Nel moto armonico semplice non è costante...
Salve a tutti, mi aiutate con un esercizio? Cosa non è costante nel moto armonico semplice e perchè?
a) La pulsazione
b) L'accelerazione
c) La velocità angolare
d) Il periodo
e) La frequenza
a) La pulsazione
b) L'accelerazione
c) La velocità angolare
d) Il periodo
e) La frequenza
Risposte
L'accelerazione. Infatti se l'equazione dello spazio in funzione del tempo è $x(t)=Acos(\omegat+\phi)$, l'accelerazione si ottiene derivando due volte rispetto al tempo, e quindi è $a(t)=-\omega^2Acos(\omegat+\phi)$.
Come vedi è una funzione dipendente dal tempo dunque non è costante.
Le altre grandezze sono costanti, infatti:
pulsazione $=\omega$
velocità angolare $=\omega$
periodo $=(2\pi)/\omega$
frequenza $=\omega/(2\pi)$
Come vedi è una funzione dipendente dal tempo dunque non è costante.
Le altre grandezze sono costanti, infatti:
pulsazione $=\omega$
velocità angolare $=\omega$
periodo $=(2\pi)/\omega$
frequenza $=\omega/(2\pi)$
Uff ma allora è vero che spesso e volentieri il Pedullà come eserciziario dà risultati errati... In questo caso dice che la risposta corretta è la D: il periodo, il che non mi sembra abbia senso. Comunque con un ragionamento intuitivo anch'io sono arrivato a rispondere l'accelerazione, intuitivo perchè le derivate devo ancora ripassarle.
Ti ringrazio per la risposta, ora vorrei un paio di spiegazioni. Dunque...
1. Cos'è +φ e da dove vien fuori?
2. Quindi l'accelerazione è la derivata seconda della funzione del tempo? Se non sbaglio questa è una routine che si verifica anche nell'uniformemente accelerato, dico bene? E la velocità dovrebbe essere la derivata prima...
3. Perchè hai distinto pulsazione e velocità angolare, pur mantenendo la stessa simbologia? Non sono la stessa cosa nel moto armonico?
Ok ho capito. E nel moto uniformemente accelerato non si può dire che l'accelerazione dipende dal tempo perchè è data dal rapporto Δv/Δt dove compare appunto il tempo?
P.S. Come fai a scrivere le formule in corsivo e azzurrino, praticamente evidenziate?
Ti ringrazio per la risposta, ora vorrei un paio di spiegazioni. Dunque...
1. Cos'è +φ e da dove vien fuori?
2. Quindi l'accelerazione è la derivata seconda della funzione del tempo? Se non sbaglio questa è una routine che si verifica anche nell'uniformemente accelerato, dico bene? E la velocità dovrebbe essere la derivata prima...
3. Perchè hai distinto pulsazione e velocità angolare, pur mantenendo la stessa simbologia? Non sono la stessa cosa nel moto armonico?
Come vedi è una funzione dipendente dal tempo dunque non è costante.
Ok ho capito. E nel moto uniformemente accelerato non si può dire che l'accelerazione dipende dal tempo perchè è data dal rapporto Δv/Δt dove compare appunto il tempo?
P.S. Come fai a scrivere le formule in corsivo e azzurrino, praticamente evidenziate?
Il $\phi$ è una costante come lo è anche A. Sono costanti di integrazione, cioè dato un sistema fisico che ha come soluzione l'equazione differenziale $(d^2x)/dt+\omega^2x=0$, come ad esempio un sistema costituito da una massa attacata a una molla, la cui soluzione è appunto il moto armonico, la soluzione generale contiene due costanti che vanno determinate sulla base di condizioni al contorno specifiche. Ad esempio la costante A rappresenta l'ampiezza x massima che si vuole ottenere, mentre la costante $\phi$ dipende dall'ampiezzza dell'oscillazione nel tempo t=0. Naturalmente se si impone che al tempo 0 l'ampiezza sia quella massima, allora $\phi=0$ e l'equazione diventa $x=Acos(\omegat)$.
Pulsazione è il termine usuale per la $\omega$. Il termine velocità angolare è più riferito al caso del moto circolare uniforme, dove essa rappresenta la derivata nel tempo dell'angolo al quale si trova il corpo che ruota. Se prendiamo un moto circolare uniforme e consideriamo la componente x del vettore posizione del corpo (cioè l'ascissa della posizione del corpo), allora compare la funzione coseno, cioè l'ascissa varia nel tempo con moto armonico la cui pulsazione coincide con la velocità angolare del moto circolare ad esso associato.
La velocità è la derivata prima della posizione, l'accelerazione è la derivata prima della velocità, ovvero la derivata seconda della posizione. Questo vale sempre e in ogni caso, non solo nel moto uniformemente accelerato. In quest'ultimo caso però accade che l'accelerazione è costante, cioè non dipende dal tempo (mentre in generale la derivata seconda della funzione posizione può dipendere dal tempo, come ad esempio nel caso del moto armonico).
