\(\nabla^2\mathbf{A}=-\mu_0\mathbf{J}\)
Leggo che il potenziale vettore \(\mathbf{A}\) soddisfa l'equazione $$\nabla^2\mathbf{A}=-\mu_0\mathbf{J}$$
Ora, dato che sappiamo che \(\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J}\), mi sono detto, per verificare tale eguaglianza, utilizziamo la relazione, valida per ogni $\mathbf{A}\in C^2$, $$\nabla^2 \mathbf{A}=\nabla(\nabla\cdot \mathbf{A})-\nabla\times(\nabla \times\mathbf{A})$$da cui $$\nabla^2 \mathbf{A}=\nabla(\nabla\cdot \mathbf{A})-\nabla\times\mathbf{B}$$Perché però il primo termine è nullo? So che $\nabla\cdot \mathbf{B}=0$, ma qui è la divergenza del potenziale vettore ad avere gradiente nullo...
$\infty$ grazie per ogni risposta!
Ora, dato che sappiamo che \(\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J}\), mi sono detto, per verificare tale eguaglianza, utilizziamo la relazione, valida per ogni $\mathbf{A}\in C^2$, $$\nabla^2 \mathbf{A}=\nabla(\nabla\cdot \mathbf{A})-\nabla\times(\nabla \times\mathbf{A})$$da cui $$\nabla^2 \mathbf{A}=\nabla(\nabla\cdot \mathbf{A})-\nabla\times\mathbf{B}$$Perché però il primo termine è nullo? So che $\nabla\cdot \mathbf{B}=0$, ma qui è la divergenza del potenziale vettore ad avere gradiente nullo...
$\infty$ grazie per ogni risposta!
Risposte
Bisogna innanzitutto partire da come è definito il potenziale vettore $\vec(A)$; sicuramente vale in un caso stazionario che $\nabla^2vec(A)=-\mu_0vec(J)$ ma questa è una conseguenza, non un punto di partenza 
.
Il potenziale vettore è, per definizione, "costruito" tale che valga:
$vec(B)=\nabla\times\vec(A)$
In questo modo il potenziale vettore è però definito a meno di un campo irrotazionale; ti è familiare il concetto di "trasformazione di gauge"? Perché da qui sai rispondermi da te
.Il potenziale vettore è, per definizione, "costruito" tale che valga:
$vec(B)=\nabla\times\vec(A)$
In questo modo il potenziale vettore è però definito a meno di un campo irrotazionale; ti è familiare il concetto di "trasformazione di gauge"? Perché da qui sai rispondermi da te
Grazie per la risposta!
No, mai sentito parlare di trasformazioni di gauge. So che, se $\mathbf{J}\in C^2(\mathbb{R}^3)$ è a supporto compatto contenuto in $V$, allora definendo $$\mathbf{A}(\mathbf{x}):=\int_V \frac{\mathbf{J}(\mathbf{y})}{\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|}d\mu_\mathbf{y}$$vale $\nabla^2\mathbf{A}=-\mu_0\mathbf{J}$. Tuttavia, da come la mette il libro, credevo che valesse in generale...
No, mai sentito parlare di trasformazioni di gauge. So che, se $\mathbf{J}\in C^2(\mathbb{R}^3)$ è a supporto compatto contenuto in $V$, allora definendo $$\mathbf{A}(\mathbf{x}):=\int_V \frac{\mathbf{J}(\mathbf{y})}{\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|}d\mu_\mathbf{y}$$vale $\nabla^2\mathbf{A}=-\mu_0\mathbf{J}$. Tuttavia, da come la mette il libro, credevo che valesse in generale...
No, non vale in generale, qui per esempio http://giulioraganelli.altervista.org/f ... tolo11.pdf dice che per semplicità, tra i tanti possibili potenziali vettori, si sceglie quello tale che $\nabla\cdot \mathbf{A}=0$
Devo ammettere che non ho mai sentito definito il potenziale vettore in questo modo 
Se provi a definire $vec(A)$ tale che $vec(B)=\nabla\times\vec(A)$, le cose sono subito chiare
Prima di tutto, perché si definisce $\vec(A)$ in questo modo? Nel caso stazionario del campo elettrico, si ricorre a definire $V$ tale che $\vec(E)=\nablaV$ in quanto, essendo $\nabla\times\vec(E)=0$, il campo è irrotazionale e conservativo, per questo è lecito porlo uguale al gradiente di una funzione scalare. Ci chiediamo quindi: possiamo usare lo stesso artificio per $\vec(B)$? Certamente, usando stavolta l'equazione di Maxwell...
$\nabla\cdot\vec(B)=0$
Vediamo che, ponendo $\vec(B)=\nabla\times\vec(A)$ la seconda di Maxwell rimane invariata, in quanto la divergenza di un rotore è sempre nulla.
Ora, come nel caso del potenziale $V$ esso è definito a meno di una costante, nel caso del potenziale vettore abbiamo un po' più di "libertà": addirittura, il potenziale vettore è definito a meno di un campo irrotazionale, come può esserlo ad esempio il gradiente di una funzione scalare $\varphi$. Noterai infatti che, se poniamo...
$vec(A')=vec(A)+\nabla\varphi$
Varrà:
$\nabla\times\vec(A')=\nabla\times(vec(A)+\nabla\varphi)=\nabla\times\vec(A)+\nabla\times(\nabla\varphi)=\nabla\times\vec(A)$
Quindi anche $vec(A')$ è un valido concorrente per la definizione del nostro potenziale vettore, poiché verifica ancora la terza di Maxwell. Allora facciamoci furbi: tra tutti i potenziali vettori, scegliamo quello tale che $\nabla\cdot\vec(A')=0$: questa scelta, detta di gauge, ci darà grande semplificazione nei calcoli. Questa condizione è verificata solo dal momento in cui...
$\nabla\cdot(\vec(A)+\nabla\varphi)=\nabla\cdot\vec(A')=0 \Leftrightarrow \nabla^2\varphi=-\nabla\cdot\vec(A)$
Si può dimostrare che l'equazione ottenuta alle derivate parziali (che forse avrai incontrato negli studi di analisi 2)...
$\nabla^2\varphi=-\nabla\cdot\vec(A)$
Ammette soluzione e, poste le condizioni al contorno, è unica: quindi possiamo trovare e fissare $varphi$ tale che valga $\nabla\cdot\vec(A')=0$ poiché continuiamo a non dar fastidio alle equazioni di Maxwell. Da qui sai perché quella quantità è 0. Se c'è un'altra motivazione che parte da altri principi (cioè non partendo da $\vec(B)=\nabla\times\vec(A)$) ti prego di scrivere perché sono curioso di sapere come si può ribaltare il tutto!
Se provi a definire $vec(A)$ tale che $vec(B)=\nabla\times\vec(A)$, le cose sono subito chiare Prima di tutto, perché si definisce $\vec(A)$ in questo modo? Nel caso stazionario del campo elettrico, si ricorre a definire $V$ tale che $\vec(E)=\nablaV$ in quanto, essendo $\nabla\times\vec(E)=0$, il campo è irrotazionale e conservativo, per questo è lecito porlo uguale al gradiente di una funzione scalare. Ci chiediamo quindi: possiamo usare lo stesso artificio per $\vec(B)$? Certamente, usando stavolta l'equazione di Maxwell...
$\nabla\cdot\vec(B)=0$
Vediamo che, ponendo $\vec(B)=\nabla\times\vec(A)$ la seconda di Maxwell rimane invariata, in quanto la divergenza di un rotore è sempre nulla.
Ora, come nel caso del potenziale $V$ esso è definito a meno di una costante, nel caso del potenziale vettore abbiamo un po' più di "libertà": addirittura, il potenziale vettore è definito a meno di un campo irrotazionale, come può esserlo ad esempio il gradiente di una funzione scalare $\varphi$. Noterai infatti che, se poniamo...
$vec(A')=vec(A)+\nabla\varphi$
Varrà:
$\nabla\times\vec(A')=\nabla\times(vec(A)+\nabla\varphi)=\nabla\times\vec(A)+\nabla\times(\nabla\varphi)=\nabla\times\vec(A)$
Quindi anche $vec(A')$ è un valido concorrente per la definizione del nostro potenziale vettore, poiché verifica ancora la terza di Maxwell. Allora facciamoci furbi: tra tutti i potenziali vettori, scegliamo quello tale che $\nabla\cdot\vec(A')=0$: questa scelta, detta di gauge, ci darà grande semplificazione nei calcoli. Questa condizione è verificata solo dal momento in cui...
$\nabla\cdot(\vec(A)+\nabla\varphi)=\nabla\cdot\vec(A')=0 \Leftrightarrow \nabla^2\varphi=-\nabla\cdot\vec(A)$
Si può dimostrare che l'equazione ottenuta alle derivate parziali (che forse avrai incontrato negli studi di analisi 2)...
$\nabla^2\varphi=-\nabla\cdot\vec(A)$
Ammette soluzione e, poste le condizioni al contorno, è unica: quindi possiamo trovare e fissare $varphi$ tale che valga $\nabla\cdot\vec(A')=0$ poiché continuiamo a non dar fastidio alle equazioni di Maxwell. Da qui sai perché quella quantità è 0. Se c'è un'altra motivazione che parte da altri principi (cioè non partendo da $\vec(B)=\nabla\times\vec(A)$) ti prego di scrivere perché sono curioso di sapere come si può ribaltare il tutto!
"Lele0012":Ma che interessante! Purtroppo sul testo di "analisi 2" che ho seguito io, il Barutello-Conti-Ferrario-Terracini-Verzini non vengono trattate le equazioni alle derivate parziali, ma ho sempre più voglia di affrontare l'argomento, magari da un testo elementare come il Pagani-Salsa, che potrebbe essermi utile per un buon ripasso di analisi matematica e di teoria della misura/integrazione alla Lebesgue (che ho studiato sul Kolmogorov-Fomin, esperienza generatrice di molte emicranie).
Si può dimostrare che l'equazione ottenuta alle derivate parziali (che forse avrai incontrato negli studi di analisi 2)...
$\nabla^2\varphi=-\nabla\cdot\vec(A)$
Ammette soluzione e, poste le condizioni al contorno, è unica: quindi possiamo trovare e fissare $varphi$ tale che valga $\nabla\cdot\vec(A')=0$ poiché continuiamo a non dar fastidio alle equazioni di Maxwell.
Grazie $\infty$!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo