over c^{2}}(\epsilon_{r} + \sqrt{\epsilon^{2}_{r}}) = {\omega^{2} \over c^{2}} \epsilon_{r} \Rightarrow k = {\omega\over c} \sqrt{\epsilon_{r}}\)
\(\displaystyle \alpha = {q\over 2} {\omega^{2} \over c^{2}}{1\over k} ={q\over 2} {\omega^{2} \over c^{2}}{c\over \omega \sqrt{\epsilon_{r}}} \Rightarrow \alpha = {q\over 2}{\omega \over c} {1 \over \sqrt{\epsilon_{r}}} \)
Controlliamo infine che le espressioni ottenute in questa approssimazioni siano effettivamente uguali a quelle ottenute per l'approssimazione \(\displaystyle k>> \alpha \):
\(\displaystyle k^{2} - \alpha^{2} = \epsilon_{r} {\omega^{2} \over c^{2} }\Rightarrow k^{2} = \epsilon_{r} {\omega^{2} \over c^{2}} \Rightarrow k= {\omega\over c} \sqrt{\epsilon_{r}}\)
\(\displaystyle 2i\alpha k = iq{\omega^{2} \over c^{2}} \Rightarrow 2\alpha = q{\omega^{2} \over c^{2}} {1 \over k} \Rightarrow \alpha = {q\over 2}{\omega \over c} {1 \over \sqrt{\epsilon_{r}}}\)
(c)
Calcoliamo infine il campo magnetico associato ed il vettore di Poynting:
Il campo magnetico sarà diretto lungo il versore \(\displaystyle \hat{z} \) visto che il vettore d'onda è diretto lungo \(\displaystyle \hat{x} \) e la polarizzazione è diretta lungo \(\displaystyle \hat{y} \) (\(\displaystyle \overline{k} , \overline{E} , \overline{B} \) formano una terna ortonormale):
\(\displaystyle \overline{B}(x;t) = {E_{0} \over c}\sqrt{\epsilon_{r} + iq}\hat{z} \cos{(kx-\omega t)}\exp{(-\alpha x)} \)
Il vettore di Poynting sarà dato da:
\(\displaystyle \overline{S} = {\overline{E} \times \overline{B} \over \mu_{0}} = {E^{2}_{0} \over \mu_{0} c} \sqrt{(\epsilon_{r} +iq)}\cos^{2}{(kx-\omega t)} \exp{(-2\alpha x)} \hat{x} \)
Determiniamo ora la media temporale del modulo del vettore di Poynting che ci mostra come si attenua l'onda:
\(\displaystyle = {1\over 2} {E^{2}_{0} \over \mu_{0} c} \sqrt{(\epsilon_{r} +iq)} \exp{(-2\alpha x)} \)
Si osserva quindi che l'intensità dell'onda decresce in modo esponenziale a causa della presenza del mezzo assorbente.
(a)
Sappiamo che la costante dielettrica è:
\(\displaystyle \overline{\epsilon} = \epsilon_{r} + iq \)
e che il mezzo è amagnetico, quindi:
\(\displaystyle \mu_{r} = 1 \)
Possiamo quindi subito affermare che l'indice di rifrazione \(\displaystyle n \) sarà dato da:
\(\displaystyle n = \sqrt{(\epsilon_{r} +iq)\mu_{r}} \)
Consideriamo ora l'equazione generale delle onde: \(\displaystyle \bigtriangledown^{2} \overline{E} - {n^{2} \over c^{2}}{\partial^{2} \over \partial t^{2}}\overline{E} = 0 \)
Dunque l'equazione delle onde nella situazione considerata diviene:
\(\displaystyle \bigtriangledown^{2} \overline{E} -{(\epsilon_{r} + iq)\over c^{2}}{\partial^{2} \over \partial t^{2}}\overline{E} =0 \)
(b)
Verifichiamo nel limite di \(\displaystyle k >> \alpha \) il seguente campo elettrico sia soluzione dell'equazione delle onde:
\(\displaystyle \overline{E} = E_{0} \hat{y} \cos({kx-\omega t})\exp({-\alpha x}) \)
Passiamo in notazione complessa:
\(\displaystyle \overline{E} =Re[ E_{0}\hat{y} \exp({i((k+\alpha i)x - \omega t))} ]\)
ed inseriamo questa espressione nell'equazione delle onde, ottenendo:
\(\displaystyle \bigtriangledown^{2} \overline{E} = -(k+ i\alpha)^{2}E_{0}\hat{y} \exp(i((k+i\alpha)x -\omega t))\)
\(\displaystyle {\partial^{2} \overline{E} \over \partial t^{2}} = -\omega^{2} E_{0} \hat{y}\exp(i((k+i\alpha)x -\omega t)) \)
\(\displaystyle -(k+ i\alpha)^{2}E_{0}\hat{y} \exp(i((k+i\alpha)x -\omega t)) +{\epsilon_{r} +iq \over c^{2}}\omega^{2} E_{0} \hat{y}\exp(i((k+i\alpha)x -\omega t)=0 \)