Infatti l'equazione del moto uniformemente accelerato è:
$x(t)=x_0+v_0t+1/2at^2$
Se deriviamo una volta otteniamo la velocità ovvero:
$v(t)=v_0+at$
Derivando una seconda volta otteniamo l'accelerazione ovvero:
$a(t)=a$
Come vedi in questo caso l'accelerazione è una costante, mentre invece la velocità dipende dal tempo.
Nel moto rettilineo uniforme invece la velocità è costante e l'accelerazione è 0.
p.s. per vedere come faccio le formule basta che tu mi quoti e scopri il segreto. Ad ogni modo ti rinvio alla sezione opportuna del forum:
http://www.matematicamente.it/forum/come-si-scrivono-le-formule-t26179.html
Pulsazione è il termine usuale per la $\omega$. Il termine velocità angolare è più riferito al caso del moto circolare uniforme, dove essa rappresenta la derivata nel tempo dell'angolo al quale si trova il corpo che ruota. Se prendiamo un moto circolare uniforme e consideriamo la componente x del vettore posizione del corpo (cioè l'ascissa della posizione del corpo), allora compare la funzione coseno, cioè l'ascissa varia nel tempo con moto armonico la cui pulsazione coincide con la velocità angolare del moto circolare ad esso associato.
La velocità è la derivata prima della posizione, l'accelerazione è la derivata prima della velocità, ovvero la derivata seconda della posizione. Questo vale sempre e in ogni caso, non solo nel moto uniformemente accelerato. In quest'ultimo caso però accade che l'accelerazione è costante, cioè non dipende dal tempo (mentre in generale la derivata seconda della funzione posizione può dipendere dal tempo, come ad esempio nel caso del moto armonico).
Infatti l'equazione del moto uniformemente accelerato è:
$x(t)=x_0+v_0t+1/2at^2$
Se deriviamo una volta otteniamo la velocità ovvero:
$v(t)=v_0+at$
Derivando una seconda volta otteniamo l'accelerazione ovvero:
$a(t)=a$
Come vedi in questo caso l'accelerazione è una costante, mentre invece la velocità dipende dal tempo.
Nel moto rettilineo uniforme invece la velocità è costante e l'accelerazione è 0.
p.s. per vedere come faccio le formule basta che tu mi quoti e scopri il segreto. Ad ogni modo ti rinvio alla sezione opportuna del forum:
http://www.matematicamente.it/forum/come-si-scrivono-le-formule-t26179.html
Ho capito più o meno tutto, anche se usi un linguaggio che credo sia molto appropriato e tuttavia un po' impegnativo per le mie conoscenze.
Ecco, soprattutto nel tuo secondo paragrafo: cioè le posizioni occupate dal corpo nel moto armonico corrispondono alle progressive proiezioni sul diametro o sulle ascisse delle posizioni occupate dal corpo impegnato nel moto circolare uniforme, no? Spero si comprenda da come l'ho espresso, forse un po' intricato.
Grazie, chiara anche la spiegazione sul moto uniformemente accelerato e sul resto. Ma allora cosa significa scrivere questo $a=(\Deltav)/(Deltat)$ e cosa scrivere invece questo $a(t)=a$? Cosa sto esprimendo con l'una formula e cosa con l'altra?
Ecco, soprattutto nel tuo secondo paragrafo: cioè le posizioni occupate dal corpo nel moto armonico corrispondono alle progressive proiezioni sul diametro o sulle ascisse delle posizioni occupate dal corpo impegnato nel moto circolare uniforme, no? Spero si comprenda da come l'ho espresso, forse un po' intricato.
Grazie, chiara anche la spiegazione sul moto uniformemente accelerato e sul resto. Ma allora cosa significa scrivere questo $a=(\Deltav)/(Deltat)$ e cosa scrivere invece questo $a(t)=a$? Cosa sto esprimendo con l'una formula e cosa con l'altra?
Sì hai capito giusto riguardo al moto circolare.
