[MQ] Traslazioni spaziali e temporali

[sgrisolo]

Sera gente!

Cerco un aiuto per capire un punto su cui temo di essermi arenato.

Per quanto riguarda la traslazione temporale, indico con $U(\tau)|alpha(t)\rangle$ la trasformazione data dall'operatore unitario U sullo stato alpha.
Siccome mi aspetto $U=e^(-i(H)/ħ\tau)$ (mostrato per altra via) volevo provare a ragionare in questi termini:

$|alpha(t+\tau)\rangle=$ (sviluppo con taylor)
$| $ $alpha(t)>+\tau(partial)/(partialt)$ $| $ $alpha(t)$ $\rangle$ $=(1-i(H)/ħ\tau)|alpha(t)>$ (1)

Che come deve essere è il primo termine dello sviluppo di taylor dell'esponenziale con cui definisco U.

Volevo poi provare a studiarmi una traslazione spaziale data da un $U(a)$ con a parametro continuo, il professore ha mostrato come $U(a)|x_0\rangle=|x_0+a\rangle$

E nello spazio delle coordinate:

$psi'(x)= = = = psi(x-a)$

Svolgendo uno sviluppo simile al precedente ho:

$psi'(x)=psi(x-a)=psi(x)-ad/(dx)psi(x)+O(a^2)=$ pasticciando con i e h barrati: $=(1-(ia)/ħp)psi(x)$ (2)
cioè $psi'$ "traslato" è uguale a far agire l'operatore su $psi(x)$ poiché è proprio il primo termine dell'esponenziale definente U, molto bene.

Però facendo un passo successivo mi sono detto, se io lavoro sugli stati anziché sulla proiezione nello spazio delle coordinate (cioè sviluppassi come nel caso della traslazione temporale) ho un problema di segni, mi spiego:

$|x'> = |x+a> = |$$x> + a d/(dx)$ $|$ $x> =(1+(ia)/ħp)|x> $ (3) e non ci siamo perché mi ritrovo un segno "+" rispetto al caso precedente, mentre per lo sviluppo di $U=e^(-iap/h)$ al primo termine mi aspetterei un "-", proprio come esce nello spazio delle coordinate.

Cosa sto sbagliando?

[Studente Anonimo]

Alla luce dello stralcio sottostante:

Paul A. M. Dirac

I princìpi della meccanica quantistica

4. Le condizioni quantiche

25. Operatori di traslazione

e al netto del formalismo matematico, traslare lo stato verso destra (senza operare anche sull'osservabile) dovrebbe essere equivalente a traslare l'osservabile verso sinistra (senza operare anche sullo stato).

[sgrisolo]

Uhm ok, ma quello che non capisco è come il caso (1) identico al caso (3) [nel senso che sto lavornando negli stati e non nelle funzioni d'onda], funzioni per (1) ma non per (3): perché lavorare con lo stato funziona per traslazioni temporali ma non per spaziali?
Mentre il ragionamento funziona per le traslazioni spaziali proiettando nello spazio delle posizioni (2), quindi lavorando con le funzioni d'onda.

Inoltre se proiettassi il risultato (3) nello spazio delle posizioni non trovo (2), cosa che dovrei.

Mi aspetterei risultati per lo meno compatibili ..

[Studente Anonimo]

Se proprio vuoi formalizzare, mentre questo è corretto:

"sgrisolo":

$ = $

e quindi:

$ = rarr$

$rarr

$rarr |$$x-a> = U(a)^(-1)|x> rarr$

$rarr |$$x-a> = exp(i/ħap)|x> rarr$

$rarr |$$x-a> = (1+i/ħap+...)|x> rarr$

$rarr |$$x-a> = (1+a(d)/(dx)+...)|x> rarr$

$rarr |x-a> = |$$x>+ad/(dx)|x>+...$

questo è sbagliato:

"sgrisolo":

$|x+a> = |$$x>+ad/(dx)|x>$

anche e soprattutto alla luce della logica sottostante il mio primo messaggio.

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[sgrisolo]

Ok, allora, ti prego di scusarmi ma sono un po' confuso e ottuso .

Io so che (usando la daga):

A ciò corrisponde il ket: |x−a>=|U+x>=U+∣x>

Quindi è U+=e+iaph a compiere la traslazione |x-a>.

Però sviluppando con taylor come se ∣.> fosse una vera funzione torna (trovato su varie dispense differenti questo brutale procedimento con i tempi e trattare come una "funzione" il ket)

∣α(t+τ)⟩= ∣ α(t)>+τ∂∂t ∣ α(t) ⟩ =(1−iHħτ)∣α(t)> (**)

e qui sto semplicemente sviluppando nello stesso modo che con i tempi, ma evidentmente non funziona perché trovo U+ non U.
|x'>=|x+a>=∣x>+a∂∂x ∣ x>=(1+iaħp)∣x>

Quindi perché con t funzona e con x no? Ammettendo corretto il primo, di base è questo il mio dubbio
Non so se si è capito il dubbio, ma stavo cercando di fare un po' il contrario, anziché rietenere nota l'espressione di U, dire: sviluppo con taylor |x'> e voglio che mi esca U, mentre a me esce U+.
Quindi, o le dispense mentono quando ricavano (**), cioè sapendo dove vuole andare a parare sviluppa con taylor ∣α> (e in quel caso magicamente funziona) oppure come penso non ho capito qualcosa del perché nella prima funzioni e nella seconda no, cioè quale sia la vera differenza.

[Studente Anonimo]

Premesso che, quando ricorri allo sviluppo di Taylor, devi avere a che fare con una funzione d'onda (propria o impropria), per quanto riguarda quella relativa ad un autoket $|x>$:

$ = A*\delta(barx-x)$

$barx$: variabile indipendente

$x$: parametro

(puoi pensarla come una funzione "localizzata" per $barx=x$)

e per quanto riguarda quella relativa ad un autoket $|x-a>$:

$ = A*\delta(barx-x+a)$

(puoi pensarla come una funzione "localizzata" per $barx=x-a$)

Insomma, la funzione impropria:

$A*\delta(barx-x+a)=A*\delta[(barx+a)-x]$

è la traslazione verso sinistra della funzione impropria:

$A*\delta(barx-x)$

Infine, sul perché "sembri funzionare solo in un caso", è dovuto al fatto che si possa trattare la scrittura sottostante:

$|alpha(t)>$

direttamente come una funzione d'onda dipendente dal tempo. Del resto, visto che $t$ è un parametro mentre $hatx$ è un operatore, non dovrebbe stupire che il formalismo relativo a quest'ultimo debba essere maneggiato con più cautela.