MQ1: Funzione di un operatore e funzione caratteristica (caso degenere)
Buongiorno a tutti,
leggendo alcune dispense sui concetti base della Meccanica Quantistica mi sono imbattuta più volte nei termini di funzione di un operatore e funzione caratteristica (per autovalori degeneri) che vengono dati praticamente per scontati. Tuttavia su internet faccio fatica a trovare una descrizione chiara e completa di questi due concetti, qualcuno saprebbe chiarirmeli?
Grazie!
Frapp
leggendo alcune dispense sui concetti base della Meccanica Quantistica mi sono imbattuta più volte nei termini di funzione di un operatore e funzione caratteristica (per autovalori degeneri) che vengono dati praticamente per scontati. Tuttavia su internet faccio fatica a trovare una descrizione chiara e completa di questi due concetti, qualcuno saprebbe chiarirmeli?
Grazie!
Frapp
Risposte
Provo a risponderti vediamo se ci azzeccho. Il termine "funzione di un operatore" mi sembra essere ridondante siccome una funzione è un operatore, in che contesto viene usata?
La funzione caratteristica secondo me si riferisce al "delta di Kronecker" che in Quantistica è definita:
$ =\delta_{ij}=\{(1\quad se\quad i=j), (0\quad se\quad i!=j) :} $
Che sta a rappresentare il fatto che gli stati di un sistema sono tra di loro ortogonali (o meglio possono essere rappresentati da un insieme di vettori ortogonali).
Più in generale una funzione caratteristica o indidcatrice di un insieme $X$ è una funzione che ha valore "1" per ogni elemento dell'insieme e "0" per tutti gli altri:
$C(X)=\{(1\quad se\quad x\inX), (0\quad se\quadx\notinX):}$
La funzione caratteristica secondo me si riferisce al "delta di Kronecker" che in Quantistica è definita:
$
Che sta a rappresentare il fatto che gli stati di un sistema sono tra di loro ortogonali (o meglio possono essere rappresentati da un insieme di vettori ortogonali).
Più in generale una funzione caratteristica o indidcatrice di un insieme $X$ è una funzione che ha valore "1" per ogni elemento dell'insieme e "0" per tutti gli altri:
$C(X)=\{(1\quad se\quad x\inX), (0\quad se\quadx\notinX):}$
Supponi di avere due operatori $\hat{A}$ $\hat{B}$. Saprai che puoi definire due nuovi operatori somma e prodotto che agiscono nel seguente modo
$(\hat{A}+\hat{B})\psi=\hat{A}\psi+\hat{B}\psi$
$(\hat{A}\hat{B})\psi=\hat{A}(\hat{B}\psi)$
Supponi ora di avere una funzione analitica $f(x)=sum_{i=0}^\infty a_ix^i$, dove $a_i$ sono numeri fissati. Dato un operatore $\hat{A}$ puoi definire un nuovo operatore $f(\hat{A})$ definito come $f(\hat{A})=sum_{i=0}^\infty a_i\hat{A}^i$, dove la somma di operatori e la loro elevazione a potenza ha senso grazie alle definizioni di somma e prodotto date sopra.
In MQ troverai spesso l'esponenziazione di un operatore, che ha senso in quanto l'esponenziale ha una sua serie di taylor.
$(\hat{A}+\hat{B})\psi=\hat{A}\psi+\hat{B}\psi$
$(\hat{A}\hat{B})\psi=\hat{A}(\hat{B}\psi)$
Supponi ora di avere una funzione analitica $f(x)=sum_{i=0}^\infty a_ix^i$, dove $a_i$ sono numeri fissati. Dato un operatore $\hat{A}$ puoi definire un nuovo operatore $f(\hat{A})$ definito come $f(\hat{A})=sum_{i=0}^\infty a_i\hat{A}^i$, dove la somma di operatori e la loro elevazione a potenza ha senso grazie alle definizioni di somma e prodotto date sopra.
In MQ troverai spesso l'esponenziazione di un operatore, che ha senso in quanto l'esponenziale ha una sua serie di taylor.
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