\(\displaystyle E_{0}\hat{y} \exp(i((k+i\alpha)x -\omega t)) [ -(k+ i\alpha)^{2}+{\epsilon_{r} +iq \over c^{2}}\omega^{2}] =0 \Rightarrow -(k+ i\alpha)^{2}+{\epsilon_{r} +iq \over c^{2}}\omega^{2}=0 \)
\(\displaystyle \Rightarrow (k+ i\alpha)^{2}=+{\epsilon_{r}+iq \over c^{2}}\omega^{2} \Rightarrow k^{2} -\alpha^{2} + 2i\alpha k =+{\epsilon_{r}+iq \over c^{2}}\omega^{2} \)
Consideriamo ora separatamente la parte reale ed immaginaria dell'equazione:
\(\displaystyle Re \Rightarrow k^{2} - \alpha^{2} = {\epsilon_{r} \over c^{2}}\omega^{2} \)
\(\displaystyle Im \Rightarrow 2i\alpha k = {iq \over c^{2}} \omega^{2} \Rightarrow \alpha = {q\over 2} {\omega^{2} \over c^{2}} {1\over k}\)
Sostituiamo ora l'espressione di \(\displaystyle \alpha \) trovata in quella di \(\displaystyle k \):
\(\displaystyle k^{2} -{q^{4}\over 4}{\omega^{4} \over c^{4}}{1\over k^{2}} - \epsilon_{r}{\omega^{2} \over c^{2}} =0 \Rightarrow k^{4} - \epsilon_{r}{\omega^{2} \over c^{2}} k^{2} - {q^{4} \over 4}{\omega^{4} \over c^{4}} = 0 \)
\(\displaystyle k^{2} = {1\over 2}(\epsilon_{r}{\omega^{2} \over c^{2}} \pm \sqrt{\epsilon_{r} ^{2} {\omega^{4} \over c^{4}} + {q^{4} \over 4}{\omega^{4} \over c^{4}}4}) ={\epsilon_{r} \over 2} {\omega^{2} \over c^{2}}\sqrt{\epsilon^{2}_{r} +q^{2}} \Rightarrow k^{2} = {1\over 2}{\omega^{2} \over c^{2}}(\epsilon_{r} +\sqrt{\epsilon^{2}_{r} +q^{2}})\)
Consideriamo quindi le espressioni ottenute per \(\displaystyle \alpha \) e \(\displaystyle k \) nel limite \(\displaystyle \epsilon_{r} >> q \), ottenendo:
\(\displaystyle k^{2} = {1\over 2} {\omega^{2} \over c^{2}}(\epsilon_{r} + \sqrt{\epsilon^{2}_{r}}) = {\omega^{2} \over c^{2}} \epsilon_{r} \Rightarrow k = {\omega\over c} \sqrt{\epsilon_{r}}\)
\(\displaystyle \alpha = {q\over 2} {\omega^{2} \over c^{2}}{1\over k} ={q\over 2} {\omega^{2} \over c^{2}}{c\over \omega \sqrt{\epsilon_{r}}} \Rightarrow \alpha = {q\over 2}{\omega \over c} {1 \over \sqrt{\epsilon_{r}}} \)
Controlliamo infine che le espressioni ottenute in questa approssimazioni siano effettivamente uguali a quelle ottenute per l'approssimazione \(\displaystyle k>> \alpha \):
\(\displaystyle k^{2} - \alpha^{2} = \epsilon_{r} {\omega^{2} \over c^{2} }\Rightarrow k^{2} = \epsilon_{r} {\omega^{2} \over c^{2}} \Rightarrow k= {\omega\over c} \sqrt{\epsilon_{r}}\)
\(\displaystyle 2i\alpha k = iq{\omega^{2} \over c^{2}} \Rightarrow 2\alpha = q{\omega^{2} \over c^{2}} {1 \over k} \Rightarrow \alpha = {q\over 2}{\omega \over c} {1 \over \sqrt{\epsilon_{r}}}\)
(c)
Calcoliamo infine il campo magnetico associato ed il vettore di Poynting:
Il campo magnetico sarà diretto lungo il versore \(\displaystyle \hat{z} \) visto che il vettore d'onda è diretto lungo \(\displaystyle \hat{x} \) e la polarizzazione è diretta lungo \(\displaystyle \hat{y} \) (\(\displaystyle \overline{k} , \overline{E} , \overline{B} \) formano una terna ortonormale):
\(\displaystyle \overline{B}(x;t) = {E_{0} \over c}\sqrt{\epsilon_{r} + iq}\hat{z} \cos{(kx-\omega t)}\exp{(-\alpha x)} \)
Il vettore di Poynting sarà dato da:
\(\displaystyle \overline{S} = {\overline{E} \times \overline{B} \over \mu_{0}} = {E^{2}_{0} \over \mu_{0} c} \sqrt{(\epsilon_{r} +iq)}\cos^{2}{(kx-\omega t)} \exp{(-2\alpha x)} \hat{x} \)
Determiniamo ora la media temporale del modulo del vettore di Poynting che ci mostra come si attenua l'onda:
\(\displaystyle
Si osserva quindi che l'intensità dell'onda decresce in modo esponenziale a causa della presenza del mezzo assorbente.
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