Notazione proiezioni e teorema del flusso
Buonasera a tutti,
ho difficoltà a decifrare la notazione adottata in un esercizio proposto nel Mazzoldi Fisica II, dove viene chiesto di calcolare il flusso del campo $E = 5*10^5\ xu_z\ V/m$ attraverso un quadrato di lato $a = 5 cm$, orientato con la normale concorde con $u_z$. Chiaramente mi riferisco al termine $xu_z$, che non mi è chiaro cosa dica circa il vettore $E$. Se fosse stato semplicemente parallelo all'asse $z$, avrei calcolato il flusso come $\phi = E*a^2$, vi trovate?
Grazie in anticipo!
ho difficoltà a decifrare la notazione adottata in un esercizio proposto nel Mazzoldi Fisica II, dove viene chiesto di calcolare il flusso del campo $E = 5*10^5\ xu_z\ V/m$ attraverso un quadrato di lato $a = 5 cm$, orientato con la normale concorde con $u_z$. Chiaramente mi riferisco al termine $xu_z$, che non mi è chiaro cosa dica circa il vettore $E$. Se fosse stato semplicemente parallelo all'asse $z$, avrei calcolato il flusso come $\phi = E*a^2$, vi trovate?
Grazie in anticipo!
Risposte
La direzione del campo E coincide con quello dell'asse z; il modulo varia al variare dell'ascissa x.
Numero e pagina dell'esercizio?
Numero e pagina dell'esercizio?
3.3 di pagina 67, Elementi di Fisica 2, II edizione. Non capisco però come trattare matematicamente tale variazione. Integro tutto in funzione di $x$?
La figura di riferimento e' la seguente:
[fcd="figura"][FIDOCAD]
FJC B 0.5
LI 40 75 40 30 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 35 70 75 70 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
TY 35 25 4 3 0 0 0 * y
TY 75 70 4 3 0 0 0 * x
TY 65 70 4 3 0 0 0 * a
TY 35 40 4 3 0 0 0 * a
LI 65 45 65 70 2
LI 40 45 65 45 2[/fcd]
Il flusso del campo elettrostatico vale:
$\Phi (\mathbf{E})=\int _{S}\mathbf{E}\cdot \mathbf{n}\ \text{dS}$
In questo caso particolare, orientando la superficie del quadrato secondo il verso positivo dell'asse z (uscente dal piano xy), abbiamo:
$\Phi (\mathbf{E_{z}})=\int_(0)^(0,05)(5\times10^{5})x\ \text{a}\ \text{dx}$
In pratica consideri tutte le aree elementari $\text{dS}=\text{a}\ \text{dx}$ del quadrato e integri tenendo conto del fatto che il campo $E_{z}$ vale $5\times10^{5}x\ \frac{\text{V}}{\text{m}}$
[fcd="figura"][FIDOCAD]
FJC B 0.5
LI 40 75 40 30 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 35 70 75 70 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
TY 35 25 4 3 0 0 0 * y
TY 75 70 4 3 0 0 0 * x
TY 65 70 4 3 0 0 0 * a
TY 35 40 4 3 0 0 0 * a
LI 65 45 65 70 2
LI 40 45 65 45 2[/fcd]
Il flusso del campo elettrostatico vale:
$\Phi (\mathbf{E})=\int _{S}\mathbf{E}\cdot \mathbf{n}\ \text{dS}$
In questo caso particolare, orientando la superficie del quadrato secondo il verso positivo dell'asse z (uscente dal piano xy), abbiamo:
$\Phi (\mathbf{E_{z}})=\int_(0)^(0,05)(5\times10^{5})x\ \text{a}\ \text{dx}$
In pratica consideri tutte le aree elementari $\text{dS}=\text{a}\ \text{dx}$ del quadrato e integri tenendo conto del fatto che il campo $E_{z}$ vale $5\times10^{5}x\ \frac{\text{V}}{\text{m}}$
Ti ringrazio per i preziosi chiarimenti, soltanto non capisco come calcoli il differenziale $dS = a\ dx$.
Procedendo con gli esercizi ho incontrato una difficoltà simile con il numero 3.5, del quale posto di seguito la traccia:
Con riferimento alla figura, il campo elettrostatico $E$ varia con la legge $E = (5 + 4x^2)*10^5\ u_x\ V/m$ con x espresso in metri. Calcolare il flusso $\phi(E)$ attraverso la superficie chiusa di lati $a = 10 cm$, $b = 15 cm$, $c = 20 cm$.
