Notazione di Dirac
Ciao a tutti, avrei un dubbio su come calcolare questa cosa:
$ <\sigma_{x}>(t)=<\psi(t)|\sigma_{x}|\psi(t)> $
$ <\sigma_{x}>(t)=<\psi(0)|U^(daga)\sigma_{x}U|\psi(0)> $
Perdonate l'aver scritto ''daga'' sopra all'operatore posizione, ma non sapevo come scriverlo altrimenti dato che il codice ASCIIMathML per il simbolo non era presente.
Comunque, considero che
$ U=cos(\alpha)I+isin(\alpha)\sigma_{x} $ e che $ \sigma_{x}=( ( 1 , 0 ),( 0 , -1 ) ) $ la matrice di Pauli e che
$ \psi(0)=\frac{1}{\sqrt(2)}|0>+\frac{i}{\sqrt(2)}|1>+ $
Dovrebbe venirmi
$ -sin^2(2\alpha)=-sin(\frac{2\muBt}{h}) $ (con $ h $ la costante di Plank ridotta (che ha un tagliato che non riesco ahimè a mettere )
Mi potreste dare un aiuto su come si calcola?
Grazie
$ <\sigma_{x}>(t)=<\psi(t)|\sigma_{x}|\psi(t)> $
$ <\sigma_{x}>(t)=<\psi(0)|U^(daga)\sigma_{x}U|\psi(0)> $
Perdonate l'aver scritto ''daga'' sopra all'operatore posizione, ma non sapevo come scriverlo altrimenti dato che il codice ASCIIMathML per il simbolo non era presente.
Comunque, considero che
$ U=cos(\alpha)I+isin(\alpha)\sigma_{x} $ e che $ \sigma_{x}=( ( 1 , 0 ),( 0 , -1 ) ) $ la matrice di Pauli e che
$ \psi(0)=\frac{1}{\sqrt(2)}|0>+\frac{i}{\sqrt(2)}|1>+ $
Dovrebbe venirmi
$ -sin^2(2\alpha)=-sin(\frac{2\muBt}{h}) $ (con $ h $ la costante di Plank ridotta (che ha un tagliato che non riesco ahimè a mettere )
Mi potreste dare un aiuto su come si calcola?
Grazie
Risposte
Ma quale devi calcolare tra le due che hai scritto all'inizio?
Inoltre, non ho capito cosa sono $|0>$ e $|1>$ e hai lasciato un segno $+$ in sospeso
Inoltre, non ho capito cosa sono $|0>$ e $|1>$ e hai lasciato un segno $+$ in sospeso
"Nattramn16":
... scritto ''daga'' ... non sapevo come scriverlo ...
\dagger con parentesi slashate al posto dei dollari per ottenere \( A^\dagger \)
\( A^\dagger \)
Grazie mille, ora posso scrivere bene la daga
Allora...dei due devo calcolare il secondo (la prima espressione e la seconda sono un'uguaglianza).
Per essere più precisi, riporto il testo:
Si consideri un sistema quantistico a due livelli soggetto ad un campo magnetico statico uniforme diretto lungo l’asse $ x $ . L’evoluzione dinamica del sistema è governata dall’hamiltoniana $ H=-\muB\sigma_x $
Determinare come varia nel tempo il valore di aspettazione di $ \sigma_z $ nei due casi seguenti:
a) stato iniziale puro:
$ |\psi(0)> =\frac{1}{\sqrt(2)}|0>+\frac{i}{\sqrt(2)}|1> $
con
$ |0>,|1> $ autostati di $ \sigma_z $, $ \sigma_z|0> =|0> $ $ \sigma_z|1> =-|1> $
allora ho considerato
$ |\psi(t)> = U(t)|\psi(0)> $ con $ U(t)=e^(-i/h Ht)=e^(i\alpha\sigma_x $ . Ho poi sviluppato $ U(t) $ in serie e ottenuto
$ U(t)=cos(\alpha)I+isin(\alpha)\sigma_x $ . Se ora voglio ottenere il valore medio evolvente nel tempo ho
$ <\sigma_z>(t)=<\psi(t)|sigma_z|\psi(t)> = <\psi(0)|U^(\dagger)sigma_z U|\psi(0)> $
(ps, ho provato a scrivere il dagato col codice che mi hai detto ma mi è uscita quella roba li...)
Ho problema a calcolare quest'ultima cosa...
