Notazione bra-ket, alcuni dubbi
Ciao
vorrei chiedere un aiuto riguardo la notazione bra-ket in un "passaggio" che non mi è molto chiaro.
Per un operatore non hermitiano l'azione di esso su $|psi>$ è descritta da: $|psi'> =A|psi>$ da cui abbiamo il funzionale lineare ad esso connesso, per farla in breve il bra $
venendo al primo dubbio il professore scrive: $
non mi è chiaro perché non sia invece $
Procedendo dritti al secondo dubbio notazionale:
Sia: $$ per definizione è esplicitamente $)$ e scrive essere uguale a $($ e non mi è chiara questa uguaglianza.
Infatti per quando detto al punto 1 dovrei poter scrivere partendo da $( =( =$ mentre io mi attenderei un $$
Non riesco bene a capire questi "magheggi", ringrazio per l'aiuto
vorrei chiedere un aiuto riguardo la notazione bra-ket in un "passaggio" che non mi è molto chiaro.
Per un operatore non hermitiano l'azione di esso su $|psi>$ è descritta da: $|psi'> =A|psi>$ da cui abbiamo il funzionale lineare ad esso connesso, per farla in breve il bra $
venendo al primo dubbio il professore scrive: $
non mi è chiaro perché non sia invece $
Procedendo dritti al secondo dubbio notazionale:
Sia: $
Infatti per quando detto al punto 1 dovrei poter scrivere partendo da $(
Non riesco bene a capire questi "magheggi", ringrazio per l'aiuto
Risposte
Per il primo dubbio, si tratta semplicemente di definizioni della notazione di Dirac.
I bra corrispondono ai vettori di uno spazio lineare mentre i ket sono i vettori dello spazio duale, cioé dei funzionali lineari che agiscono su di esso. I due spazi sono in corrispondenza biunivoca.
Nota che però, per definizione gli operatori agiscono sempre a sx su un ket, e sempre a destra su un bra. Per questo motivo la scrittura che riporti non ha nessun significato. In altri termini, non hai ambiguità nel dove "portare fuori" un operatore.
Invece il secondo dubbio che hai: quello che ha scritto il tuo professore è proprio sbagliato, implicherebbe che l'operatore A è sempre hermitiano. Sicuro che non ci sia un errore di battitura nella formula che riporti?
Purtroppo mi rendo conto che questa è una non-spiegazione, ma non sapendo le tue conoscenze del formalismo matematico non saprei quanto posso approfondire con altre notazioni.
I bra corrispondono ai vettori di uno spazio lineare mentre i ket sono i vettori dello spazio duale, cioé dei funzionali lineari che agiscono su di esso. I due spazi sono in corrispondenza biunivoca.
Nota che però, per definizione gli operatori agiscono sempre a sx su un ket, e sempre a destra su un bra. Per questo motivo la scrittura che riporti non ha nessun significato. In altri termini, non hai ambiguità nel dove "portare fuori" un operatore.
Invece il secondo dubbio che hai: quello che ha scritto il tuo professore è proprio sbagliato, implicherebbe che l'operatore A è sempre hermitiano. Sicuro che non ci sia un errore di battitura nella formula che riporti?
Purtroppo mi rendo conto che questa è una non-spiegazione, ma non sapendo le tue conoscenze del formalismo matematico non saprei quanto posso approfondire con altre notazioni.
Purtroppo mi rendo conto che questa è una non-spiegazione, ma non sapendo le tue conoscenze del formalismo matematico non saprei quanto posso approfondire con altre notazioni.
Diciamo che sono a un primo corso di MQ, tuttavia se vuoi provare cerco di vedere fin dove capisco. Purtroppo non avendo una visione dall'altro, ma dal basso (essendo studente), non so nemmeno dirti a che livello sono perché per saperlo dovrei avere una visione di insieme che non credo di avere ad oggi. In poche parole non so risponderti perché non so cosa ignoro
Sicuramente più notazioni metti meglio è perché posso imparare.
Per il primo dubbio
Per questo motivo la scrittura che riporti non ha nessun significato. In altri termini, non hai ambiguità nel dove "portare fuori" un operatore.