Per quanto precedentemente detto, avrei proceduto con il calcolo dell'integrale $\int_0^c(5 + 4x^2)*10^5*ab\ dx$, mentre il testo da come soluzione $4*10^5*abc^2$, perché?
Procedendo con gli esercizi ho incontrato una difficoltà simile con il numero 3.5, del quale posto di seguito la traccia:
Con riferimento alla figura, il campo elettrostatico $E$ varia con la legge $E = (5 + 4x^2)*10^5\ u_x\ V/m$ con x espresso in metri. Calcolare il flusso $\phi(E)$ attraverso la superficie chiusa di lati $a = 10 cm$, $b = 15 cm$, $c = 20 cm$.
Per quanto precedentemente detto, avrei proceduto con il calcolo dell'integrale $\int_0^c(5 + 4x^2)*10^5*ab\ dx$, mentre il testo da come soluzione $4*10^5*abc^2$, perché?
"Blowtorch":
Ti ringrazio per i preziosi chiarimenti, soltanto non capisco come calcoli il differenziale $dS = a\ dx$.
L'area $\text{dS}=\text{a}\ \text{dx}$ e' l'area della generica striscia rettangolare infinitesima del quadrato.
[*:1m3zb5j2]$\text{a}$ e' l'altezza del rettangolo (vedi ordinata)[/*:m:1m3zb5j2]
[*:1m3zb5j2] $\text{dx}$ e' la base del rettangolo (vedi ascissa)[/*:m:1m3zb5j2][/list:u:1m3zb5j2]
[fcd="figura"][FIDOCAD]
FJC B 0.5
LI 85 75 85 30 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 80 70 120 70 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
TY 80 25 4 3 0 0 0 * y
TY 120 70 4 3 0 0 0 * x
TY 110 70 4 3 0 0 0 * a
TY 80 40 4 3 0 0 0 * a
TY 94 75 4 3 0 0 0 * dx
TY 65 55 4 3 0 0 0 * a
LI 100 45 100 70 1
FCJ 0 0 3 2 2 0
LI 95 73 100 73 1
LI 95 45 95 70 1
FCJ 0 0 3 2 2 0
LI 110 45 110 70 2
LI 85 45 110 45 2
BE 95 60 90 65 80 50 70 55 4[/fcd]
"Blowtorch":
Procedendo con gli esercizi ho incontrato una difficoltà simile con il numero 3.5, del quale posto di seguito la traccia [...]
Questo esercizio e' più semplice del primo.
La direzione del campo elettrostatico e' parallela alla direzione dell'asse x. Nel problema precedente invece direzione di E e asse di variazione erano ortogonali. L'integrale che hai impostato non va bene.
Data la direzione del campo elettrostatico, le uniche due facce utili per il calcolo del flusso di E sono quella parallele al piano yz, cioè quelle ortogonali alla direzione del campo.
Il campo non attraversa le altre facce del cubo (i vettori al più sono paralleli/tangenziali a queste facce, ma non le attraversano).
In ciascuna delle due facce, il campo E e' costante:
[*:1m3zb5j2]in x=0 il campo $E_{x}(0)=5\times 10^{5}\ \text{V}/\text{m}$[/*:m:1m3zb5j2]
[*:1m3zb5j2]in x=c il campo $E_{x}(\text{c})=(5+4\text{c}^2)\times 10^{5}\ \text{V}/\text{m}$[/*:m:1m3zb5j2][/list:u:1m3zb5j2]
Con opportuna orientazione positiva delle superfici (normale uscente da ogni singola faccia), e' sufficiente calcolare la differenza fra il flusso che esce dalla faccia posizionata in c meno il flusso corrispondente alla faccia x=0.
Il flusso lo calcoli senza ricorrere all'integrale. Il campo varia su ciascun piano yz, ma fissato un piano yz il campo E e' costante su tutti i suoi punti.