Allora...dei due devo calcolare il secondo (la prima espressione e la seconda sono un'uguaglianza).
Per essere più precisi, riporto il testo:
Si consideri un sistema quantistico a due livelli soggetto ad un campo magnetico statico uniforme diretto lungo l’asse $ x $ . L’evoluzione dinamica del sistema è governata dall’hamiltoniana $ H=-\muB\sigma_x $
Determinare come varia nel tempo il valore di aspettazione di $ \sigma_z $ nei due casi seguenti:
a) stato iniziale puro:
$ |\psi(0)> =\frac{1}{\sqrt(2)}|0>+\frac{i}{\sqrt(2)}|1> $
con
$ |0>,|1> $ autostati di $ \sigma_z $, $ \sigma_z|0> =|0> $ $ \sigma_z|1> =-|1> $
allora ho considerato
$ |\psi(t)> = U(t)|\psi(0)> $ con $ U(t)=e^(-i/h Ht)=e^(i\alpha\sigma_x $ . Ho poi sviluppato $ U(t) $ in serie e ottenuto
$ U(t)=cos(\alpha)I+isin(\alpha)\sigma_x $ . Se ora voglio ottenere il valore medio evolvente nel tempo ho
$ <\sigma_z>(t)=<\psi(t)|sigma_z|\psi(t)> = <\psi(0)|U^(\dagger)sigma_z U|\psi(0)> $
(ps, ho provato a scrivere il dagato col codice che mi hai detto ma mi è uscita quella roba li...)
Ho problema a calcolare quest'ultima cosa...
Ah ok, quindi in pratica vuoi mostrare che il valore medio di $sigma_z$ calcolato nel formalismo di Schrödinger è uguale a quello calcolato nel formalismo di Heisenberg, e hai posto $alpha = mu B/h t$. Ma allora dovrebbe risultare $-sin(2alpha)$, non $-sin^2(2alpha)$, o sbaglio?
Così era scritto nella soluzione :/ (potrebbe essere un errore di scrittura nel testo delle soluzioni).
Solo che io non capisco bene come fare il conto
Solo che io non capisco bene come fare il conto
Allora sarà sicuramente un errore del testo, perchè altrimenti non ha senso. Comunque, per il conto devi essenzialmente fare il prodotto di tre matrici, chiamiamolo
\( O= U^\dagger \sigma_z U\)
cioè
$O=|(cos(alpha),-isin(alpha)),(-isin(alpha),cos(alpha))||(1,0),(0,-1)||(cos(alpha),isin(alpha)),(isin(alpha),cos(alpha))|$
Questo operatore $O$ lo fai agire sul ket di stato iniziale $|psi(0)> =$$1/sqrt(2)|(1),(0)| +i/sqrt(2)|(0),(1)|$, e il ket risultante lo usi per fare il prodotto interno bra-ket con $
E dovrebbe venire $-sin(2alpha)$
\( O= U^\dagger \sigma_z U\)
cioè
$O=|(cos(alpha),-isin(alpha)),(-isin(alpha),cos(alpha))||(1,0),(0,-1)||(cos(alpha),isin(alpha)),(isin(alpha),cos(alpha))|$
Questo operatore $O$ lo fai agire sul ket di stato iniziale $|psi(0)> =$$1/sqrt(2)|(1),(0)| +i/sqrt(2)|(0),(1)|$, e il ket risultante lo usi per fare il prodotto interno bra-ket con $
E dovrebbe venire $-sin(2alpha)$
okay....credo di aver capito:) sono agli inizi con la quantistica e ho un sacco di dubbi, v3ct0r sei stato molto gentile 
Si sicuramente c'era un errore di battitura
solo un'ultima cosa, il ket è giusto
$ <\psi(0)| =\frac{<0|}{\sqrt{2}}-\frac{i<1|}{\sqrt{2}} $
con $ <0| $ e $ <1| $ i vettori (riga e non più colonna) della base canonica
Si sicuramente c'era un errore di battitura
solo un'ultima cosa, il ket è giusto
$ <\psi(0)| =\frac{<0|}{\sqrt{2}}-\frac{i<1|}{\sqrt{2}} $
con $ <0| $ e $ <1| $ i vettori (riga e non più colonna) della base canonica
yes, peró quello si chiama "bra" non "ket"
Pardon, giusto, ho sbagliato a scrivere
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo