Normalizzazione funzione d'onda
Salve a tutti ragazzi ,
non sto riuscendo a capire come normalizzare questa funzione d'onda.
Allora ho :
$ psi(r,theta,phi )=Ax(r)(costheta +sinthetacosphi) $
Devo trovare la A "normalizzante " ,
mi si dice che la parte radiale è già normalizzata , allora ho solo da trovarmi questo :
$ |A|^2int_(0)^(2pi)int_(0)^(pi)|-isqrt((4pi)/3)Y_(1,0)-i/2sqrt((8pi)/3)(Y_(1,-1)-Y_(1,1))|^2sintheta d theta dphi=1 $
Qui ho inserito le armoniche sferiche , per rendere più semplice il calcolo.
Il risultato corretto è $A=sqrt(3/(8pi)$
Ora il problema è questo , se mi calcolo solo la norma arrivo al risultato giusto , se invece , proseguo con la mia logica,
mi si impiccia tutto con quel $sintheta$ fuori dalla norma ..
Grazie per l'aiuto.
non sto riuscendo a capire come normalizzare questa funzione d'onda.
Allora ho :
$ psi(r,theta,phi )=Ax(r)(costheta +sinthetacosphi) $
Devo trovare la A "normalizzante " ,
mi si dice che la parte radiale è già normalizzata , allora ho solo da trovarmi questo :
$ |A|^2int_(0)^(2pi)int_(0)^(pi)|-isqrt((4pi)/3)Y_(1,0)-i/2sqrt((8pi)/3)(Y_(1,-1)-Y_(1,1))|^2sintheta d theta dphi=1 $
Qui ho inserito le armoniche sferiche , per rendere più semplice il calcolo.
Il risultato corretto è $A=sqrt(3/(8pi)$
Ora il problema è questo , se mi calcolo solo la norma arrivo al risultato giusto , se invece , proseguo con la mia logica,
mi si impiccia tutto con quel $sintheta$ fuori dalla norma ..
Grazie per l'aiuto.
Risposte
Non ho ben capito dove stai sbagliando sinceramente però ti posso mostrare i passaggi corretti.
Abbiamo che $costheta=sqrt((4pi)/3)Y_(0,1)$
$cosphi=(e^(iphi)+e^(-iphi))/2$
ancora
$sintheta*e^(iphi)/2=-1/2sqrt((8pi)/3)Y_(1,1)$ e $sintheta*e^(-phi)/2=1/2sqrt((8pi)/3)Y_(1,-1)$
Qundi possiamo scrivere la funzione come
$Asqrt((4pi)/3)(Y_(0,1)+1/sqrt(2)Y_(1,-1)-1/sqrt(2)Y_(1,1))$
Se imponiamo la normalizzazione abbiamo che
$|A|^2(4pi)/3int_(0)^(pi) int_(0)^(2pi) sintheta |(Y_(0,1)+1/sqrt(2)Y_(1,-1)-1/sqrt(2)Y_(1,1))|^2d theta dphi=1$
ma sappiamo che le armoniche sferiche sono una base ortonormale quindi (sotto il segno di integrale) avremmo che $Y_a*Y_b=delta_(a,b)$ qundi
$|A|^2*(4pi)/3(int_(0)^(pi) int_(0)^(2pi) |Y_(1,0)|^2sinthetad thetadphi + 1/2int_(0)^(pi) int_(0)^(2pi) |Y_(1,1)|^2sinthetad thetadphi + 1/2int_(0)^(pi) int_(0)^(2pi) |Y_(1,-1)|^2sinthetad thetadphi)= |A|^2*(4pi)/3(1+1/2+1/2)=1$
$|A|^2(4pi)/3*2=1rArr A=sqrt(3/(8pi))$
Abbiamo che $costheta=sqrt((4pi)/3)Y_(0,1)$
$cosphi=(e^(iphi)+e^(-iphi))/2$
ancora
$sintheta*e^(iphi)/2=-1/2sqrt((8pi)/3)Y_(1,1)$ e $sintheta*e^(-phi)/2=1/2sqrt((8pi)/3)Y_(1,-1)$
Qundi possiamo scrivere la funzione come
$Asqrt((4pi)/3)(Y_(0,1)+1/sqrt(2)Y_(1,-1)-1/sqrt(2)Y_(1,1))$
Se imponiamo la normalizzazione abbiamo che
$|A|^2(4pi)/3int_(0)^(pi) int_(0)^(2pi) sintheta |(Y_(0,1)+1/sqrt(2)Y_(1,-1)-1/sqrt(2)Y_(1,1))|^2d theta dphi=1$
ma sappiamo che le armoniche sferiche sono una base ortonormale quindi (sotto il segno di integrale) avremmo che $Y_a*Y_b=delta_(a,b)$ qundi
$|A|^2*(4pi)/3(int_(0)^(pi) int_(0)^(2pi) |Y_(1,0)|^2sinthetad thetadphi + 1/2int_(0)^(pi) int_(0)^(2pi) |Y_(1,1)|^2sinthetad thetadphi + 1/2int_(0)^(pi) int_(0)^(2pi) |Y_(1,-1)|^2sinthetad thetadphi)= |A|^2*(4pi)/3(1+1/2+1/2)=1$
$|A|^2(4pi)/3*2=1rArr A=sqrt(3/(8pi))$
Ti ringrazio per avermi scritto tutto .
Hai ragione a non capire dove sbagliavo , non sbagliavo .
In tranquillità , ne avrò fatti mille di esercizi di questo genere , sono arrivato da solo fino al tuo terz 'ultimo passaggio .
Poi PAMMM , qualcosa mi si è spento dentro il cervello.
In pratica preso un termine qualunque $|Y_(1,-1)|^2$ dentro l'integrale , lo consideravo , uguale a 1 ,
senza neanche pensare al seno , da li poi mi calcolavo l'integrale con il seno dentro ..
Che dire mi vergogno un po
Più che ringraziarti , ti chiedo scusa per il tempo che t'ho fatto perdere.
PS: ho visto che stai preparando l'esame di astrofisica ,
da te è un corso a scelta vero ?
Hai ragione a non capire dove sbagliavo , non sbagliavo .
In tranquillità , ne avrò fatti mille di esercizi di questo genere , sono arrivato da solo fino al tuo terz 'ultimo passaggio .
Poi PAMMM , qualcosa mi si è spento dentro il cervello.
In pratica preso un termine qualunque $|Y_(1,-1)|^2$ dentro l'integrale , lo consideravo , uguale a 1 ,
senza neanche pensare al seno , da li poi mi calcolavo l'integrale con il seno dentro ..
Che dire mi vergogno un po
Più che ringraziarti , ti chiedo scusa per il tempo che t'ho fatto perdere.
PS: ho visto che stai preparando l'esame di astrofisica ,
da te è un corso a scelta vero ?
Figurati, mi fa bene ripassare.
No, è un corso obbligatorio. Perché me lo chiedi?
"Light_":
PS: ho visto che stai preparando l'esame di astrofisica ,
da te è un corso a scelta vero ?
No, è un corso obbligatorio. Perché me lo chiedi?
Nella mia università è un corso a scelta , con tutte le relative conseguenze...
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