N palline sospese
Vorrei mostrarvi un esercizio, con la mia risoluzione, per avere un confronto.
"Si consideri un sistema di $n$ palline sospese in quiete, con i baricentri lungo una linea orizzontale $l$ e ad una distanza l'una dall'altra piccola rispetto alla lunghezza dei fili di sospensione. La prima pallina abbia massa $am$, la seconda $a^2m$, la terza $a^3m$, ecc.. Una pallina proiettile di massa $m$ e velocità $v$ urta, muovendosi lungo $l$, la prima pallina sospesa, provocando una serie di urti successivi. Supponendo che le collisioni siano perfettamente elastiche, calcolare la velocità e l'energia cinetica dell'ennesima pallina. Si confronti con il caso di urto diretto proiettile-ennesima pallina esaminando il caso in cui $a$ è prossimo a 1."
Allora, dal fatto che le collisioni sono perfettamente elastiche, ho dedotto che l'energia cinetica si conserva, quindi l'energia cinetica della pallina $n$ ho pensato dovesse essere uguale all'energia cinetica del proiettile $E_c=1/2mv^2$. Per quanto riguarda la velocità della pallina $1/2mv^2=1/2a^nmV^2$,ottengo $V=v/(sqrt(a^n))$. [Ho anche qui un dubbio: non devo applicare per niente la conservazione della quantità di moto e quindi considerare le velocità di ritorno indietro delle palle che hanno appena fatto l'urto??].
Nel secondo punto, ho pensato che il caso di urto diretto sia del tutto identico alla serie di $n$ urti successivi e con $a$ che tende allo 1, cioè con la pallina $n$ identica al proiettile, ottengo che la velocità che la palla $n$ acquista è proprio $v$, come accade fra l'urto di due corpi dalla stessa massa che avviene su una retta e in cui il secondo corpo è fermo.
Cosa ne dite? Grazie!
"Si consideri un sistema di $n$ palline sospese in quiete, con i baricentri lungo una linea orizzontale $l$ e ad una distanza l'una dall'altra piccola rispetto alla lunghezza dei fili di sospensione. La prima pallina abbia massa $am$, la seconda $a^2m$, la terza $a^3m$, ecc.. Una pallina proiettile di massa $m$ e velocità $v$ urta, muovendosi lungo $l$, la prima pallina sospesa, provocando una serie di urti successivi. Supponendo che le collisioni siano perfettamente elastiche, calcolare la velocità e l'energia cinetica dell'ennesima pallina. Si confronti con il caso di urto diretto proiettile-ennesima pallina esaminando il caso in cui $a$ è prossimo a 1."
Allora, dal fatto che le collisioni sono perfettamente elastiche, ho dedotto che l'energia cinetica si conserva, quindi l'energia cinetica della pallina $n$ ho pensato dovesse essere uguale all'energia cinetica del proiettile $E_c=1/2mv^2$. Per quanto riguarda la velocità della pallina $1/2mv^2=1/2a^nmV^2$,ottengo $V=v/(sqrt(a^n))$. [Ho anche qui un dubbio: non devo applicare per niente la conservazione della quantità di moto e quindi considerare le velocità di ritorno indietro delle palle che hanno appena fatto l'urto??].
Nel secondo punto, ho pensato che il caso di urto diretto sia del tutto identico alla serie di $n$ urti successivi e con $a$ che tende allo 1, cioè con la pallina $n$ identica al proiettile, ottengo che la velocità che la palla $n$ acquista è proprio $v$, come accade fra l'urto di due corpi dalla stessa massa che avviene su una retta e in cui il secondo corpo è fermo.
Cosa ne dite? Grazie!
Risposte
"elios":
...
[Ho anche qui un dubbio: non devo applicare per niente la conservazione della quantità di moto e quindi considerare le velocità di ritorno indietro delle palle che hanno appena fatto l'urto??].
...
E' evidente che devi tener conto anche della conservazione della quantità di moto....
Quindi il calcolo dell'energia cinetica è sbagliato, e va considerata anche la velocità di ritorno,giusto?
Consideriamo il primo urto tra il proiettile e la prima pallina.
La velocità finale della pallina è data dalla formula:
$v_1=(2/(1+a)) v$
Considerando l'urto tra la prima e la seconda pallina si ha:
$v_2=(2/(1+a)) v_1=(2/(1+a))^2v$
In generale la velocità della ennesima pallina è perciò:
$v_n=(2/(1+a))^nv$.
La velocità finale della pallina è data dalla formula:
$v_1=(2/(1+a)) v$
Considerando l'urto tra la prima e la seconda pallina si ha:
$v_2=(2/(1+a)) v_1=(2/(1+a))^2v$
In generale la velocità della ennesima pallina è perciò:
$v_n=(2/(1+a))^nv$.
"MaMo":
$v_1=(2/(1+a)) v$
Perdonami, ma da cosa te la sei ricavata?
"elios":
[quote="MaMo"]
$v_1=(2/(1+a)) v$
Perdonami, ma da cosa te la sei ricavata?[/quote]
Applicando la conservazione dell'energia e della quantità di moto.
Considerando anche la velocità che ha il proiettile tornando indietro, giusto?
Ok, ok, ok. Ci sono!
Ricapitolando, la velocità all'ennesima pallina è
$v_n=(2/(1+a))^n*v$
e la sua energia cinetica di conseguenza
$K_n=1/2a^nm(2/(1+a))^(2n)*v^2$.
Per quanto riguarda il caso in cui $a$ è 1, ottengo $v_1=v$.
Errori?
$v_n=(2/(1+a))^n*v$
e la sua energia cinetica di conseguenza
$K_n=1/2a^nm(2/(1+a))^(2n)*v^2$.
Per quanto riguarda il caso in cui $a$ è 1, ottengo $v_1=v$.
Errori?
devo dedurre che sia giusto? =)
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