Riguardo alle derivate, nel caso del moto uniformemente accelerato ecco come si ricavano:
$x(t)=x_0+v_0t+1/2at^2$
$v(t)~=(\Deltax)/(Deltat)=((x_0+v_0(t+\Deltat)+1/2a(t+\Deltat)^2)-(x_0+v_0t+1/2at^2))/(\Deltat)$
$v(t)~=(x_0+v_0t+v_0\Deltat+1/2a(t^2+\Deltat^2+2t\Deltat)-x_0-v_0t-1/2at^2)/(\Deltat)$
$v(t)~=(v_0\Deltat+1/2a\Deltat^2+1/2a2t\Deltat)/(\Deltat)$
$v(t)~=v_0+1/2a\Deltat+1/2a2t$
La derivata si ottiene facendo tendere a zero l'intervallo $\Deltat$, per cui facendo questo limite si ha:
$v(t)=v_0+at$
Derivando ancora una volta si ottiene:
$a(t)~=(\Deltav)/(Deltat)=((v_0+a(t+\Deltat))-(v_0+at))/(Deltat)$
$a(t)~=(a\Deltat)/(Deltat)=a$
Qui il $\Deltat$ è sparito da solo, per cui facendo il limite per $\Deltat$ tendente a zero il risultato non cambia:
$a(t)=a$
Riguardo alle derivate, nel caso del moto uniformemente accelerato ecco come si ricavano:
$x(t)=x_0+v_0t+1/2at^2$
$v(t)~=(\Deltax)/(Deltat)=((x_0+v_0(t+\Deltat)+1/2a(t+\Deltat)^2)-(x_0+v_0t+1/2at^2))/(\Deltat)$
$v(t)~=(x_0+v_0t+v_0\Deltat+1/2a(t^2+\Deltat^2+2t\Deltat)-x_0-v_0t-1/2at^2)/(\Deltat)$
$v(t)~=(v_0\Deltat+1/2a\Deltat^2+1/2a2t\Deltat)/(\Deltat)$
$v(t)~=v_0+1/2a\Deltat+1/2a2t$
La derivata si ottiene facendo tendere a zero l'intervallo $\Deltat$, per cui facendo questo limite si ha:
$v(t)=v_0+at$
Derivando ancora una volta si ottiene:
$a(t)~=(\Deltav)/(Deltat)=((v_0+a(t+\Deltat))-(v_0+at))/(Deltat)$
$a(t)~=(a\Deltat)/(Deltat)=a$
Qui il $\Deltat$ è sparito da solo, per cui facendo il limite per $\Deltat$ tendente a zero il risultato non cambia:
$a(t)=a$
Grazie mille. 
Ultima cosetta, credo: perchè a partire dalla formula della velocità hai sostituito l'uguale $=$ con il circa uguale $~=$?
Ultima cosetta, credo: perchè a partire dalla formula della velocità hai sostituito l'uguale $=$ con il circa uguale $~=$?
"Logan":
Grazie mille.
Volevo mettere in evidenza che quando ad esempio gli intervalli di tempo e spazio sono finiti, l'uguaglianza tra il rapporto incrementale e la velocità vale solo "all'incirca", nel senso che quella a sinistra del segno di = non è la velocità esatta al tempo t ma solo la velocità media nell'intervallo delta-t successivo a t. L'uguaglianza diventa tanto più vera quanto più piccolo è l'intervallo scelto, per divenire esatta solo quando l'intervallo tende a zero.
Bada che la simbologia che ho usato non è rigorosa ma è solo per farti capire; un matematico probabilmente inorridirebbe.
"Falco5x":
[quote="Logan"]Grazie mille.
Volevo mettere in evidenza che quando ad esempio gli intervalli di tempo e spazio sono finiti, l'uguaglianza tra il rapporto incrementale e la velocità vale solo "all'incirca", nel senso che quella a sinistra del segno di = non è la velocità esatta al tempo t ma solo la velocità media nell'intervallo delta-t successivo a t. L'uguaglianza diventa tanto più vera quanto più piccolo è l'intervallo scelto, per divenire esatta solo quando l'intervallo tende a zero.
Bada che la simbologia che ho usato non è rigorosa ma è solo per farti capire; un matematico probabilmente inorridirebbe.[/quote]
Cioè arrivando il più vicino possibile al valore della velocità istantanea?
"Logan":
[quote="Falco5x"][quote="Logan"]Grazie mille.
Volevo mettere in evidenza che quando ad esempio gli intervalli di tempo e spazio sono finiti, l'uguaglianza tra il rapporto incrementale e la velocità vale solo "all'incirca", nel senso che quella a sinistra del segno di = non è la velocità esatta al tempo t ma solo la velocità media nell'intervallo delta-t successivo a t. L'uguaglianza diventa tanto più vera quanto più piccolo è l'intervallo scelto, per divenire esatta solo quando l'intervallo tende a zero.
Bada che la simbologia che ho usato non è rigorosa ma è solo per farti capire; un matematico probabilmente inorridirebbe.[/quote]
Cioè arrivando il più vicino possibile al valore della velocità istantanea?
[/quote]Sì; e al limite per delta-t tendente a zero, velocità media e velocità istantanea coincidono proprio.
"Falco5x":
Sì; e al limite per delta-t tendente a zero, velocità media e velocità istantanea coincidono proprio.
Ok, un ringraziamento tendente a 100 per le risposte, alla prossima!
Scusate il doppio post, ma visto che l'argomento è lo stesso utilizzo questo topic. Perchè nel moto del pendolo semplice $\omega=sqrt((g/l))
P.S. Era mia intenzione fare la radice che comprende tutta la frazione, si fa così?
P.S. Era mia intenzione fare la radice che comprende tutta la frazione, si fa così?
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