Tento di illustrare la differenza fra i due casi
[fcd="figura"][FIDOCAD]
[FIDOCAD]
FJC B 0.5
LI 55 70 105 70 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
TY 105 70 4 3 0 0 0 * x
LI 50 75 50 20 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
TY 45 15 4 3 0 0 0 * z
LI 50 140 50 90 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
TY 45 85 4 3 0 0 0 * x
TY 115 70 4 3 0 0 0 * primo esercizio
TY 95 140 4 3 0 0 0 * secondo esercizio
TY 65 105 4 3 0 0 0 * E
TY 75 25 4 3 0 0 0 * E
TY 95 60 4 3 0 0 0 * superficie quadrata
TY 95 130 4 3 0 0 0 * superficie quadrata
LI 65 65 65 45 1
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 80 65 80 30 1
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 75 135 75 110 1
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 90 135 90 110 1
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 70 135 70 110 1
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 85 135 85 110 1
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 65 135 65 110 1
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 70 65 70 40 1
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 60 65 60 50 1
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 75 65 75 35 1
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 80 135 80 110 1
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 85 65 85 25 1
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 90 65 90 20 1
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 60 135 60 110 1
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 55 135 100 135 2
LI 55 65 100 65 2[/fcd]
Quindi, se ho ben capito, quando il campo è ortogonale e costante in ogni pezzettino infinitesimo della sezione che attraversa, il flusso si riduce ad un semplice calcolo aritmetico, poiché $\int k\ d\Sigma = k\Sigma$ (nel caso del 3.5 è quindi bastato calcolare la differenza tra la sezione d'entrata e quella d'uscita). Mentre quando $E$ varia lungo la superficie, come appunto nel caso del 3.4, bisogna necessariamente procedere come mi hai fatto notare, al fine di considerare le singole variazioni infinitesime. Di conseguenza, nel caso in cui nel 3.5 il campo variasse anche lungo il piano $yz$ che contiene le superfici di entrata ed uscita, in funzione di $z$ (ad esempio $E = (5 + 4x^2)*10^5\ zu_x\ V/m$, si andrebbe a calcolare il flusso come $\phi(E) = \int_0^b(5 + 4*0^2)*10^5\ a\ dz - \int_0^b(5 + 4*c^2)*10^5\ a\ dz$, dico bene?
Non so come ringraziarti, mi hai chiarito tanto in pochissimo tempo, ti devo un caffé!
EDIT: Ho soltanto difficoltà a comprendere rispetto a quale superficie calcolare il flusso. Ad esempio, nel 3.6 viene chiesto di calcolare il flusso del campo $E = (5xu_x - 4yu_y + 3zu_z)*10^5\ V/m$ attraverso la superficie chiusa mostrata in figura di lati $a = 10 cm, b = 15 cm, c = 20 cm$.
Pensavo si riferisse alla superficie parallela al piano $yz$ ed ho pertanto calcolato il flusso come $\phi(E) = 5a*10^5*bc$, mentre il testo fa riferimento alla superficie parallela al piano $xz$. Si tratta di un errore di valutazione della figura, giusto? Come vanno interpretate?
Non so come ringraziarti, mi hai chiarito tanto in pochissimo tempo, ti devo un caffé!
EDIT: Ho soltanto difficoltà a comprendere rispetto a quale superficie calcolare il flusso. Ad esempio, nel 3.6 viene chiesto di calcolare il flusso del campo $E = (5xu_x - 4yu_y + 3zu_z)*10^5\ V/m$ attraverso la superficie chiusa mostrata in figura di lati $a = 10 cm, b = 15 cm, c = 20 cm$.
Pensavo si riferisse alla superficie parallela al piano $yz$ ed ho pertanto calcolato il flusso come $\phi(E) = 5a*10^5*bc$, mentre il testo fa riferimento alla superficie parallela al piano $xz$. Si tratta di un errore di valutazione della figura, giusto? Come vanno interpretate?
Dovresti ripassare il paragrafo relativo al calcolo del flusso. E' sufficiente applicare la definizione, dopo aver capito il concetto fisico alla base.
No.
Campi ortogonali.
Anche nel primo esercizio il campo e' costante in ogni striscia infinitesima.
Il calcolo del flusso si riduce ad un semplice prodotto quando il campo e' costante su tutta la superficie in considerazione (non solo a livello infinitesimo).
Se riprendi il paragrafo teorico trovi alcuni esempi. Hai bisogno di ripassare questa parte, ascoltami.
Nell'esercizio 3.3 (non 3.4
) il campo E varia linearmente su tutta la superficie. In questi casi, in generale, e' necessario calcolare il flusso a partire dall'integrale.
Nota bene.
Il flusso si calcola sempre a partire dalla definizione. In alcuni casi, come nell'esercizio 3.5, considerazioni di tipo tipo fisico-geometrico permettono di passare ad un semplice prodotto. Tutto qui.
Come ho già scritto, applica sempre la definizione. Prima di iniziare a modificare gli esercizi proposti, rifai gli esempi svolti e gli esercizi assegnati dal testo.
L'esercizio si può svolgere in diversi modi (in funzione anche della propria preparazione matematica).
Il vettore E e' la composizione di tre diversi componenti ortogonali fra loro ($\mathbf{u}_{x}, \mathbf{u}_{y}, \mathbf{u}_{z}$).
Ognuna delle tre componenti, quindi, attraverserà soltanto le due facce ortogonali alla direzione considerata (idea-chiave dell'esercizio. Adesso rimane solo la parte noiosa: il calcolo). In pratica devi svolgere per tre volte l'esercizio 3.5. Prova.
Il testo non fa riferimento a nessuna particolare superficie
E non ci sono errori.
"Blowtorch":
Quindi, se ho ben capito, quando il campo è ortogonale e costante in ogni pezzettino infinitesimo della sezione che attraversa, il flusso si riduce ad un semplice calcolo aritmetico
No.
Campi ortogonali.
Anche nel primo esercizio il campo e' costante in ogni striscia infinitesima.
Il calcolo del flusso si riduce ad un semplice prodotto quando il campo e' costante su tutta la superficie in considerazione (non solo a livello infinitesimo).
Se riprendi il paragrafo teorico trovi alcuni esempi. Hai bisogno di ripassare questa parte, ascoltami.
"Blowtorch":
Mentre quando E varia lungo la superficie, come appunto nel caso del 3.4, bisogna necessariamente procedere come mi hai fatto notare, al fine di considerare le singole variazioni infinitesime
Nell'esercizio 3.3 (non 3.4
) il campo E varia linearmente su tutta la superficie. In questi casi, in generale, e' necessario calcolare il flusso a partire dall'integrale.Nota bene.
Il flusso si calcola sempre a partire dalla definizione. In alcuni casi, come nell'esercizio 3.5, considerazioni di tipo tipo fisico-geometrico permettono di passare ad un semplice prodotto. Tutto qui.
"Blowtorch":
nel caso in cui nel 3.5 il campo variasse anche lungo il piano yz
Come ho già scritto, applica sempre la definizione. Prima di iniziare a modificare gli esercizi proposti, rifai gli esempi svolti e gli esercizi assegnati dal testo.
"Blowtorch":
Ho soltanto difficoltà a comprendere rispetto a quale superficie calcolare il flusso.
L'esercizio si può svolgere in diversi modi (in funzione anche della propria preparazione matematica).
Il vettore E e' la composizione di tre diversi componenti ortogonali fra loro ($\mathbf{u}_{x}, \mathbf{u}_{y}, \mathbf{u}_{z}$).
Ognuna delle tre componenti, quindi, attraverserà soltanto le due facce ortogonali alla direzione considerata (idea-chiave dell'esercizio. Adesso rimane solo la parte noiosa: il calcolo). In pratica devi svolgere per tre volte l'esercizio 3.5. Prova.
"Blowtorch":
mentre il testo fa riferimento alla superficie parallela al piano xz. Si tratta di un errore di valutazione della figura, giusto? Come vanno interpretate?
Il testo non fa riferimento a nessuna particolare superficie
E non ci sono errori.
Innanzitutto ti ringrazio per la minuziosità dei tuoi consigli, è palese la necessità di un ripasso teorico. Per quanto riguarda il 3.6, il testo inserisce nelle soluzioni soltanto il flusso relativo alla componente $u_y$, motivo per il quale mi è sorto il dubbio proposto. Parla e si riferisce ad una specifica faccia del poliedro, quella parallela al piano $xz$, ma la traccia mi risulta un pochino ambigua, non avrebbe più semplicemente fatto meglio a specificare? Chiedo perché non vorrei sia io ad avere difficoltà a comprendere un grafico tridimensionale.