In sostanza è errato scrivere $
Per il secondo, invece, non so bene come correggere la cosa. Provo a postare la parte di spiegazione ma temo non aggiunga granché e anche l'audio in realtà non è d'auito perché mi pare proprio dire quello che avevo scritto.
Devo assolutamente capire queste faccende, però non so bene come fare. In aggiunta potrei chiederti dove potrei trovare una spiegazione ben fatta di questi formalismi? Qualche pdf non so..
Spero avrai tempo e voglia di rispondermi, nel frattempo mille grazie
Sul Sakurai, "Modern quantum mechanics" trovi una descrizione chiara del formalismo di Dirac. Dovresti trovare tutto quello che serve per chiarire, ma in caso chiedi pure 
Ho letto le pagine del sakurai, devo dire che l'impostazione del libro è un po' diversa da quella del mio corso: noi siamo partiti dai prodotti scalari in $L^2$ visti come integrali e poi la notazione di dirac è quasi "dedotta" da essi, insomma come se avessi $(a,b)=:$ ecc su varie proprietà che ne conseguono.
Il Sakurai invece rende postulati certe cose "dedotte" nel mio approccio, ma poco cambia in fin dei conti.
Ho letto la parte di come agiscono i "prodotti" ket operatore e in particolare i "prodotti illeciti" e ho capito cosa intendi quando dici che non avrebbe senso scrivere $XX$ quindi verrebbe meno l'ambiguità da me descritta al punto 1 dei dubbi.
Mi resta però ostico capire perché $<ψ∣A^+=
Per il secondo dubbio di apertura, che poi sarebbe l'ultima riga della pic in nero sopra, non capisco ancora cosa avesse voluto dire, tu hai idee?
Grazie ancora.
Il Sakurai invece rende postulati certe cose "dedotte" nel mio approccio, ma poco cambia in fin dei conti.
Ho letto la parte di come agiscono i "prodotti" ket operatore e in particolare i "prodotti illeciti" e ho capito cosa intendi quando dici che non avrebbe senso scrivere $X
Mi resta però ostico capire perché $<ψ∣A^+=
Per il secondo dubbio di apertura, che poi sarebbe l'ultima riga della pic in nero sopra, non capisco ancora cosa avesse voluto dire, tu hai idee?
Grazie ancora.
È la definizione di operatore aggiunto: dato [tex]A\colon\mathcal{H}\to\mathcal{H}[/tex] limitato, il suo operatore aggiunto è l'unico operatore [tex]A^\dagger\colon\mathcal{H}\to\mathcal{H}[/tex] che soddisfa
per ogni [tex]\phi,\psi\in\mathcal{H}[/tex].
Il teorema di Riesz permette di associare biunivocamente a ciascun vettore [tex]\chi\in\mathcal{H}[/tex] il funzionale lineare continuo
quindi, qual è l'azione di [tex]\langle A\phi|=\omega_{A\phi}[/tex] su un qualunque vettore [tex]\psi[/tex]?
Riassumendo, al vettore [tex]A|\psi\rangle=:|A\psi\rangle[/tex] è associato il vettore [tex]\langle A\psi|[/tex] la cui azione azione su un vettore [tex]|\chi\rangle[/tex] è
Comunque non è vero che i vettori di uno spazio di Hilbert [tex]\mathcal{H}[/tex] sono in corrispondenza biunivoca coi funzionali lineari del duale algebrico [tex]\mathcal{H}^\vee[/tex]; infatti si prova che, se [tex]\operatorname{dim}_{\Bbbk}\mathcal{H}[/tex] è infinito allora
Se invece del duale algebrico si considera il duale topologico [tex]\mathcal{H}'[/tex](lo spazio dei funzionali lineari continui su [tex]\mathcal{H}[/tex]), allora [tex]\mathcal{H}[/tex] è isometricamente isomorfo a [tex]\mathcal{H}'[/tex] per il teorema di Riesz.
Per la cosa scritta sulla lavagna, forse vuole metterti in guardia dal non dimenticare la daga quando l'operatore non è autoaggiunto.. Ad ogni modo esiste un metodo molto semplice per scoprire cosa intendesse dire il tuo insegnante: fissare un appuntamento per il ricevimento e chiederglielo direttamente
[tex](A\phi,\psi)=(\phi,A^\dagger\psi)[/tex]
per ogni [tex]\phi,\psi\in\mathcal{H}[/tex].
