MVP delle funzioni armoniche - interpretazione fisica

[dissonance]

(MVP sta per Mean Value Property, la proprietà delle funzioni armoniche di assumere in ogni punto valore uguale alla media integrale su una sfera centrata nello stesso).

[EDIT] Ho dimenticato di dire: tutti gli integrali $int int$ si intendono estesi ad una superficie sferica di centro $P$ e raggio $r$. [/EDIT]

Leggendo il mio libro di Fisica 2 trovo per questa proprietà delle funzioni armoniche una interpretazione fisica che purtroppo non capisco. Prendiamo un sistema di cariche puntiformi $q_1 \ldots q_n$ e consideriamone un relativo potenziale elettrostatico $phi$. Vogliamo dimostrare con considerazioni di carattere fisico che per ogni punto dello spazio vuoto $P$ risulta $\frac{\intint phi\ dS}{4 pi r^2} = \phi(P)$ (ovvero la proprietà MVP delle funzioni armoniche). Per fare questo il libro osserva che

Calcolare il vlaor medio del potenziale sulla superficie sferica di centro $P$ e raggio $r$ equivale a calcolare il lavoro necessario per trasportare cariche dall'infinito alla superficie della sfera, in modo da ottenere una distribuzione uniforme di carica con densità $sigma$, e poi dividere tale lavoro per la carica totale trasportata:

$\frac{\intint phi\ dS}{4 pi r^2}=\frac{\intint phi sigma\ dS}{4 pi r^2 sigma}$

E fin qui mi convince. Presumo stia usando il fatto che -per come sono distribuite le cariche- l'infinito è una superficie equipotenziale, e quindi la può considerare a potenziale nullo.
Poi continua così:

Ma il lavoro speso per caricare uniformemente la sfera con densità $sigma$ in presenza del campo prodotto dalle cariche $q_i$ è equivalente al lavoro necessario per trasportare le cariche $q_i$ nel campo della sfera carica, in quanto il campo elettrico è conservativo.

??? Confesso che non capisco proprio.
Infine conclude con:

Sappiamo però che una sfera carica uniformemente genera nei punti esterni un campo pari a quello di una carica puntiforme posta nel centro $P$, Questa osservazione ci permette di concludere che il valor medio del potenziale sulla superficie sferica deve coincidere con il valore che il potenziale assume nel punto $P$.

Anche qui ho difficoltà. Infatti il campo generato da una carica puntiforme $q$ (piazzata nell'origine) ha espressione analitica

$\vec{E}=1/(4 pi epsilon_0} q/(r^2) (\frac{\vec{r}}{r})$

e ha pertanto una discontinuità nell'origine. Come può allora ammettere un potenziale in questo punto? Stesso discorso per il campo generato dalla superficie sferica, che ha un salto in corrispondenza della superficie stessa.

[VINX89]

Il campo elettrostatico, in quanto conservativo, è tale per cui il lavoro compiuto per uno spostamento di cariche dipende solo dagli stati iniziale e finale, e non
dalla "trasformazione" eseguita; ne consegue che, se la configurazione finale è la stessa, portare le cariche dall'infinito sulla sfera in presenza di altre cariche oppure portare queste ultime cariche nel campo della sfera comporta lo stesso lavoro.

Il campo elettrostatico all'interno di una sfera cava in equilibrio è nullo per il teorema di Gauss; all'esterno vale $vecE = q/(4 pi epsilon_0 r^2) (vecr/r)$, cioè
come una carica puntiforme.
Applicando la definizione si trova il potenziale: $V = int_r^infty E dr = q/(4 pi epsilon_0 r)$

Sulla superficie, detto $R$ il raggio, si ha $V = q/(4 pi epsilon_0 R)$

Siccome all'interno il campo è nullo e poichè $vecE = - gradV$, allora il potenziale è costante (basta notare che la derivata di una costante è nulla).

Di conseguenza il valore di $V$ trovato sulla superficie è lo stesso anche all'interno.

[dissonance]

Innanzitutto ti ringrazio per avermi risposto. C'è purtroppo un punto che ancora non mi è chiarissimo:

"VINX89":se la configurazione finale è la stessa, portare le cariche dall'infinito sulla sfera in presenza di altre cariche oppure portare queste ultime cariche nel campo della sfera comporta lo stesso lavoro.

Ma la configurazione finale non è mica la stessa... Nel primo caso hai trasportato cariche dall'infinito sulla sfera, quindi ti ritrovi con una sfera carica e le cariche puntiformi $q_1, ..., q_n$ che avevi in partenza. Se invece sposti le cariche puntiformi nel campo della sfera, ti ritrovi con una sfera scarica e $q_1, ..., q_n$ al suo interno. Giusto? Probabilmente è proprio qui che mi sbaglio... Se ti va di spiegarmi mi faresti un favore. Grazie.

[VINX89]

Si presuppone che la sfera sia già carica, e che le cariche $q_1 ... q_n$ siano semplicemente trasportate nel campo prodotto dalla sfera: se così non fosse, non avrebbe nemmeno senso parlare di "campo della sfera".
Le situazioni sono due:

Sfera scarica $->$ cariche dall'infinito sulla sfera

Sfera carica $->$ cariche $q_1 ... q_n$ portate nel campo della sfera.

In pratica la seconda situazione è diversa fisicamente dalla prima, ma è equivalente dal punto di vista energetico.

P.S: non ci metterei la mano sul fuoco, ma da quello che dice il tuo libro questo mi sembra il ragionamento seguito.