"Blowtorch":
il testo inserisce nelle soluzioni soltanto il flusso relativo alla componente uy, motivo per il quale mi è sorto il dubbio proposto. P
Potresti riportare la soluzione proposta dal testo?
"Blowtorch":
Parla e si riferisce ad una specifica faccia del poliedro, quella parallela al piano xz, ma la traccia mi risulta un pochino ambigua,
Non e' vero.
Ti dice di considerare la superficie chiusa (un parallelepipedo) di lati a,b,c.
"Blowtorch":
Chiedo perché non vorrei sia io ad avere difficoltà a comprendere un grafico tridimensionale.
Probabilmente.
Non lo vedi il parallelepipedo? Ha lo spigolo nascosto in (0,0,0).
Lo spazio e' riempito completamente dal campo E e ti chiede di calcolare il flusso attraverso quella superficie chiusa.
Il fatto che sia disegnato un solo vettore (non lo guardare, ti basta la sua espressione analitica) non significa che il campo e' presente solo in quel punto. Fai attenzione e non cadere in queste banalità. Ci sono cose ben più complicate.
Il fatto che sia disegnato un solo vettore (non lo guardare, ti basta la sua espressione analitica) non significa che il campo e' presente solo in quel punto. Fai attenzione e non cadere in queste banalità. Ci sono cose ben più complicate.
Tralasciando i punti b e c relativi a richieste che non ho inserito nella traccia, la soluzione integrale è la seguente
.
Come vedi per il calcolo del flusso considera soltanto la proiezione lungo l'asse $y$ e la superficie individuata dai lati $a$ e $b$.
.Come vedi per il calcolo del flusso considera soltanto la proiezione lungo l'asse $y$ e la superficie individuata dai lati $a$ e $b$.
"Blowtorch":
Come vedi per il calcolo del flusso considera soltanto la proiezione lungo l'asse y e la superficie individuata dai lati a e b.
Ti ho già detto di no. Non e' come pensi.
Non tutti i 4 sono uguali
"Vidocq":
Ognuna delle tre componenti, quindi, attraverserà soltanto le due facce ortogonali alla direzione considerata (idea-chiave dell'esercizio. Adesso rimane solo la parte noiosa: il calcolo). In pratica devi svolgere per tre volte l'esercizio 3.5. Prova.
A questo punto ti consiglio anche di non guardare le soluzioni. Solitamente aiutano a trovare la strada da percorrere... ma in questo caso stai facendo confusione.
Hai provato a svolgere l'esercizio? Hai letto quanto ho scritto?
Dato che stai continuando a dire che la soluzione considera solo la "proiezione" lungo l'asse y, immagino di no.
Ho svolto i primi due esempi, importanti per poter risolvere l'esercizio 3.6.
Ti ho dato un importante indizio per l'esercizio 3.6. Adesso mi aspetto da parte tua il completo svolgimento del compito e che riporti qui i vari passaggi (simbolici e numerici)
Ho capito dove sbaglio:
I tre contributi relativi alle singole faccie del poliedro sono i seguenti:
$\phi(E_(zy)) = 5a*10^5bc$;
$\phi(E_(zx)) = -4b*10^5ac$;
$\phi(E_(xy)) = 3c*10^5ab$;
sommati tra di loro danno il flusso risultante $\phi(E) = 10^5abc(5-4+3) = 1200 V/m$.
Avrei potuto risolverlo anche calcolando direttamente il modulo del vettore campo elettrico risultante pari a $E = (5-4+3)*10^5 = 4*10^5$ e calcolare il flusso risultante come $\phi(E) = E\Sigma = 4*10^5abc = 1200 V/m$. Tutto corretto?
I tre contributi relativi alle singole faccie del poliedro sono i seguenti:
$\phi(E_(zy)) = 5a*10^5bc$;
$\phi(E_(zx)) = -4b*10^5ac$;
$\phi(E_(xy)) = 3c*10^5ab$;
sommati tra di loro danno il flusso risultante $\phi(E) = 10^5abc(5-4+3) = 1200 V/m$.
Avrei potuto risolverlo anche calcolando direttamente il modulo del vettore campo elettrico risultante pari a $E = (5-4+3)*10^5 = 4*10^5$ e calcolare il flusso risultante come $\phi(E) = E\Sigma = 4*10^5abc = 1200 V/m$. Tutto corretto?
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