Il teorema di Riesz permette di associare biunivocamente a ciascun vettore [tex]\chi\in\mathcal{H}[/tex] il funzionale lineare continuo
[tex]\langle\chi|\equiv\omega_\chi:=(\chi,\cdot)\in\mathcal{H}',\quad\omega_\chi\colon\psi\longmapsto(\chi,\psi)[/tex]
quindi, qual è l'azione di [tex]\langle A\phi|=\omega_{A\phi}[/tex] su un qualunque vettore [tex]\psi[/tex]?
[tex]\langle A\phi|\psi\rangle=\omega_{A\phi}(\psi)=(A\phi,\psi)=(\phi,A^\dagger\psi)=\langle\phi|A^\dagger\psi\rangle=\langle\phi|A^\dagger|\psi\rangle.[/tex]
Riassumendo, al vettore [tex]A|\psi\rangle=:|A\psi\rangle[/tex] è associato il vettore [tex]\langle A\psi|[/tex] la cui azione azione su un vettore [tex]|\chi\rangle[/tex] è
[tex]\langle A\psi|\chi\rangle=\langle\psi|A^\dagger|\chi\rangle.[/tex]
Comunque non è vero che i vettori di uno spazio di Hilbert [tex]\mathcal{H}[/tex] sono in corrispondenza biunivoca coi funzionali lineari del duale algebrico [tex]\mathcal{H}^\vee[/tex]; infatti si prova che, se [tex]\operatorname{dim}_{\Bbbk}\mathcal{H}[/tex] è infinito allora
[tex]\operatorname{dim}_{\Bbbk}\mathcal{H}\lneqq\operatorname{dim}_{\Bbbk}\mathcal{H^\vee}.[/tex]
Se invece del duale algebrico si considera il duale topologico [tex]\mathcal{H}'[/tex](lo spazio dei funzionali lineari continui su [tex]\mathcal{H}[/tex]), allora [tex]\mathcal{H}[/tex] è isometricamente isomorfo a [tex]\mathcal{H}'[/tex] per il teorema di Riesz.
Per la cosa scritta sulla lavagna, forse vuole metterti in guardia dal non dimenticare la daga quando l'operatore non è autoaggiunto.. Ad ogni modo esiste un metodo molto semplice per scoprire cosa intendesse dire il tuo insegnante: fissare un appuntamento per il ricevimento e chiederglielo direttamente
Mi sembra pian piano di capire meglio le cose, m i torna più o meno tutto di quanto dici, tuttavia non capisco
Non dovrebbe essere [tex]A|\psi\rangle=:|A\psi\rangle[/tex] cui associo [tex]\langle A^+\psi|[/tex]?
(O insomma viceversa: [tex]A|\psi\rangle=:|A^+\psi\rangle[/tex] cui associo [tex]\langle A\psi|[/tex], cioè da una aprte o dall'altra avrei messo una daga)
Mi aspetterei ciò perché da quanto scrivi: $\langle A\phi|\psi\rangle=\langle\phi|A^+\psi\rangle$
PS:
Ah no forse ho capito, notazionalmente è forse: [tex]A|\psi\rangle=:|A\psi\rangle[/tex] cui associo [tex]\langle A\psi|=\langle \psi|A^+[/tex]
Riassumendo, al vettore [tex]A|\psi\rangle=:|A\psi\rangle[/tex] è associato il vettore [tex]\langle A\psi|[/tex]
Non dovrebbe essere [tex]A|\psi\rangle=:|A\psi\rangle[/tex] cui associo [tex]\langle A^+\psi|[/tex]?
(O insomma viceversa: [tex]A|\psi\rangle=:|A^+\psi\rangle[/tex] cui associo [tex]\langle A\psi|[/tex], cioè da una aprte o dall'altra avrei messo una daga)
Mi aspetterei ciò perché da quanto scrivi: $\langle A\phi|\psi\rangle=\langle\phi|A^+\psi\rangle$
PS:
Ah no forse ho capito, notazionalmente è forse: [tex]A|\psi\rangle=:|A\psi\rangle[/tex] cui associo [tex]\langle A\psi|=\langle \psi|A^+[/tex]
Non capisco il tuo dubbio... la corrispondenza di Riesz (o "braket", se preferisci) associa
e quindi
Se tu consideri la funzione [tex]f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R},x\mapsto \frac{x}{a^2},\,a\ne0[/tex], l'immagine dell'elemento [tex]ax[/tex] la denoti con [tex]f(ax)[/tex] o [tex]f(x/a)[/tex]? Perché in base al tuo ragionamento, se ho ben capito, la scrittura corretta sarebbe la seconda
[tex]\langle \psi|\longleftrightarrow|\psi\rangle[/tex]
e quindi
[tex]\langle A\psi|\longleftrightarrow|A\psi\rangle.[/tex]
Se tu consideri la funzione [tex]f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R},x\mapsto \frac{x}{a^2},\,a\ne0[/tex], l'immagine dell'elemento [tex]ax[/tex] la denoti con [tex]f(ax)[/tex] o [tex]f(x/a)[/tex]? Perché in base al tuo ragionamento, se ho ben capito, la scrittura corretta sarebbe la seconda
Messa così mi hai convinto XD, no a parte gli scherzi il punto è che prendendo:
Dall'uguaglianza: $\langle A\phi|\psi\rangle=\langle\phi|A^+\psi\rangle$
avevo "interpretato" [tex]|A^+\psi\rangle[/tex] come lo scrivere la parte a dx dell'uguale e interpretatoa sua volta [tex]\langle A\psi|[/tex] come la parte a sx (cioe prendendo del braket o solo il bra o solo il ket)
Invece ho capito solo ora che quanto scrivevi voleva essere:
vabbé non so se sono stato chiaro, ma credo di aver compreso
Ma anche qui domanda, io ognii libro che leggo non trovo tutte 'ste faccende (Riesz non l'avevo manco nominato qui), vorrei approfondire meglio la parte matematica perchè credo il corso di metodi non mi abbia preparato del tutto. Tu dove hai studiato tutte queste cose, per quanto accumoli materiale non ne trovo di troppo soddisfacente, sono in crisi
[tex]\langle A\phi|\psi\rangle=\omega_{A\phi}(\psi)=(A\phi,\psi)=(\phi,A^\dagger\psi)=\langle\phi|A^\dagger\psi\rangle=\langle\phi|A^\dagger|\psi\rangle.[/tex]
Dall'uguaglianza: $\langle A\phi|\psi\rangle=\langle\phi|A^+\psi\rangle$
avevo "interpretato" [tex]|A^+\psi\rangle[/tex] come lo scrivere la parte a dx dell'uguale e interpretatoa sua volta [tex]\langle A\psi|[/tex] come la parte a sx (cioe prendendo del braket o solo il bra o solo il ket)
Invece ho capito solo ora che quanto scrivevi voleva essere:
[tex]\langle A\psi|\longleftrightarrow|A\psi\rangle.[/tex]
vabbé non so se sono stato chiaro, ma credo di aver compreso
Ma anche qui domanda, io ognii libro che leggo non trovo tutte 'ste faccende (Riesz non l'avevo manco nominato qui), vorrei approfondire meglio la parte matematica perchè credo il corso di metodi non mi abbia preparato del tutto. Tu dove hai studiato tutte queste cose, per quanto accumoli materiale non ne trovo di troppo soddisfacente, sono in crisi
In ordine di complessità
[*:1uooia4u] Ballentine, Quantum Mechanics § 2.1.1, 2.1.2;[/*:m:1uooia4u]
[*:1uooia4u] Scheck, Quantum Physics, 2nd ed. § 3.2.3, 3.3.1;[/*:m:1uooia4u]
[*:1uooia4u] Prugovečki, Quantum Mechanics in Hilbert Space § 3.2.1, 3.2.2, 3.2.3, 3.2.4, 3.2.5. [/*:m:1uooia4u][/list:u:1uooia4u]
Il teorema di Riesz lo trovi su qualunque libro di analisi funzionale che tratta gli spazi di Hilbert, ad esempio Debnath, Mikusiński, Introduction to Hilbert Spaces ¶ 3.7, 4.3, 4.4.
@413, grazie mille.
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